初中数学竞赛培优讲义 含答案 19：因式分解.pdf

装订线初中数学竞赛培优讲义初中数学竞赛培优讲义数学竞赛练习（19）因式分解一、内容提要一、内容提要 和例题和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法下面再介紹两种方法添项拆项添项拆项是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例 1 因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1 若添上 2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项 3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2（a+b）3+c33ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例 2 因式分解：x311x+20a5+a+1分析：把中项11x 拆成16x+5x 分别与 x5,20 组成两组，则有公因式可提 （注意这里 16 是完全平方数）解：x311x+20 x316x+5x+20 x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x24x+5)1分析：添上a2和 a2两项，分别与 a5和 a+1 组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a2(a1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)运用因式定理和待定系数法运用因式定理和待定系数法定理：若 x=a 时，f(x)=0, 即 f(a)=0 ，则多项式 f(x)有一次因式 xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例 3 因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以 x=1,2,3,6（常数 6 的约数）分别代入原式，若值为 0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式解：x=2 时，x35x2+9x60，原式有一次因式 x 2，x35x2+9x6（x 2） （x23x+3,）分析：用最高次项的系数2 的约数1，2 分别去除常数项 3 的约数1，3 得商1，2，可知只有当 x=解：x=13，再分别以这些商代入原式求值，221时，原式值为 0故可知有因式 2x-121时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，2设 2x313x2+3（2x1） （x2+ax3） ，（a 是待定系数）比较右边和左边 x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1） （x26x3） 例 4 因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3ya） （x+3yb） ，a,b 是待定的系数，比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数，得a 4a 2b 14解得3a 3b 3b 52x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)这是关于 x 的二次三项式常数项可分解为（3y4） （3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4） nx+（3y+5） 比较左、右两边的 x2和 x 项的系数，得 m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)三、练习三、练习 19191分解因式：x4+x2y2+y4x4+4x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x29x341x+30 x3+5x218x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3x33x2+3x+7x39ax2+27a2x26a3x3+6x2+11x+6a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21x44x+32x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3） （x2+3x+4）82（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48（2x7）(2x+5)(x29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xyx2y2+2x4y3x4+x22ax a+1（x+y）4+x4+y4（a+b+c）3（a3+b3+c3）7.己知：n 是大于 1 的自然数求证：4n2+1 是合数8己知：f(x)=x2+bx+c,g(x)=x4+6x2+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5且知 f(x)是 g(x)的因式，也是 p(x)的因式求：当 x=1 时，f(x)的值练习练习 1919 参考答案：参考答案：1. 添项，配成完全平方式(仿例 3)2.拆中项，仿例 13. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y)3+y3原式=(x-3a)3+a3 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6x=1时，原式=0，有因式 2x125.看着是某代数式的二次三项式，仿例7原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=6.分组配方原式=(x2+1)2-(x+a)2把原式用乘法展开，合并，再分解以 a=b 代入原式0，故有因式 a+b7.可分解为两个非 1 的正整数的积8.提示 g(x),p(x)的和，差，倍仍有 f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与 f(x)比较系数，f(1)=43。