现代控制理论 李亚普诺夫稳定性分析（2版）.ppt

第第4章章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析4.1 引言引言4.2 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性 4.3 李亚普诺夫稳定性的根本概念李亚普诺夫稳定性的根本概念 4.4 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理4.5 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4.6 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法线性时变系统李亚普诺夫函数的求法4.7 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.8 李亚普诺夫直接法应用举例李亚普诺夫直接法应用举例4.9 MATLAB在系统稳定性分析中的应用在系统稳定性分析中的应用 4.1 引言 稳定性和能控性、能观测性一样稳定性和能控性、能观测性一样,均是系均是系统的结构性质统的结构性质稳定性是自动控制系统能否稳定性是自动控制系统能否正常工作的先决条件正常工作的先决条件,因此判别系统的稳定性因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题要问题一个动态系统的稳定性一个动态系统的稳定性,通常指系统通常指系统的平衡状态是否稳定的平衡状态是否稳定。

简单地说简单地说, 稳定性是指稳定性是指系统在扰动消失后系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能平衡状态的性能,其是系统的一个自身动态属其是系统的一个自身动态属性  1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题〞中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要根底和现代控制理论的重要组成局部 基于输入基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性输出描述法描述的是系统的外部特性,因此因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部外部)稳稳定性定性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性且全面揭示了系统的内部特性,因此因此, 借助平衡状态借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部内部)稳稳定性定性。

 李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其根本思路和分析方法与经典控制理论一致对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,那么采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性  李亚普诺夫第二法〔简称李氏第二法或直接法〕的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断该方法建立在能量观点的根底上：假设系统的某个平衡状态是渐近稳定的，那么随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量〞 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,那么更能显示出优越性。

4.2 外部稳定性和内部稳定性4.2.1 4.2.1 外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定也称有界输入外部稳定也称有界输入-有界输出稳定〔有界输出稳定〔BIBO稳定〕稳定〕,其基于系统的输入输出描述因为在零初始条件下其基于系统的输入输出描述因为在零初始条件下定义系统输入输出描述方可保证其唯一性，故讨论定义系统输入输出描述方可保证其唯一性，故讨论外部稳定性也以系统零初始条件为前提，其定义为：外部稳定性也以系统零初始条件为前提，其定义为： ■对于零初始条件的因果系统，假设在任意一个有界输入u(t)作用下，对应的输出y(t)均为有界，那么称该系统为外部稳定〔BIBO稳定〕  线性定常连续系统常用零初始条件下定义的真线性定常连续系统常用零初始条件下定义的真或严真传递函数矩阵或严真传递函数矩阵G G(s)(s)进行分析，其进行分析，其BIBOBIBO稳定的稳定的充分且必要条件为：充分且必要条件为： G(s)的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部 BIBO稳定研究传递函数矩阵稳定研究传递函数矩阵G(s)的极点是的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性，广泛采用的分析方法是劳斯的稳定性，广泛采用的分析方法是劳斯-赫赫尔维茨这一代数稳定判据，即由尔维茨这一代数稳定判据，即由G(s)特征特特征特征多项式的系数直接判断征多项式的系数直接判断BIBO稳定性稳定性。

4.2.2 内部稳定性内部稳定性 内部稳定性揭示系统零输入时内部状态自由运动内部稳定性揭示系统零输入时内部状态自由运动的稳定性，其基于系统的状态空间描述的稳定性，其基于系统的状态空间描述 一个没有输入一个没有输入信号的系统称为自治系统信号的系统称为自治系统，因此，内部稳定性意指自治，因此，内部稳定性意指自治系统状态运动的稳定性系统状态运动的稳定性 ■对于线性定常系统，其状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，其唯一决定了系统状态自由运动的轨迹，而状态转移矩阵又与系统矩阵的特征值密切相关可证，线性定常连续系统是内部稳定即渐近稳定的充要条件为： 系统矩阵A A的全部特征值均具有负实部的全部特征值均具有负实部 4.2.3 外部稳定性与内部稳定性的关系外部稳定性与内部稳定性的关系 l假设系统内部稳定，那么系统必为假设系统内部稳定，那么系统必为BIBO稳定稳定l假设系统为假设系统为BIBO稳定，并不能保证系统稳定，并不能保证系统必为内部稳定必为内部稳定l假设系统能控且能观测，那么假设系统能控且能观测，那么BIBO稳定稳定性与内部稳定性是等价的性与内部稳定性是等价的 ■■系统为系统为BIBOBIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定稳定，并不能保证系统必为内部稳定式〔式〔3-162〕揭示了传递函数矩阵〕揭示了传递函数矩阵G(s)只能表征系统中只能表征系统中能控且能观测子系统的动力学特性，因此系统能控且能观测子系统的动力学特性，因此系统BIBO稳稳定仅意味其能控且能观测子系统特征值均具有负实部，定仅意味其能控且能观测子系统特征值均具有负实部，既不要求也不说明系统其余子系统特征值均具有负实既不要求也不说明系统其余子系统特征值均具有负实部，故即使系统为部，故即使系统为BIBO稳定，也有可能为内部不稳定。

稳定，也有可能为内部不稳定 ■以SISO系统采用串联补偿器中不稳定零点对消被控对象中不稳定极点的设计并不能保证系统稳定工作为例 图图4-1不稳定被控对象前串联补偿器及其状态空间实现不稳定被控对象前串联补偿器及其状态空间实现由图4-1(a)可见，系统传递函数为 G(s)的极点为的极点为-1，系统为，系统为BIBO稳定然而，系统传递函数稳定然而，系统传递函数由于存在零、极点对消导致其状态空间实现并非能控且能由于存在零、极点对消导致其状态空间实现并非能控且能观测，系统能控且能观测子系统的传递函数为观测，系统能控且能观测子系统的传递函数为1/(s+1),可见，可见，BIBO稳定仅表征系统能控且能观测子系统渐近稳定稳定仅表征系统能控且能观测子系统渐近稳定 〔4-1〕 由图4-1(b)可得系统实现的系数矩阵为 〔4-2〕 计算可知，系统矩阵系统矩阵A的特征值为的特征值为1，，-1，故系统，故系统为内部不稳定为内部不稳定由秩判据，可判定系统能观测但不能控，而且由图4-1可见，由于零点1和极点1的对消发生在系统的输入通道，使得不稳定极点1成为不能控极点，对应模态 不受输入控制制约，这将使系统实际上无法稳定工作。

假设设系统初始时刻为0，且初态 那么由式〔2-43〕可获得系统输出的全响应为 〔4-3〕 假设令 ，那么由式〔4-3〕得 〔4-4〕 式〔4-4〕说明，对应任一有界输入v(t)，输出y(t)有界，因此该系统理论上为BIBO稳定但这一BIBO稳定的取得要求满足两个条件：一是串联补偿器的零点与被控对象的极点精确相消；二是零初始条件  然而，实际系统中存在的元件老化和建模误差，然而，实际系统中存在的元件老化和建模误差，故零、极点精确对消难以保证；故零、极点精确对消难以保证；另一方面，外界扰动的存在使零初始条件难以保证，另一方面，外界扰动的存在使零初始条件难以保证，假设外界扰动使假设外界扰动使 即使输入信号即使输入信号v(t)有界，输出有界，输出y(t)也将发散，直至某些也将发散，直至某些元部件饱和或损坏而使系统不能正常工作元部件饱和或损坏而使系统不能正常工作 假设将图4-1中的串联补偿器Gc(s) 和被控对象Go(s)的前后顺序对调，如图4-2所示 图图4-2不稳定被控对象后串联补偿器及其状态空间实现不稳定被控对象后串联补偿器及其状态空间实现 图图4-2系统的传递函数仍为式〔系统的传递函数仍为式〔4-1〕，因此系统仍为〕，因此系统仍为BIBO稳定。

图稳定图4-1、图、图4-2系统的传递函数虽然相同，系统的传递函数虽然相同，但内部结构并不相同但内部结构并不相同 由图4-2(b)可得系统实现： 显然，系统仍为内部不稳定系统仍为内部不稳定，且能控但不能观测由图4-2可见，由于极点1和零点1的对消发生在系统的输出通道，使得Go(s)中的不稳定极点1生成的模态被Gc(s)中的零点1所阻断，成为仅存在于系统内部但在输出量中却观测不到的模态 尽管在输出端观察不到模态尽管在输出端观察不到模态 ，但这种指数，但这种指数上升型模态由于实际存在于系统内部，仍将对系统上升型模态由于实际存在于系统内部，仍将对系统正常运行产生有害后果，导致系统饱和或损坏正常运行产生有害后果，导致系统饱和或损坏 〔4-5〕 ■动态动态系系统统的内部的内部稳稳定性的定定性的定义义要比要比BIBO稳稳定性定性的定的定义严义严格，格，仅仅根据根据传递传递函数矩函数矩阵阵的极点性的极点性质质判断判断系系统统的的BIBO稳稳定性有定性有时时并不能真正反映出系并不能真正反映出系统稳统稳定定的性能一个具有的性能一个具有BIBO稳稳定的系定的系统统，完全有可能，完全有可能由于内部状由于内部状态态运运动动的不的不稳稳定定导导致致实际实际系系统统无法无法稳稳定定工作。

工作 因此，通因此，通过过内部内部稳稳定性分析〔即李定性分析〔即李亚亚普普诺诺夫夫稳稳定性分析〕能更全面而深刻地揭示出系定性分析〕能更全面而深刻地揭示出系统稳统稳定与否 4.3 李亚普诺夫稳定性的根本概念 4.3.1 平衡状态 稳定性实质上是系统在平衡状态下受到扰动后，稳定性实质上是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关对于系统自系统自由运动的性质，与外部输入无关对于系统自由运动，令输入由运动，令输入u= =0 0，，系统的齐次状态方程为系统的齐次状态方程为 〔4-6〕 式中, x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为 (4-7) 式(4-6)的解为 (4-8) 式中, 为初始时刻, 为状态向量的初始值 式(4-8)描述了系统式〔4-6〕在n维状态空间的状态轨线假设在式〔4-6〕所描述的系统中，存在状态点 ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即 ，该类状态点 即为系统的平衡状态,即 假设系统式〔4-6〕存在状态向量 ,对所有时间t,都使 (4-9) 成立成立, ,那么称那么称 为系统的平衡状态。

由平衡状态在状为系统的平衡状态由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点态空间中所确定的点，称为平衡点 式(4-9)为确定式〔4-6〕所描述系统平衡状态的方程 【例4-1】设系统的状态方程为设系统的状态方程为,求其平衡状态求其平衡状态解 其平衡状态应满足平衡方程式其平衡状态应满足平衡方程式(4-9)，即，即 , 即, 解之解之,得系统存在得系统存在3个孤立的平衡状态个孤立的平衡状态 4.3.2 范数 n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x的长度的长度(即即x到坐标原点的到坐标原点的距离距离)称为向量称为向量x的范数，并用的范数，并用 表示，即表示，即 (4-11) 而向量而向量 的长度的长度(即即x到到 的距离的距离)称为称为 的范数的范数,并用并用 表示，即表示，即 (4-12)  在n维状态空间中,假设用点集 表示以 为中心、 为半径的超球域,那么, ,那么表示 (4-13) 4.3.3 李亚普诺夫稳定性定义 1．李亚普诺夫意义下稳定．李亚普诺夫意义下稳定 设 为动力学系统式(4-6)的平衡状态,假设对任意实数 ,都对应存在另一实数 ,使当 (4-16) 时时, , 系统式〔系统式〔4-64-6〕从任意初始状态〕从任意初始状态 出发的出发的解都满足解都满足 (4-17) 那么称平衡状态那么称平衡状态 为李亚普诺夫意义下稳定为李亚普诺夫意义下稳定, ,其中其中, , 与 和 有关;假设 与 无关,那么称这种平衡状态 是一致稳定的。

对定常系统而言, 与 无关,稳定的平衡状态一定为一致稳定 图4-3李亚普诺夫意义下稳定 2．渐近稳定〔经典控制理论稳定性定义〕．渐近稳定〔经典控制理论稳定性定义〕 设 为动力学系统式(4-6)的平衡状态,假设对任意实数 ,对应存在另一实数 ，使当 时，从任意初始状态 出发的解都满足 且对于任意小量且对于任意小量 总有总有 (4-18) 那么称平衡状态 是渐近稳定的假设 与 无关,那么称这种平衡状态 是一致渐近稳定的  渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态 为李亚普诺夫意义稳定，且从球域 内发出的状态轨迹〔即式(4-6)的解〕，当 时，不仅不超出球域 之外，而且最终收敛于 ，那么平衡状态 为渐近稳定在二维状态空间中, 渐近稳定的几何解释如图4-4所示 图4-4 渐近稳定渐近稳定 3．大范围渐近稳定性．大范围渐近稳定性 假设初始条件扩展至整个状态空间,即 ,且平衡状态 均具有渐近稳定性时,那么称此平衡状态 是大范围内渐近稳定的。

4．不稳定性．不稳定性 设 为动力学系统式(4-6)的平衡状态,假设对某个实数 和另一实数 ，当 时，总存在一个初始状态 ,使 (4-19) 那么称平衡状态 是不稳定的  不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定的球域的球域 ，无论球域，无论球域 取得多么小，内部总取得多么小，内部总存在一个初始状态存在一个初始状态 ，使得从这一状态出，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域发的轨迹最终会超出球域 在二维状态空间在二维状态空间中中, 不稳定的几何解释如图不稳定的几何解释如图4-5所示所示 图4-5 不稳定 4．4 李亚普诺夫稳定性定理 4.4.1 二次型函数及其定号性 1. 二次型函数及二次型的矩阵表达二次型函数及二次型的矩阵表达 二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表示为二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表示为 〔4-20〕 式中，式中，P P为二次型各项的系数构成的为二次型各项的系数构成的 实对称矩实对称矩阵，称为二次型式〔阵，称为二次型式〔4-204-20〕的权矩阵，即〕的权矩阵，即 (4-21) 式中, 为实数,且 。

式〔4-20〕说明，二次型函数 和其权矩阵P一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权矩阵的定号性  假设二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵，那么对应的二次型只含平方项，称为二次型的标准型，即 〔4-22〕2．标量函数．标量函数 的符号和性质的符号和性质 设设V(V(x) )为由为由n维状态向量维状态向量x所定义的标量函数，所定义的标量函数， ，且在，且在 处，恒有处，恒有V(V(x)=0)=0对所有在域对所有在域 中的任何非零向量中的任何非零向量x，如果，如果 (1) V(x)>0，那么称，那么称V(x)为正定的为正定的 (2) ，那么称，那么称V(x)为半正定的为半正定的 〔〔3 3〕〕 ，即，即 为正定的为正定的, ,那么称那么称V(x)V(x)为负定的为负定的 〔〔4 4〕〕 ，即，即 为半正定的为半正定的, ,那么称那么称V(x)V(x)为半负定的。

为半负定的 〔〔5 5〕〕 既可为正值也可为负值既可为正值也可为负值, ,那么称那么称 为不定为不定的 在式〔4-20〕中，假设V(x)正定,那么称权矩阵P是正定的,且记为 以此类推,可定义二次型权矩阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 、 、  二次型函数二次型函数 的定号性与其对应的权的定号性与其对应的权矩阵矩阵P的定号性一致的定号性一致,判别判别 的符号只要判的符号只要判别实对称矩阵别实对称矩阵P的符号即可的符号即可 3．塞尔维斯特．塞尔维斯特(Sylvester)准那么准那么 ■n阶方阵P主子式、顺序主子式的定义：从矩阵从矩阵P中删去任意中删去任意m行和相应序号行和相应序号m列后得到的列后得到的n – m阶子式称为阶子式称为P的的n – m阶主子式，阶主子式，P共有共有2n-1个个主子式从矩阵从矩阵P的第的第1行第行第1列元素列元素P11开始，顺序开始，顺序增加下面一行和一列形成的子式称为增加下面一行和一列形成的子式称为P的顺序主子式，的顺序主子式，P共有共有n个顺序主子式。

个顺序主子式 (1)实对称矩阵实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵为正定的充要条件是矩阵P的各的各阶阶顺序主子式主子式均大于零均大于零,即在式即在式(4-21)(4-21)中中, ,有有 (4-23)  (2)实对称矩阵实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵为负定的充要条件是矩阵P的各阶的各阶顺序主子式顺序主子式满足满足 (4-24) 即 (3) 假设实对称矩阵假设实对称矩阵P为奇异矩阵，且它的所有主子为奇异矩阵，且它的所有主子式皆非负式皆非负,那么那么P为半为半 正定假设正定假设-P为半为半 正定矩阵，正定矩阵，那么那么P为半负定矩阵为半负定矩阵【例【例【例【例4-24-24-24-2】】】】试判定试判定试判定试判定V(x)V(x)V(x)V(x)是否正定是否正定是否正定是否正定 解解 二次型二次型V( (x) )可写成矩阵形式可写成矩阵形式,即即 那么权矩阵那么权矩阵P P的各阶顺序主子式为的各阶顺序主子式为 可可见见,权权矩矩阵阵P的的各各阶阶顺顺序序主主子子式式均均大大于于零零,由由Sylvester准那么，可确定二次型准那么，可确定二次型V(x)正定。

正定【例【例4-3】判断实对称矩阵】判断实对称矩阵解解 顺序主子式为顺序主子式为说明说明P不是正定阵，但并不说明不是正定阵，但并不说明P为半正定应进一步为半正定应进一步查看其余查看其余4个主子式：个主子式：并非所有主子式皆非负，因此并非所有主子式皆非负，因此P不是半正定的进一步不是半正定的进一步分析可知矩阵分析可知矩阵P是不定的是不定的4.4.2 李亚普诺夫第二法 定理4-1 (李亚普诺夫稳定性的根本定理) 设系统的状态方程为 〔4-25〕 且其平衡状态为且其平衡状态为 ,即有即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V( (x, ,t) )，，且且V( (x, ,t) )及其对时间的导数及其对时间的导数 满足以下条件满足以下条件： 1〕 是正定的； 2〕 是负定的 那那么么系系统统的的平平衡衡状状态态 是是一一致致渐渐近近稳稳定定的的并并称称 是系统的一个李亚普诺夫函数是系统的一个李亚普诺夫函数进一步进一步,假设假设 还满足还满足 3) 那么系统的平衡状态那么系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。

是大范围一致渐近稳定的  定理4-1是一个最根本的稳定性判别定理,对所有系统皆适用但该定理只给出了判断系统平衡状态渐近稳定的充分条件,而非充要条件 【例【例4-44-4】非线性系统状态方程为】非线性系统状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性试分析其平衡状态的稳定性 解解 由系统平衡状态的方程由系统平衡状态的方程 解出唯一平衡状态解出唯一平衡状态 选取标准二次型为李亚普诺夫函数选取标准二次型为李亚普诺夫函数，即，即 , 该函数是正定的该函数是正定的 沿任意状态轨迹对时间的导数为沿任意状态轨迹对时间的导数为 将系统状态方程代入上式将系统状态方程代入上式,得得 显然显然,有有 ;且当 时, ,故 负定 因此,所选 是满足定理4-1条件的一个李亚普诺夫函数而且当 时， ，根据定理4-1，系统在平衡点 处为大范围渐近稳定。

定理4-2 (渐近稳定判定定理渐近稳定判定定理2) 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 〔4-27〕 且其平衡状态为且其平衡状态为 ,即有即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且，且 及其对时间的导数及其对时间的导数 满足以下条件满足以下条件： 2〕 是半负定的； 1 1〕〕 是正定的；是正定的；3〕但 在方程式(4-27)的非零解状态运动轨线上不恒等于零 那么系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的那么系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的 进一步,假设还有 时， ,那么系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的 定理4-3 (判断稳定和不稳定的定理判断稳定和不稳定的定理) 设系统的状态方设系统的状态方程为程为 其平衡状态为其平衡状态为 ,即有即有 且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 。

假设假设 及其对时间的导数及其对时间的导数 满足满足 1) 是正定的是正定的; 2) 是半负定的是半负定的 那么系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一那么系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致稳定的致稳定的 假设假设 及其对时间的导数及其对时间的导数 满足满足 1) 是正定的是正定的; 2) 也是正定的也是正定的 那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的 【【例例4-5】设系统的状态方程为】设系统的状态方程为 试确定平衡状态的稳定性试确定平衡状态的稳定性 解 系统为线性定常系统系统为线性定常系统,且系统矩阵非奇异且系统矩阵非奇异,故状态故状态空间原点空间原点 为该系统唯一的平衡状态为该系统唯一的平衡状态选取标选取标准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数，即，即 该函数是正定的，该函数是正定的， 沿任意状态轨迹对时间的导数沿任意状态轨迹对时间的导数为为 可见可见, , 是半负定的。

由定理是半负定的由定理4-34-3知知, ,系统在原系统在原点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的但为了进一步判定是否渐近稳定但为了进一步判定是否渐近稳定, ,那么应判断那么应判断 在在非零解运动轨线是否恒为零非零解运动轨线是否恒为零  设 ，那么有 ，即有 和 ,代入系统状态方程得 和 这就说明，只有在状态空间原点 ,才有 ;而在非零解运动轨线上， 不可能恒等于零那么由定理4-2知, 是渐近稳定的平衡状态又 时， ,故进一步可确定系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的  李亚普诺夫函数 的存在形式并非唯一,对该例，假设另选以下正定二次型函数 为另一个可能的李亚普诺夫函数那么为另一个可能的李亚普诺夫函数那么 沿任意状沿任意状态轨迹对时间的导数态轨迹对时间的导数 是负定的是负定的,因此所选因此所选 为系统的一个李亚普诺夫函数为系统的一个李亚普诺夫函数。

又又 时，时， ,根据定理根据定理4-1，原点处的平，原点处的平衡状态在大范围内渐近稳定衡状态在大范围内渐近稳定 【例4-6】设系统的状态方程为设系统的状态方程为 式中式中,a为大于零的常数，试分析其平衡状态的稳定性为大于零的常数，试分析其平衡状态的稳定性 解 原点( )是系统的唯一平衡状态试选以下正定二次型函数 为可能的李亚普诺夫函数为可能的李亚普诺夫函数 那么 可见可见, , 在任意非零解运动轨线上，在任意非零解运动轨线上， 恒等于零恒等于零, ,因此因此, ,系统为在李亚普诺夫意义下稳定系统为在李亚普诺夫意义下稳定, ,但非渐近稳定事实但非渐近稳定事实上上, ,在任意在任意 上上, , 均可保持为零均可保持为零, ,而而 那么保持为某常数那么保持为某常数, ,即即 这表示这表示系统自由运动的相轨迹是一系列以原点为中心系统自由运动的相轨迹是一系列以原点为中心的椭圆的椭圆,即系统的零输入响应为无阻尼等幅振荡即系统的零输入响应为无阻尼等幅振荡, 系统系统为在李亚普诺夫意义下稳定。

但在经典控制理论中为在李亚普诺夫意义下稳定但在经典控制理论中,这种系统称为不稳定系统这种系统称为不稳定系统 【【例例4-7】设系统的状态方程为】设系统的状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性试分析其平衡状态的稳定性 解 原点( )是系统的唯一平衡状态试选 为以下正定二次型函数  沿任意状态轨迹对时间的导数沿任意状态轨迹对时间的导数 也也是是正正定定的的由由定定理理4-3，，该该系系统统在在原原点点处处的的平平衡衡状状态不稳定态不稳定4.5 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5.1 李亚普诺夫第一法〔间接法〕 李氏第一法是利用状态方程的解的特性来判断李氏第一法是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，适用于线性定常、线性时变及系统稳定性的方法，适用于线性定常、线性时变及非线性函数可线性化的情况非线性函数可线性化的情况经典控制理论中关于经典控制理论中关于线性定常系统稳定性的各种判据线性定常系统稳定性的各种判据, ,均可视为李氏第一均可视为李氏第一法性系统中的工程应用法性系统中的工程应用在分析线性定常系统在分析线性定常系统稳定性时，可按经典控制理论的思路稳定性时，可按经典控制理论的思路,直接由系统矩直接由系统矩阵的特征值判断系统的稳定性。

阵的特征值判断系统的稳定性 定理定理4-4 设线性定常连续系统自由运动的状态方程为设线性定常连续系统自由运动的状态方程为 (4-29) 那么系统在那么系统在 平衡状态渐近稳定的充要条件是系平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵统矩阵A A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部 定理4-5 设线性定常离散系统自由运动的状态方程为设线性定常离散系统自由运动的状态方程为 (4-30) 那么系统在那么系统在 平衡状态渐近稳定的充要条件是系平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵统矩阵G G的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1 1 4.5.2 李亚普诺夫第二法 1. 线性定常连续系统线性定常连续系统 定理定理定理定理4-64-6 设线性定常连续系统为设线性定常连续系统为设线性定常连续系统为设线性定常连续系统为(4-31)式中式中,x为为n维状态向量维状态向量,系统矩阵系统矩阵A为为n阶非奇异常数阵阶非奇异常数阵 那么系统平衡状态那么系统平衡状态 为大范围渐近稳定的充要为大范围渐近稳定的充要条件是条件是: :对任意给定的正定实对称矩阵对任意给定的正定实对称矩阵Q Q，存在另一个，存在另一个正定实对称矩阵正定实对称矩阵P P，满足式，满足式(4-32)(4-32)表示的李亚普诺夫表示的李亚普诺夫方程方程 〔4-32〕 而标量函数而标量函数 〔4-33〕 是系统的一个二次型形式的李亚普诺夫函数是系统的一个二次型形式的李亚普诺夫函数。

证明 充分性 因为P、Q均为正定实对称矩阵且满足李亚普诺夫方程式(4-32)，故取正定二次型 为一个可能的李亚普诺夫函数, 那么V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数 Q正定，那么正定，那么-Q负定，负定， 负定负定,故故 是大范围渐近稳是大范围渐近稳定的平衡状态定的平衡状态 必要性如果系统式如果系统式(4-31)在在 渐近稳定，渐近稳定，那么在时间那么在时间t 趋于无穷大时，系统的状态转移矩阵趋于无穷大时，系统的状态转移矩阵 必趋于零必趋于零  任选一个正定实对称矩阵任选一个正定实对称矩阵Q,构造时变对称矩阵构造时变对称矩阵 (4-34)其满足其满足 和和 而且而且 是矩阵微分方程是矩阵微分方程 (4-35) 的唯一解对式的唯一解对式(4-35)中的第一式两端从中的第一式两端从t=0=0到到 积分，得积分，得 将 和 代入上式,得 (4-36) 取 〔4-37〕 即可满足 且 说明按式(4-37)选取的P为实对称矩阵。

为考察P的正定性, 取任意n维非零常数向量 ,考察由P构成的二次型函数 (4-38) 式中， 为式(4-31)的非零解向量又Q为正定实对称矩阵，故式(4-38)中的被积函数为正定二次型函数，所以式〔4-38〕的积分大于零，由此可知实对称矩阵P正定 综上所述, 假设系统式(4-31)在 渐近稳定,那么任取一个正定实对称矩阵Q,必存在另一个正定实对称矩阵P，满足李亚普诺夫方程式(4-32)必要性得证  应用定理应用定理4-6分析线性定常连续系统的稳定性时分析线性定常连续系统的稳定性时应注意如下几点应注意如下几点： (1)定理定理4-6所阐述的条件与系统矩阵所阐述的条件与系统矩阵A的所有特征值的所有特征值均具有负实部的条件等价均具有负实部的条件等价,因此因此, 定理定理4-6给出的条件给出的条件是充分必要条件实际应用时是充分必要条件实际应用时,常先选取一个正定的常先选取一个正定的实对称矩阵实对称矩阵Q,从李亚普诺夫方程式从李亚普诺夫方程式(4-32)求解出对应求解出对应的实对称矩阵的实对称矩阵P,然后利用然后利用Sylvester准那么确定矩阵准那么确定矩阵P的定号性的定号性,进而判断系统的渐近稳定性。

进而判断系统的渐近稳定性 (2)尽管正定实对称矩阵尽管正定实对称矩阵Q的形式可任意选取的形式可任意选取,最终的最终的判断结果不因所选择的正定实对称矩阵判断结果不因所选择的正定实对称矩阵Q形式不同而形式不同而不同不同,但为了方便求解李亚普诺夫方程但为了方便求解李亚普诺夫方程,通常选取正定通常选取正定实对称矩阵实对称矩阵Q为单位矩阵为单位矩阵I,这时实对称矩阵这时实对称矩阵P应按式应按式(4-39)求解求解,即即 (4-39) 式中, I为n阶单位矩阵 (3)有时为了简化求解实对称矩阵有时为了简化求解实对称矩阵P的运算的运算, 矩阵矩阵Q也也可取为半正定的这时假设由李亚普诺夫方程式可取为半正定的这时假设由李亚普诺夫方程式(4-32)求解出的实对称矩阵求解出的实对称矩阵P是正定的是正定的,那么李亚普诺夫那么李亚普诺夫函数函数 是正定的是正定的, 而而V( (x) )沿任意状态轨迹对时间的沿任意状态轨迹对时间的导数导数 半负定半负定, ,根据定理根据定理4-34-3可判可判断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的进一步断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的。

进一步, 只要只要 在系统非零解运动轨线上不恒为零在系统非零解运动轨线上不恒为零, 根据定理根据定理4-2,可判断系统是渐近稳定的可判断系统是渐近稳定的 【【例例4-8】设系统的状态方程为】设系统的状态方程为 其平衡状态为坐标原点，试判断这一状态的稳定性其平衡状态为坐标原点，试判断这一状态的稳定性 解 设可能的李亚普诺夫函数为设可能的李亚普诺夫函数为 其中其中, P为为实对称矩阵实对称矩阵,即即 ,且有且有 又又P满足李亚普诺夫方程式满足李亚普诺夫方程式(4-32) ,选取正定实对称矩阵选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵为单位矩阵I,代入上式代入上式,得得 考虑到 ,那么以上矩阵方程可展成如下联立方程组 解出解出 那么矩阵P的各阶主子式为 由由SylvesterSylvester准那么，可确定矩阵准那么，可确定矩阵P P是正定的因此，是正定的因此，系统在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的且系统在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的且系统的李亚普诺夫函数及其导数分别为系统的李亚普诺夫函数及其导数分别为 2. 线性定常离散系统线性定常离散系统 定理4-7 设线性定常离散系统自由运动的状态方程为设线性定常离散系统自由运动的状态方程为 (4-40) 那么系统在平衡状态那么系统在平衡状态 处渐近稳定的充要条件为处渐近稳定的充要条件为: :对任意给定的正定实对称矩阵对任意给定的正定实对称矩阵Q Q，存在另外一个正定，存在另外一个正定的实对称矩阵的实对称矩阵P P，满足式，满足式(4-41)(4-41)所示离散的李亚普诺所示离散的李亚普诺夫方程夫方程 (4-41) 且 〔4-42〕 是系统的一个李亚普诺夫函数。

【【例例4-10】设线性定常离散系统的状态方程为】设线性定常离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡状态渐近稳定的条件试确定系统在平衡状态渐近稳定的条件 解 方法一(应用特征值判据) 应用定理应用定理4-5,系统渐近稳定的充要条件是系统矩系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵阵G的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1,即应满足即应满足 和 即只有当系统的所有极点都位于复数平面的单位圆以即只有当系统的所有极点都位于复数平面的单位圆以内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的 方法二方法二(应用李亚普诺夫直接法应用李亚普诺夫直接法) 选取Q=I，代入离散的李亚普诺夫方程式代入离散的李亚普诺夫方程式(4-41)，，得得 令 ,代入上式化简,得 将以上矩阵方程展为联立方程组,解得 由Sylvester准那么,为使P正定,那么要求 和 4.6 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6.1 线性时变连续系统 定理 4-8 设线性时变连续系统的状态方程为 (4-43) 式中,x为n维状态向量；A(t)为 维系统矩阵，且为时间的函数,那么系统在平衡点那么系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要处大范围渐近稳定的充要条件为条件为: : 对于任意给定的连续对称正定矩阵对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)Q(t)，，存在一个连续对称正定矩阵存在一个连续对称正定矩阵P(t)P(t)，满足，满足 (4-44) 且系统的李亚普诺夫函数是且系统的李亚普诺夫函数是 (4-45) 定理4-8给出了构造线性时变连续系统李亚普诺夫函数的通用方法,其中,式(4-44)是里卡提(Riccati)矩阵微分方程的特殊情况。

4.6.2 线性时变离散系统 定理4-9 设线性时变离散系统的状态方程设线性时变离散系统的状态方程为 (4-46) 那么系统在平衡点那么系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要处大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定实对称矩阵条件是：对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k)Q(k)，存在，存在一个正定实对称矩阵一个正定实对称矩阵P(k+1)P(k+1)，满足，满足 (4-47) 且标量函数且标量函数 (4-48) 是系统的一个李亚普诺夫函数是系统的一个李亚普诺夫函数 4.7非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.7.1 4.7.1 李亚普诺夫第一法分析非线性系统的稳定性李亚普诺夫第一法分析非线性系统的稳定性 李亚普诺夫第一法(间接法)的根本思想是将非线性系统在平衡点附近线性化, 然后用线性系统稳定性的方法研究平衡点附近小范围内近似线性系统的稳定性 设n维非线性系统 (4-49) 其中, x为n维状态向量; f(x)为n维函数向量,且对x有连续的偏导数设 为系统的平衡状态,为分析系统式(4-49)在平衡状态 附近的稳定性,可将非线性向量 在平衡状态 附近作向量泰勒级数展开,即 (4-50) 式中, 为级数展开式中大于和等于2阶的项,而 (4-51) 称为雅可比雅可比(Jacobian)(Jacobian)矩阵矩阵。

假设令 ,并取式(4-50)的一次近似式,那么得非线性系统式(4-49)的一次近似线性化数学模型  (4-52) 式中, 为 常数阵 为式(4-52)的平衡状态,对应于 对非线性系统式(4-49)和在平衡状态 附近一次近似线性模型式(4-52), 李亚普诺夫给出如下结论: (1)假设式(4-52)中系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,那么原非线性系统式(4-49)的平衡状态 是渐近稳定的;  (2)假设式(4-52)中系统矩阵A的特征值,至少有一个具有正实部,那么原非线性系统式(4-49)的平衡状态 是不稳定的; (3)当式(4-52)中系统矩阵A的特征值都不具有正的实部,但至少有一个特征值的实部为零时, 原非线性系统式(4-49)不能用一次近似线性模型式(4-52)判断其稳定性, 原非线性系统式(4-49)的平衡状态 稳定与否取决于泰勒级数展开式中的高阶项 对于这种特殊情况, 采用李亚普诺夫第一法不能对非线性系统的稳定性进行分析,可采用李亚普诺夫第二法。

4.7.2 4.7.2 李亚普诺夫第二法在非线性系统稳定性分析中的应用李亚普诺夫第二法在非线性系统稳定性分析中的应用 李亚普诺夫第二法是分析系统平衡状态稳定性的强有力工具,对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,那么更能显示出优越性其不仅适用于研究平衡状态附近的小范围的稳定性,也适用于平衡状态附近较大的范围下面介绍基于李亚普诺夫第二法(直接法)的两种特殊方法,即判断渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法和构造李亚普诺夫函数的变量梯度法 1. 1.克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法 定理4-10(克拉索夫斯基定理克拉索夫斯基定理)设不受外部作用的非线性定常系统 〔4-53〕 式中,x为n维状态向量; f(x)为n维非线性向量函数且设状态空间原点为系统的平衡状态，即 且f(x)对 可微,系统的雅可比(Jacobian)矩阵为 (4-54) 假设以下矩阵 是负定的是负定的, ,那么该系统在平衡状态那么该系统在平衡状态 是渐近稳定的。

是渐近稳定的 且该系统的李亚普诺夫函数为 (4-55) 而且假设当 时，还有 ，那么系统的平衡状态 是大范围渐近稳定的 克拉索夫斯基定理对于非线性系统式(4-53)仅给出了其在平衡状态 渐近稳定的充分条件如果矩阵 不是负定的，那么不能得出关于给定非线性系统平衡状态稳定性的任何结论 【例4-11】用克拉索夫斯基方法证明用克拉索夫斯基方法证明以下系统的平衡状态 是大范围渐近稳定的 解 由题给条件, ,那么系统的雅可比矩阵为 那么那么矩阵 的各阶主子式为 由Sylvester准那么，可判定 是负定的 而且当 时，还有 那么根据克拉索夫斯基定理，可确定系统的平衡状态 是大范围渐近稳定的 2. 变量梯度法变量梯度法 变量梯度法由舒茨〔Schultz〕和基布逊〔Gibson〕在1962年提出,其是构造非线性系统李亚普诺夫函数比较实用的方法  设非线性系统为 (4-56) 式中, x是n维状态向量；f(x,t)是n维向量函数，它的元素是 的非线性函数。

假设状态空间原点为平衡状态先假设找到了判断其渐近稳定的李亚普诺夫函数为V(x),其为状态x的显函数，而不是时间t的显函数那么V(x)的梯度  (4-57) 存在且唯一那么存在且唯一那么V(x)V(x)对时间的导数为对时间的导数为 (4-58)  舒茨和基布逊提出，先把先把V V( (x) )的梯度的梯度 假设假设为某种形式为某种形式，例如一个带待定系数的n维列向量,即 (4-59) 然后根据 为负定或至少为半负定等约束条件确定待定系数,并由此求出符合李亚普诺夫定理要求的V(x)和  由式(4-58)可知，V(x)可由其梯度可由其梯度 做线积做线积分求分求,即即 (4-60) 这里的积分上限积分上限x是整个状态空间中的任意一点是整个状态空间中的任意一点 由场论知识,假设向量 的n维旋度 等于零,那么式(4-60)的线积分与积分路径无关而 的充要条件是向量 的雅可比矩阵 (4-61) 是对称矩阵是对称矩阵,即满足如下即满足如下 个旋度方程个旋度方程 (4-62)  当式当式(4-62)所示的条件满足时所示的条件满足时, 式式(4-60)所示求所示求V( (x) )的线积分与积分路径无关的线积分与积分路径无关,这时可选择一条使线积这时可选择一条使线积分计算最简的路径分计算最简的路径,即依序沿各坐标轴即依序沿各坐标轴 方向逐点分段积分方向逐点分段积分,即即 (4-63)  ■按变量梯度法构造李亚普诺夫函数V(x)的步骤： 1)将李亚普诺夫函数将李亚普诺夫函数V( (x) )的梯度的梯度 设为如式设为如式(4-59)所示的带待定系数的所示的带待定系数的n维列向量的形式维列向量的形式,其中 为待定系数，其可为常数，也可为t的函数或 (和)状态变量的函数。

应用中,为了简化计算,通常将 选择为常数或t的函数,一些待定系数 也可选择为零 2)据式〔4-58〕由 写出 由 是负定的或至少是半负定的约束条件，确定一局部待定系数 3) 由 的n维旋度等于零的约束条件,即个旋度方程式〔4-62〕确定其余待定参数 4)根据第根据第3步所得结果可能改变步所得结果可能改变 ,故应按照所得结故应按照所得结果重新校核果重新校核 的定号性质的定号性质 5)按式〔按式〔4-63〕由〕由 的线积分求出的线积分求出V(x)，并验证其正，并验证其正定性 6)确定渐近稳定的范围 假设采用上述变量梯度法求不出适宜的李亚普诺夫函数,并不意味着平衡状态是不稳定的,这时不能得出关于给定非线性系统平衡状态稳定性的任何结论 【例4-12】设没有外部作用的非线性系统的状态方程为 应用变量梯度法分析系统平衡状态应用变量梯度法分析系统平衡状态 的稳定性的稳定性 解 设李亚普诺夫函数设李亚普诺夫函数V( (x) )的单值梯度为的单值梯度为 按式〔按式〔4-584-58〕计算〕计算 得得 待定系数的选择是有一定试探性的。

对本例待定系数的选择是有一定试探性的对本例, ,试取试取 , ,那么那么 显然,要使 是负定的, 和 应满足如下约束条件 在 和 均取常数时, 由约束条件式〔4-62〕得旋度方程 即 因此,以上参数选择( )满足旋度方程条件,那么 ,即式(4-60)所示求V(x)的线积分与积分路径无关,故可按式〔4-63〕计算V(x),即 显然,所求得的李亚普诺夫函数V(x)是正定的而在 ,即 的范围内, 是负定的因此, 在 的区域内,系统的平衡状态 是渐近稳定的 4.8 李亚普诺夫直接法应用举例 李亚普诺夫直接法在控制理论中的应用不仅限于李亚普诺夫直接法在控制理论中的应用不仅限于稳定性分析，而且可用来研究线性系统和非线性系统稳定性分析，而且可用来研究线性系统和非线性系统自由响应的快速性、确定线性系统的校正方案及求解自由响应的快速性、确定线性系统的校正方案及求解基于二次型性能指标的系统参数最优问题。

作为应用基于二次型性能指标的系统参数最优问题作为应用举例举例, ,本节仅简要介绍李亚普诺夫直接法性定常本节仅简要介绍李亚普诺夫直接法性定常系统结构稳定设计中的应用系统结构稳定设计中的应用  设不稳定的单输入线性定常系统的状态方程为设不稳定的单输入线性定常系统的状态方程为 〔4-64〕 选取正定二次型函数选取正定二次型函数 (4-65) 为李亚普诺夫函数为李亚普诺夫函数, ,式中式中P P为为n n阶正定的实对称方阵阶正定的实对称方阵那么那么V(x)V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数沿任意状态轨迹对时间的导数 (4-66)  考虑到 ,那么对标量 而言，有 ,代入式〔4-66〕,得 假设所选P使 负定,同时选择输入 (4-67) 其中常数 ,使 负定，那么原系统采用式(4-67)所示的状态反响控制后,闭环系统成为大范围渐近稳定系统 【例4-13】设待校正系统的状态方程待校正系统的状态方程为 问采用什么样的控制结构使其成为渐近稳定系统采用什么样的控制结构使其成为渐近稳定系统? 解 原系统的特征值为 ,可见原系统不是渐原系统不是渐近稳定近稳定,只是李亚普诺夫意义下稳定只是李亚普诺夫意义下稳定。

取P=I,即选李亚普诺夫函数为 那么V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数  假设取 ,那么 是半负定的, 且 在非零解状态运动轨线上不恒等于零,故系统校正为渐近稳定系统 可见,原系统采用状态反响控制 校正后得到的闭环系统那么成为渐近稳定系统 4.9 MATLAB在系统稳定性分析中的应用 4.9.1 李亚普诺夫第一法 MATLAB控制系统工具箱提供了控制系统工具箱提供了poly、、roots和和eig函数，通过调用它们，即可得出线性定常系统的特征函数，通过调用它们，即可得出线性定常系统的特征值，进而得出系统稳定性的结论值，进而得出系统稳定性的结论  李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法 MATLAB控制系统工具箱中提供的矩阵方程求解函数lyap及dlyap可分别用于基于李亚普诺夫第二法的线性定常系统稳定性分析其中, lyap用于求解线性定常连续系统的李亚普诺夫方程, dlyap那么用于求解线性定常离散系统的李亚普诺夫方程 P=lyap(A,Q)可求解矩阵方程 ; P=dlyap(A,Q)可求解矩阵方程 。

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