§14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学高考数学 1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:① 相离 、② 相切 、③ 相交 .判断直线与圆的位置关系常见的两种方法:(1)代数法: (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:dr⇔相离.知识清单 3.圆的切线方程问题(1)☉O的方程为x2+y2=r2(r>0),点M(x0,y0),若点M在☉O上,则过M的切线方程为x0x+y0y=r2;若点M在☉O外,则直线x0x+y0y=r2与☉O的位置关系是相交;若点M在☉O内,则直线x0x+y0y=r2与☉O的位置关系是相离.(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引切线,切点为T,切线长公式为|MT|= . 拓展延伸常见的圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程.(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.(2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数.(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).(4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,因此注意检验C2是否满足题意,以防丢解). 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法1.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.方法技巧方法1 2.判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长;(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1+r2,|r1-r2|;(3)比较d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论.例1 (2017苏北四市高三上学期期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2). (1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,且MN=AB,求直线l的方程;(2)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,说明理由. 解析 (1)由已知得,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心C(2,0),半径为2.因为l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为 =1,故可设直线l的方程为x-y+m=0,则圆心C到直线l的距离d= = .因为MN=AB= =2 ,而CM2=d2+ ,所以4= +2, 解得m=0或m=-4,故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0.(2)存在.假设圆C上存在点P,使得PA2+PB2=12,设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为2-2< <2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以满足条件的点P的个数为2. 直线与圆、圆与圆位置关系的应用直线与圆、圆与圆位置关系的应用此类问题主要有求最值和求参数的取值范围两种类型.处理此类问题时,一般是将直线与圆、圆与圆的方程关系转化为点到直线的距离、圆心距与半径的关系,再利用函数或不等式求最值或范围.例2 (2017江苏七校联考)已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆M上运动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积的最大值为 .方法2 解析 易知圆M的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,则圆心M到直线l:x-y=1的距离为 = .易知,当BD过圆心M且垂直于AC时,四边形ABCD的面积取最大值,为 ×2 = . 答案 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法解决与圆有关的切线和弦长问题的方法1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y0;当斜率存在时,设为k,①k≠0 时 由 垂 直 关 系 知 切 线 斜 率 为 - ,由点斜式方程可求切线方程,②k=0时切线方程为x=x0.2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程(1)几何法:当切线斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程x=x0.(2)代数法:当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切线方方法3 程即可求出.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程x=x0.3.圆的弦长的求法(1)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则 =r2-d2.(2)代数法:设直线y=kx+b与圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,列方程组 消y后得关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,则弦长|AB|= .例3 (1)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .(2)(2016江苏淮阴中学月考)已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,过A(1,2)有两条圆的切线,则a的取值范围是 . 解析 (1)设P(3,1),圆心C(2,2),则|PC|= .由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直,所以最短弦长为2 =2 .故答案为2 .(2)将圆C的方程化为标准方程: +(y+1)2= ,其圆心坐标为C ,半径r= .当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,则AC>r,即 > ,即a2+a+9>0,解得a∈R.又4-3a2>0时,x2+y2+ax+2y+a2=0才表示圆,所以a的取值范围是 . 答案 (1)2 (2) 。
