2006年第23届全国中学生物理竞赛预赛试题答案.pdf

06 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准一、参考解答：1、线剪断前，整个系统处于平衡状态此时弹簧S1的弹力 F1=(mA+mB+mC)g （1）弹簧 S2的弹力 F2=mcg （2）刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、 F2的大小尚未变化，但线的拉力消失设此时A、 B、C 的加速度的大小分别为aA、aB、 aC，则有 F1mAg=mAaA（3）F2+mBg=mBaB（4）F2mCg=mCaC（5）解以上有关各式得aA=ACBmmmg，方向竖直向上(6)；aB=BCBmmmg，方向竖直向下(7)；aC=0（8）2、开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡i）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段起初，板向下加速移动， 板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。

接着， 磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直线停在A B处在这过程中，磁铁对板的正压力增大， 最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、 接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变ii）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动也经历了两个阶段起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动在这过程中， 正压力增大， 最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直线停在A B处在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起评分标准：（本题 20 分）1、10 分， （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （6） 、 （ 7） 、 （8）式各 1 分， aA、aB的方向各 1 分2、10 分， （i）5 分， （ ii） 5 分， （必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分） 。

二、参考答案1、 （ i）（ii）（iii ）312、f1，f4评分标准：（本题 20 分）1、12 分， （i）4 分， （ii） 4 分， （iii ）4 分2、8 分两个空格都填对，才给这8 分，否则 0 分三、参考答案1、（i）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P 点只可能位于两点电荷之间设 P 点的坐标为x0，则有201xqk=202)(xlqk（1）已知 q2=2q1（2）由（ 1） 、 （2）两式解得x0=l )12(（3）（ii）先考察点电荷q0被限制在沿x 轴运动的情况q1、q2两点电荷在P 点处产生的场强的大小分别为E10=201xqkE20=202)(xlqk，且有 E10=E20，二者方向相反点电荷q0在P 点受到的合力为零，故P 点是 q0的平衡位置在x 轴上 P 点右侧 x=x0+x 处， q1、q2产生的场强的大小分别为E1=201)(xxqkE20方向沿 x 轴负方向由于 E2E1，x=x0+x 处合场强沿x 轴的负方向， 即指向 P 点在 x 轴上 P 点左侧 x=x0 x 处， q1、q2的场强的大小分别为E1=201)(xxqkE10方向沿 x 轴正方向E2=202)(xxlqkE20方向沿 x 轴负方向由于 E20 时，P 点是 q0的稳定平衡位置。

带负电的点电荷在P 点附近受到的电场力都背离P 点，所以当q00 时， P点是 q0的不稳定平衡位置带负电的点电荷在P 点附近受到的电场力都指向P 点，所以当q00，P 点是 q0的稳定平衡位置，占 3 分；正确论证q00，P 点是 q0的不稳定平衡位置，占 2 分；正确论证q0H，故xHd1 即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x（即水银柱上表面与管口相平）时为止何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度x l，由玻意耳定律有(H+x)(L x)=HL （3）由（ 3）式可得x=L H （4）由此可知，当lLH 时，注入的水银柱的长度x 的最大值xmax=L H（5）2、水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度xl，由玻意耳定律有 (H+l)(L x)=HL （6）x=lHLl(7) lx=lHLl（8）由（ 8）式得 lH+ l（9）x=L HlHLL H （10）即当 lLH 时，注入水银柱的最大长度xxmax由上讨论表明，当 l LH 时， 可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为xmax，即（5）式。

评分标准：（本题20 分）正确论证当l LH 时，可注入的水银量最大，占13 分求出最大水银量占7 分，若论证的办法与参考解答不同，只要正确，同样给分五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为2r的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即)2/(222rvmrek(1) 正电子、负电子的动能分别为Ek+和 Ek，有 Ek+=Ek=21mv2（2）正、 负电子间相互作用的势能Ep=rek2（3）电子偶素的总能量E=Ek+Ek+Ep（ 4）由（ 1） 、 （ 2 ） 、 （3） 、 （ 4）各式 得E=21rek2(5) 根据量子化条件mrv=n2hnn=1,2,3,（6）（6）式表明， r 与量子数n 有关由（ 1）和（ 6）式得与量子数n 对应的定态r 为rn=mkehn22222n=1,2,3,（7）代入（ 5）式得与量子数n 对应的定态的E 值为 En=22422hnmeknn=1,2,3,（8）n=1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态基态的能量为E1=2422hmekn（9）n=2 是第一激发态，与基态的能量差E=242243hmekn（10）评分标准：（本题 20 分） （2）式 2 分， （5）式 4 分， （7）式、 （8）式各 5 分， （10）式 4 分。

六、参考解答：P 被释放后，细绳的张力对D 产生机械力矩，带动D 和 A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动 A2作顺时针的加速运动由于两个轮子的辐条切割磁场线， 所以在 A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R 构成闭合电路A1、 A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓 A1、 A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和 A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P 匀速下落，设其速度为v，则 A1的角速度01av(1) A1带动 A2转动， A2的角速度 2与 A1的角速度 1之间的关系为1a1=2a2（2）A1中每根辐条产生的感应电动势均为121121Ba（ 3）轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式同理， A2中 ，轴与 轮边之 间的电 动势就 是A2中四 条辐条 电动 势的并 联，其 数值为222221Ba（4）A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为 RA1=41R（ 5）A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2=42R（6）A1轮、 A2轮和电阻R 构成串联回路，其中的电流为I=2121AARRR（ 7）以（ 1）至（ 6）式代入（ 7）式，得I=)4()4()()21(212110RRRvaaBaa（8）当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即mgv=I2(R+41R+42R) （9）以 （8） 式代入（9） 式得 v=2212122021)()4(aaaBaRRRmg(10) 评分标准：（本题 25 分）（1） 、 （2）式各 2 分， （3） 、 （4）式各 3 分， （ 5） 、 （6） 、 （7）式各 2 分， （9）式 6 分， （10）式 3 分。

七、参考解答：1、如图 1 所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P 带正电，其速率为vP 从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN 和 NH 组成现考察其中一段圆弧MN ，如图 2 所示，由于 P 沿筒的半径方向入射，OM 和 ON 均与轨道相切， 两者的夹角32（1）设圆弧的圆半径为r，则有 qvB=mrv2（2）圆弧对轨道圆心O所张的圆心角3（ 3）由几何关系得r=Rcot2（4）解（ 2） 、 （3） 、 （4）式得 v=mqBR3（5）2、P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为s=r（6） ，经历时间为t1=vs（7）P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t1（8）由以上有关各式得t=qBm（9）评分标准：（本题 25 分） 1、17 分， （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）式各 3 分，（5）式 5 分 2、 8 分， （6） 、 （7） 、 （8） 、 （9）式各 2 分八、参考解答：小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C 点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为g 的匀加速直线运动。

当小球运动到图1 中的 M 点时，绳刚被拉直， 匀加速直线运动终止此时绳与竖直方向的夹角为=30o在这过程中，小球下落的距离s=l+2lcos=l(1+3) （1）细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式： v12=v22+2gs （2）在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度 v1cos变为零， 而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M 点开始以初速度v1=v1sin=21v1 (3) 在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A 点，如图1 所示，由（ 1） 、 （2） 、（3）式得 v12=)31(214120glv(4) 当小球沿圆周运动到图中的N 点时， 其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为，由能量关系有)s i n23(2121221llmgmvvm（5）用 FT表示绳对小球的拉力，有FT+mgsin =lvm22（6）1、glv) 13326(220设在 =1时（见图2） ，绳开始松弛，FT=0，小球的速度v=u1以此代入（ 5） 、 （6）两式得)s i n23(212121llguv（7）mgsin1=lu221（8）由（ 4） 、 （7） 、 （8）式和题设v0的数值可求得1=45（9）u1=gl2（10）即在 1=45时，绳开始松弛，以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N1处以大小为u1，方向与水平方向成45角的初速度作斜抛运动。

以 N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy， x 轴水平向右， y 轴竖直向上若以小球从 N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t 的坐标分别为x=u1cos45 t=22u1t （11）y= u1sin45t21gt2=22u1t21gt2（ 12）由（ 11） 、 （12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：y=x g212ux=xlx22（13）AD 面的横坐标为x=2lco。