河南省九师联考2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案).docx

河南省九师联考2024届高三上学期10月质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知复数z满足,则( )A. B.2 C. D.2．设集合,,则( )A. B. C. D.3．已知是角的终边上一点,则( )A. B. C. D.4．已知平面向量,和实数,则“”是“与共线”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2）,若图2中,D,E分别在BA,BC上,,的长为l,则该折扇的扇面ADEC的面积为( )A. B. C. D.6．已知,,,则( )A. B. C. D.7．如图,已知两个单位向量,和向量,.与的夹角为,且,与的夹角为,若,则( )A. B. C.1 D.8．已知函数有三个零点,,,且,则a的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知函数为的两个极值点,且的最小值为,直线为图象的一条对称轴,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则( )A. B.C.的图象关于点对称 D.的图象关于点对称10．下列式子中最小值为4的是( )A. B.C. D.11．已知函数的定义域为R,其导函数为,,,且为奇函数,若,则( )A. B.4为的一个周期C. D.12．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,P为内一点,则下列命题正确的是( )A.若,则的面积与的面积之比是B.若,,,则满足条件的三角形有两个C.若,则为等腰三角形D.若点P是的重心,且,则为直角三角形三、填空题13．已知函数,则曲线在点处的切线方程为________.14．________.15．函数的值域为________.16．函数的最大值为M,最小值为m,若,则________.四、解答题17．已知向量,,函数.（1）求的最小正周期和单调递减区间;（2）在中,,,,求边AC的长.18．已知,且是偶函数.（1）求m的值;（2）若关于x的不等式在R上有解,求实数a的最大整数值.19．已知是方程的根.（1）求的值;（2）若是第四象限角,,求的值.20．南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形,如图所示）设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直,P与O,C不重合）,通过栈道把,,,连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感.已知,栈道总长度为函数.（1）求;（2）若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台P的位置,使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计）,并求出实现该愿景的建造费用的最小值.21．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且.（1）求的值;（2）若,证明:.22．已知函数为其导函数.（1）求在上极值点的个数;（2）若对恒成立,求a的值.参考答案1．答案：A解析：复数z满足,则,.故选:A2．答案：B解析：由题意得,,则,则,故A错误;,或,则,故B正确;又,,故C错误;,故D错误.故选:B.3．答案：B解析：因为是角的终边上一点,所以,,则,故选:B.4．答案：A解析：若,则与共线,可知充分性成立;若与共线,例如,,则不成立,可知必要性不成立;所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选:A.5．答案：D解析：依题意,,,所以,所以该折扇的扇面ADEC的面积为.故选:D6．答案：C解析：因为,,,可知,,且在定义域内单调递减,则,即,所以.故选:C.7．答案：D解析：如图所示,建立平面直角坐标系,则,又,,,结合三角函数的定义易得,而,,所以,故,即.故选:D8．答案：D解析：令,得,当时,,即或,只有2个零点,不合题意,故,又,所以,设,且,则,令,解得,且,当时,,则单调递减,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,则在的最小值为,画出简图,如图所示,所以当时,,当时,,设,则,变形为,记,令,则,,画出简图,如图所示,①当时,只有一个根,则只有一个根,不合题意;②当时,有两个根,,则有一个根,有两个根,符合题意;③当时,有两个根,,则有一个根,有一个根,不合题意;综上所述,,即,故选:D.9．答案：BD解析：选项A,因为,为的两个极值点,且的最小值为,所以的周期,所以,故A错误;则,选项B,由为图象的一条对称轴,所以,即,因为,所以,故B正确;则,将的图象向左平移个单位长度,得,选项C,若的图象关于点对称,则,但,故C错误;选项D,由,得,即的图象关于点对称,故D正确.故选:BD.10．答案：BC解析：对于选项A:因为,则,当且仅当,即时等号成立,但,所以的最小值不为4,故A错误;对于选项B:因为,,则,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为4,故B正确;对于选项C:因为,,则,当且仅当,即时,等号成立,故C成立;对于选项D:令,可得,所以4不是的最小值,故D错误;故选:BC.11．答案：ABD解析：因为为奇函数,所以,选项A,令,可得,故A正确;选项B,由,得,又已知,则,即,所以,即函数的一个周期为,故B正确;选项C,由,两边求导得,令,得,,故C错误;选项D,由,两边求导得,令,得,由,两边求导得,故的一个周期为4,,故D正确.故选:ABD.12．答案：ACD解析：对于A,如图,点P为内任意一点,延长AP交BC于点Q,则,则,所以所以,所以,即,又,所以,故A正确;对于B,由余弦定理得,即,解得或（舍去）,所以满足条件的三角形只有一个,故B错误;对于C,由得,,所以,因为,所以,即,所以为等腰三角形,故C正确;对于D,因为点P是的重心,所以,即,所以,即,所以,解得,因为,所以,所以为直角三角形,故D正确;故选:ACD.13．答案：解析：因为,则,可得,即切点坐标为,斜率,所以曲线在点处的切线方程为,即.故答案为:.14．答案：解析：.故.故答案为:.15．答案：解析：设,因为,则,可知,可得函数,则对任意恒成立,所以在上单调递增,且,所以该函数的值域为.故答案为:.16．答案：1解析：,设,则,记,因为,所以是在上的奇函数,最大值为,最小值为,所以,又因为,所以,故答案为:1.17．答案：（1）;（2）解析：（1）由题意得,所以的最小正周期,令,解得,所以的单调递减区间为（2）由（1）知,,则,由,得,则,解得,又由,得,已知,则由正弦定理,得.18．答案：（1）（2）5解析：（1）函数定义域为R,由函数为偶函数,有,即,则有,即,得,所以.（2）由（1）可知,,则,设,依题意有,由基本不等式,,当且仅当,即时等号成立,令,则,有,由二次函数的性质可知在上单调递减,在上单调递增,,则有,得,所以实数a的最大整数值为5.19．答案：（1）当在第三象限时,值为;当在第四象限时,值为.（2）解析：（1）方程,解得,,由,得,当在第三象限时,可得;当在第四象限时,可得,,所以,当在第三象限时,;当在第四象限时,,（2）若是第四象限角,则,,由,则,所以.20．答案：（1）（2）答案见解析解析：（1）由题意知,,,则,,所以.所以栈道总长度为（2）建造栈道的费用为,则,令,得,又,解得,当时,,当时,,则在单调递减,在单调递增,故,此时,故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时,建造费用最小,最小费用为万元.21．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）在锐角中,,已知,即,得,在中,由余弦定理得,则有,由,得,又,且,解得,,所以.（2）,,,由正弦定理,则有,,,,,其中,,,,,则有,,即,锐角中,,所以,则,即,有,又,则,所以,即.22．答案：（1）2（2）2解析：（1）①当时,,所以,,则,所以在单调递增;②当时,则,设,则,且,,则,所以在单调递减,又,故存在,使得,即,且在上,,在上,,所以在上单调递增,在上单调递减;③当时,则,所以,又,所以,故在上单调递减;④当时,则,所以,又,所以,当且仅当时取等号,所以在上单调递增;⑤当时,则,,,所以,在上单调递增;综上所述,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.所以在上仅有个极值点.（2）当时,恒成立,即.令,若对恒成立,由,,所以当时,取得最小值.由,则为函数的极小值点,故,解得.下面证明:当时,为函数的最小值点,,令,由（1）可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.又,且,所以当时,的最小值为,则恒成立,即在上恒成立,所以即在上单调递增,又,所以当时,,当时,,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,即恒成立,符合题意.综上所述,.。