数学分析第十二章广义积分与含参变量积分PPT优秀课件.ppt

广义积分广义积分含参变量积分含参变量积分与与第十二章第十二章§1 无穷积分无穷积分§2 瑕积分瑕积分2021/6/311.概念概念2021/6/32注注. 无穷积分无穷积分 收敛即为极限收敛即为极限 存在存在.2021/6/33定义定义. 设设 在在 有定义有定义, 且在任意闭且在任意闭区间区间 上可积上可积. 若若 存在存在, 则称无穷积分则称无穷积分 收敛收敛, 并定义并定义2021/6/34定义定义. 设设 在在 有定义有定义. 若对某个数若对某个数 , 和和 都收敛都收敛, 则称无穷则称无穷积分积分 收敛收敛, 并定义并定义2021/6/35注注.2021/6/36 若若 , 是是 在在 的原函数的原函数, 且且 存在存在, 则则注注. 对无穷积分也有类似于定积分的线性性质对无穷积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式分部积分公式, 换元公式换元公式.记成记成2021/6/372021/6/38 下面讨论只针对下面讨论只针对 加以叙述加以叙述. 所得结论对所得结论对 及及 也相应成也相应成立立.2021/6/392.Cauchy收敛原理收敛原理2021/6/310定义定义. 若若 收敛收敛, 则称则称 绝对收敛绝对收敛. 若若 收敛收敛, 而而 发散发散, 则则称称 条件收敛条件收敛.2021/6/3113. 比较判别法比较判别法2021/6/312定理定理1.3. (比较判别法比较判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意且在任意闭区间闭区间 上可积上可积. 又设存在又设存在 , 使得使得则有则有(1)若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛.(2)若若 发散发散, 则则 发散发散.2021/6/313推论推论1.2. (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意且在任意闭区间闭区间 上可积上可积. 又假定又假定 且且 ( 可以是可以是 )那么得到下列结论那么得到下列结论2021/6/314 ( 可以是可以是 )那么得到下列结论那么得到下列结论(1)当当 时时, 若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛.(2) 当当 时时, 若若 发散发散, 则则 发散发散.2021/6/315推论推论1.3. (Cauchy判别法判别法) 设设 在在 有定义有定义, 且在任意闭区间且在任意闭区间 上可积上可积. 又假定又假定 且且 ( 可以是可以是 )那么得到下列结论那么得到下列结论2021/6/316 ( 可以是可以是 )那么得到下列结论那么得到下列结论(1) 若若 , , 则则 收敛收敛.(2) 若若 , , 则则 发散发散.2021/6/317思考思考. 收敛收敛 反之不成立反之不成立. 收敛收敛 ？？回答是否定的回答是否定的.2021/6/3184.Abel判别法和判别法和Dirichlet判别法判别法引理引理1.1. 设设 , 在在 可积可积. 若若 在在 单调下降单调下降, 且且 . 则存在则存在 , 使得使得2021/6/319引理引理1.2. 设设 , 在在 可积可积. 若若 在在 单调上升单调上升, 且且 . 则存在则存在 , 使得使得2021/6/320定理定理1.4. (积分第二中值定理积分第二中值定理) 设设 , 在在 可积可积. 若若 在在 单调单调, 则存在则存在 , 使得使得2021/6/321定理定理1.5. (Abel判别法判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意且在任意闭区间闭区间 上可积上可积. 若若(1) 在在 单调有界单调有界;(2) 收敛收敛,则则 收敛收敛.2021/6/322定理定理1.6. (Dirichlet判别法判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意且在任意闭区间闭区间 上可积上可积. 若若(1) 在在 单调单调, 且且 ;(2) 关于关于 有界有界, 即即 , 使得使得 ,则则 收敛收敛.2021/6/323§2 瑕积分瑕积分1.瑕点与瑕积分瑕点与瑕积分定义定义. 若若 在在 的任何一个空心邻域无界的任何一个空心邻域无界,则称则称 是是 的一个瑕点或奇点的一个瑕点或奇点.2021/6/324定义定义. 假定假定 在任意闭区间在任意闭区间 可积可积. 若若 是是 的瑕点的瑕点, 且极限且极限存在存在, 则称瑕积分则称瑕积分 收敛收敛, 并定义并定义若若 不存在不存在, 则称瑕积分发散则称瑕积分发散.2021/6/325定义定义. 假定假定 在任意闭区间在任意闭区间 可积可积. 若若 是是 的瑕点的瑕点, 且极限且极限存在存在, 则称瑕积分则称瑕积分 收敛收敛, 并定义并定义若若 不存在不存在, 则称瑕积分发散则称瑕积分发散.2021/6/326定义定义. 设设 . 若若 是是 的瑕点的瑕点, 且且 和和 都收敛都收敛, 则称瑕积分则称瑕积分 收敛收敛, 并定义并定义若若 和和 中有一个发散中有一个发散, 则称则称 发散发散.2021/6/327定义定义. 若若 都是都是 的瑕点的瑕点, 且且和和 都收敛都收敛, 则称瑕积分则称瑕积分 收收敛敛, 并定义并定义其中其中 .若若 和和 中有一个发散中有一个发散, 则称则称 发散发散.2021/6/328注注. 若若 都是都是 的瑕点的瑕点, 不依不依赖于赖于 的选取的选取.2021/6/3292021/6/330注注. 对瑕积分也有类似于定积分的线性性质对瑕积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式分部积分公式, 换元公式换元公式.注注. 广义积分无乘积性质广义积分无乘积性质.2021/6/3312.Cauchy收敛原理收敛原理定理定理2.1. 设设 在在 有定义有定义, 且在任意闭且在任意闭区间区间 可积可积, 是瑕点是瑕点. 则则 收敛的充要条件是收敛的充要条件是: , 当当 时时,2021/6/332推论推论2.1. 设设 是是 的瑕点的瑕点. 若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛.2021/6/3333. 比较判别法比较判别法 设设 是是 在在 的唯一瑕点的唯一瑕点, 且且 关于关于 单调下降单调下降, 则则 存在的充要条件是存在的充要条件是: 关于关于 有界有界. 2021/6/334定理定理2.2. (比较判别法比较判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意闭区且在任意闭区间间 上可积上可积, 又又 是是 的的瑕点瑕点. 若存在若存在 , 使得使得则有下列结论则有下列结论(1)若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛.(2)若若 发散发散, 则则 发散发散.2021/6/335定理定理2.3. (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式) 设设 , 在在 有定义有定义, 且在任意闭区且在任意闭区间间 上可积上可积, 又又 是是 的的瑕点瑕点. 若存在若存在 , 使得使得并且并且 ( 可以是可以是 )则有下列结论则有下列结论2021/6/336(1)当当 时时, 若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛.(2) 当当 时时, 若若 发散发散, 则则 发散发散.2021/6/337推论推论2.2. (Cauchy判别法判别法) 设设 在在 有定义有定义, 且在任意闭区间且在任意闭区间 上可积上可积. 又假定又假定 且且 ( 可以是可以是 )那么得到下列结论那么得到下列结论2021/6/338(1) 若若 , , 则则 收敛收敛.(2) 若若 , , 则则 发散发散.2021/6/339注注. 若若 在在 有有限个瑕点有有限个瑕点, 分割分割 , 使得每个有限子区间只含一个瑕点使得每个有限子区间只含一个瑕点,而最后一个为无穷区间而最后一个为无穷区间, 它不含瑕点它不含瑕点. 定义定义 为这些子区间上积分之和为这些子区间上积分之和, 且只要且只要在一个子区间上发散在一个子区间上发散, 就认为就认为 发散发散.2021/6/3404. Abel判别法和判别法和Dirichlet判别法判别法定理定理2.4. (Abel判别法判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 在任意闭区间在任意闭区间 上可积上可积, 并且并且 是是 的瑕点的瑕点. 若若(1) 在在 单调有界单调有界;(2) 收敛收敛,则则 收敛收敛.2021/6/341定理定理2.5. (Dirichlet判别法判别法) 设设 , 在在 有定义有定义, 在任意闭区间在任意闭区间 上可积上可积, 并且并且 是是 的瑕点的瑕点. 若若(1) 在在 单调单调, 且且 ; (2) 关于关于 有界有界, 即即 , 使得使得 , 则则 收敛收敛.2021/6/3425. 瑕积分与无穷积分的联系瑕积分与无穷积分的联系 以以 为瑕点的瑕积分为瑕点的瑕积分 , 可通过变量可通过变量替换替换 而化为无穷积分而化为无穷积分2021/6/3436.Cauchy主值与奇异积分主值与奇异积分定义定义. 设设 , 在在 有定义且有定义且在任意闭区间在任意闭区间 上可积上可积,并以并以 为瑕点为瑕点. 若若存在存在, 则称则称 在在Cauchy主值意义下收主值意义下收敛敛, 而而 被称作被称作 的的Cauchy主值主值, 记记作作2021/6/344注注. 设设 是是 的瑕点的瑕点. 若若 收收敛敛, 则它在则它在Cauchy主值意义下收敛主值意义下收敛.2021/6/345例例9.设设 在在 连续连续, 且对任意的且对任意的 满足满足其中其中 均为正常数均为正常数, 且且 (称称 在在 满满足足Hölder条件条件). 证明证明: 对任意的对任意的 ，， 在在Cauchy主值意义下收敛主值意义下收敛.2021/6/346定义定义. 设设 在在 有定义有定义, 且在任意且在任意闭区间闭区间 上可积上可积. 若若存在存在, 则称则称 在在Cauchy主值意义下主值意义下收敛收敛, 而而 被称作被称作 的的Cauchy主值主值, 记作记作 .2021/6/347例例10. 计算计算注注. 在在Cauchy主值意义下的广义积分主值意义下的广义积分, 称做称做奇异积分奇异积分.2021/6/348§3 含参变量积分含参变量积分1.概念概念2021/6/3492.含参变量积分的连续性含参变量积分的连续性2021/6/350注注. 问题更一般的提法问题更一般的提法: 若若 定义在定义在 ,并假定对每一个并假定对每一个 , 作为作为 的函的函数在数在 可积可积. 问何时成立问何时成立2021/6/351定义定义. 设设 定义在定义在 上上, . 若存在函数若存在函数 , 只与只与 有有关关, 使得当使得当 且且 时时, 则称当则称当 时时, 关于关于 一致收一致收敛于敛于 .2021/6/352定理定理3.2. 若若 在在 连续连续, 是是 上连续函数上连续函数, 且且则则在在 连续连续.2021/6/353例例2. 求求3.积分号下求导积分号下求导2021/6/354定理定理3.4. 若若 在在 连续连续, 在在 可导可导, 且且则则 在在 可导可导, 且且2021/6/3554.积分号的交换积分号的交换 注注. 记记2021/6/356§4 含参变量无穷积分含参变量无穷积分1.含参变量无穷积分含参变量无穷积分2021/6/357定义定义. 设设 定义在定义在 , 且对每一且对每一个个 , 无穷积分无穷积分 都收都收敛敛. 若若 , 使得当使得当 时时,则称则称 关于关于 一致收敛一致收敛.2021/6/3582. 含参变量无穷积分一致收敛的判别法含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理定理4.1.(Cauchy收敛原理收敛原理) 在在 中一致收敛的充要中一致收敛的充要条件是条件是: , 使得当使得当 时时,2021/6/359定义定义. 若若 在在 中一致收敛中一致收敛, 则称则称 在在 中绝对一致收敛中绝对一致收敛. 若若 在在 中一致收敛中一致收敛, 而而 在在 中不一致收敛中不一致收敛, 则称则称 在在 中条件一致收敛中条件一致收敛.2021/6/360注注. 也称为也称为M-判别法判别法.2021/6/361注注. 绝对一致收敛蕴含着一致收敛绝对一致收敛蕴含着一致收敛. M-判别法判别法 只适用于绝对一致收敛情况只适用于绝对一致收敛情况.2021/6/362定理定理4.4. (Abel判别法判别法) 若若 在在 有定义有定义, 且满足且满足(1) 对每个固定的对每个固定的 , 是是 的的 单调函数单调函数, 且且 关于关于 一致有界一致有界, 即即 , 使得使得 ;(2) 关于关于 一致收敛一致收敛,(3)则则 关于关于 一致收一致收敛敛.2021/6/363定理定理4.5. (Dirichlet判别法判别法) 若若 在在 有定义有定义, 且满足且满足(1) 对每个固定的对每个固定的 , 是是 的的 单调函数单调函数, 且当且当 时时, 关于关于 一致趋于一致趋于 , (2) 关于关于 一致有界一致有界, 即即(3)则则 在在 中一致收敛中一致收敛.2021/6/3642021/6/3653.一致收敛的含参变量无穷积分的性质一致收敛的含参变量无穷积分的性质定理定理4.6. 设设 在在 连续连续, 其中其中 为一区间为一区间( 开开, 闭闭 或或 半开半闭区间半开半闭区间). 若若 关于关于 一致收敛一致收敛, 则则 在在 上连续上连续.2021/6/366定理定理4.7.(积分次序交换定理积分次序交换定理) 设设 在在 连续连续. 若若 关于关于 一致收敛一致收敛, 则则 注注. 如果如果 换成无穷区间换成无穷区间, 条件要加强条件要加强.2021/6/367定理定理4.8. 设设 在在 连续连续. 若若 在在 内闭一致收敛内闭一致收敛, 在在 内闭一致收敛内闭一致收敛, 并且并且 或或中至少有一个收敛中至少有一个收敛, 则则 与与 均存在且相等均存在且相等, 即即 2021/6/368定理定理4.9.(积分号下求导定理积分号下求导定理) 若若(1) 在在 连续连续, (2) 对每个对每个 均收敛均收敛,(3) 关于关于 一致收敛一致收敛,则则 在在 可导可导, 且且 2021/6/369注注. 称为称为Dirichlet积分积分.2021/6/370定理定理4.7.(积分次序交换定理积分次序交换定理) 设设 在在 连续连续. 则则若若 关于关于 一致收敛一致收敛,2021/6/371 2021/6/3724.Dini定理定理定理定理4.10.(Dini定理定理) 设设 在在 连续连续, 且且 (或或 ).若对每个若对每个 , 收敛收敛,且且在在 连续连续, 则则 在在 一致一致收敛收敛.注注. 换成开区间换成开区间 , 结论不一定成立结论不一定成立.2021/6/373注注. 从证明过程看出从证明过程看出, 我们实质上证明了比定我们实质上证明了比定 理理4.10更一般的命题更一般的命题.2021/6/374§5 含参变量瑕积分含参变量瑕积分定义定义. 设设 定义在定义在 , 以以 为瑕为瑕则称则称 关于关于 一致收敛一致收敛.都收敛都收敛. 点点, 且对每一个且对每一个 , 瑕积分瑕积分若若 , 使得当使得当 时时,2021/6/375定理定理5.1.(Cauchy收敛原理收敛原理) 以以 为瑕点的含参变量瑕积分为瑕点的含参变量瑕积分 在在 中一致收敛的充要条件是中一致收敛的充要条件是:使得当使得当 时时,2021/6/376注注. 若若 在在 中一致收敛中一致收敛, 则则 注注. 可类似含参变量无穷积分可类似含参变量无穷积分, 定义绝对一致定义绝对一致 收敛和条件一致收敛收敛和条件一致收敛.在在 中一致收敛中一致收敛.2021/6/377定理定理5.2.(M-判别法判别法) 设设 在在 有定义有定义, 是瑕点是瑕点. 若存在若存在 , 使得使得(1)(2) 收敛收敛.则则 在在 中一致收敛中一致收敛.注注. M-判别法只适用于绝对一致收敛情况判别法只适用于绝对一致收敛情况.2021/6/378定理定理5.3. (Abel判别法判别法) 设设 在在 有定义有定义, 以以 为瑕点为瑕点. 如果如果(1) 对每个固定的对每个固定的 , 是是 的的 单调函数单调函数, 且且 关于关于 一致有界一致有界, 即即 , 使得使得 (2) 关于关于 一致收敛一致收敛,则则 关于关于 一致收敛一致收敛.2021/6/379定理定理5.4. (Dirichlet判别法判别法) 设设 在在 有定义有定义, 以以 为瑕点为瑕点. 如果如果(1) 对每个固定的对每个固定的 , 是是 的的 单调函数单调函数, 且当且当 时时, 关于关于 一致收敛于一致收敛于 , (2) 在在 一致有界一致有界, 即即 ,则则 关于关于 一致收敛一致收敛.2021/6/380例例1. 证明证明: 关于关于 内闭一致收敛内闭一致收敛.2021/6/381定理定理5.5. 设设 在在 连续连续. 若若 关于关于 一致收敛一致收敛, 则则 在在 上连续上连续.例例2. 设设 . 讨论讨论 的的 定义域和连续范围定义域和连续范围.2021/6/382定理定理5.6. 设设 在在 连续连续. 若若 关于关于 一致收敛一致收敛, 则则 2021/6/383定理定理5.7. 设设 在在 连续连续. 若若 关于每个关于每个 都收都收敛敛, 关于关于 一致收敛一致收敛, 则则 在在 可导可导, 且且例例3. 求求 的表达的表达式式, 及及 的值的值.2021/6/384§6 函数与函数与 函数函数1. 函数函数命题命题6.3. 在在 有任意阶导数有任意阶导数.命题命题6.2. 在在 连续连续.命题命题6.1. 的定义域为的定义域为 .2021/6/385命题命题6.4. 性质性质.注注. 由此只要知道由此只要知道 的值的值, 就可以计就可以计算算 .2021/6/386性质性质. 有如下表示方法有如下表示方法(2)(1)2021/6/3872. 函数函数命题命题6.8. (对称性对称性)命题命题6.7. 在在 有任意阶有任意阶 连续偏导数连续偏导数.命题命题6.6. 在在 连续连续.命题命题6.5. 的定义域为的定义域为 .2021/6/388命题命题6.9.(递推公式递推公式)注注. 两个递推公式合并使用两个递推公式合并使用, 2021/6/389性质性质. 有另外表达式有另外表达式注注. (2)(1)2021/6/390定理定理6.1. 设设注注.2021/6/3913.若干应用若干应用 主要用于某些特殊类型的积分的计算主要用于某些特殊类型的积分的计算例例3. 求求例例2. 求求例例1. 求求2021/6/392 关于关于 函数还有三个重要公式函数还有三个重要公式Stirling公式公式其中其中余元公式余元公式Legendre公式公式2021/6/393部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。