2025-2026学年高二数学上学期第一次月考(沪教版2020).docx

2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4. 测试范围：沪教版 2020 选修第一册第一、二章5. 难度系数：0.65一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1. 已知点 A(2，0)，B(3，3)，则直线 AB 的倾斜角为2. 过点 P(－1，3)且倾斜角为 30°的直线方程为 ．3. 直线 l 经过原点，且经过两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为4. 已知圆方程 x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是5. 与直线 3x－4y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线的方程为 6. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且过 A(－1，1)和 B(1，3)两点，则圆 C 的方程是 ．7. 长为 2a 的线段的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹方程为 .8. 过点 P(2，1)作圆 O：x2＋y2＝1 的切线 l，则切线 l 的方程为 ．9. 已知椭圆 C：x225＋y216＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△ABF2 的周长为10. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶高是 6，则该双曲线的标准方程是11. 已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 A 坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为12. 若曲线 与直线 没有公共点，则实数 、 分别应满足的条件是二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项)13. 以 A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ）A. 锐角三角形 B．钝角三角形C．以 A 为直角顶点的直角三角形 D．以 B 为直角顶点的直角三角形14. “2＜m＜6”是“方程 x2m－2＋y26－m＝1 表示的曲线为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于 轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ）A． B．C．D．16. 已知点 P(m，n)是函数 y＝2－－x2－2x 图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ）A．22－34 B．22＋34C．34)2－1 D．34)2＋1三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分.)17. 已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.（1） 试判断 a 为何值时，l1 与 l2 平行；（2） 当 l1⊥l2 时，求 a 的值；18. 已知点 P(2＋1，2－2)，点 M(3，1)，圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1） 求过点 P 的圆 C 的切线方程；（2） 求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．19．（1）已知椭圆 C 的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆 C 的标准方程；（2） 已知椭圆经过 P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；（3） 已知椭圆与椭圆 x24＋y23＝1 有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方程；20．已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）；（1） 证明：直线 l 过定点；（2） 若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；（3） 若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求：S 的最小值，并求此时直线 l 的方程；21. 已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线 C 上一点 P 到两焦点的距离之差的绝对值等于 4.（1） 双曲线 C 的标准方程；（2） 过点作直线交双曲线的右支于 A，B 两点，且 M 为 的中点，求直线 的方程；（3） 已知定点 ，点 D 是双曲线右支上的动点，求 的最小值；2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4. 测试范围：沪教版 2020 选修第一册第一、二章5. 难度系数：0.65一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1. 已知点 A(2，0)，B(3，3)，则直线 AB 的倾斜角为【答案】π3（或 60°）【解析】由题意得直线 AB 的斜率 k＝3)－03－2＝3，设直线 AB 的倾斜角为 α，则 tan α＝3；因为 0°≤α<180°，所以 α＝60°；2. 过点 P(－1，3)且倾斜角为 30°的直线方程为 ．【答案】x－3y＋4＝0【解析】由点斜式可得 y－3＝tan 30°(x＋1)，即 y－3＝3)3(x＋1)，化简得 x－3y＋4＝0.3. 直线 l 经过原点，且经过两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为【答案】2x－y＝0. ；【解析】方法 1：联立 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，)解得 x＝－1，y＝－2，)所以两直线的交点为(－1，－2)，所以直线 l 的斜率为－2－0－1－0＝2，则直线 l 的方程为 2x－y＝0；方法 2：设所求直线 l 的方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R).因为直线 l 经过原点，所以 2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得 λ＝8；所以直线 l 的方程为 2x－y＝0；4. 已知圆方程 x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是【答案】 (2，0)；【解析】依题意，圆 x2＋y2－4x－1＝0 转化为标准方程得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)；5. 与直线 3x－4y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线的方程为 【答案】3x＋4y＋5＝0；【解析】设所求对称直线的点的坐标为(x，y)，关于 x 轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为 3x＋4y＋5＝0；2 / 96. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且过 A(－1，1)和 B(1，3)两点，则圆 C 的方程是 ．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】圆 C 的圆心在 x 轴上，设圆心为 C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得 a＝2，可得圆心为 C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.7. 长为 2a 的线段的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹方程为 .【答案】x2＋y2＝a2【解析】如图，设线段 AB 的中点为 M(x，y)，点 M 运动时，它到原点 O 的距离为定长，即 Rt△AOB的斜边上的中线长为定长．因为|AB|＝2a，即点 M∈{M||OM|＝a}，点 M 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2.8. 过点 P(2，1)作圆 O：x2＋y2＝1 的切线 l，则切线 l 的方程为 ．【答案】y＝1 或 4x－3y－5＝0【解析】设切线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，所以|1－2k|\r(k2＋1)＝1，解得 k＝0 或 43，因此所求切线 l 的方程为 y＝1 或 4x－3y－5＝0；9. 已知椭圆 C：x225＋y216＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△ABF2 的周长为【答案】20；【解析】由题意，椭圆的长轴长为 2a＝225＝10，由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF2 的周长是 20.10. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶高是 6，则该双曲线的标准方程是【答案】【解析】由题意可知该双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，点 在该双曲线上．设该双曲线的方程为 ，则解得，，故该双曲线的标准方程是 ．11. 已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 A 坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为【答案】4；【解析】由抛物线 y2＝4x 知 p＝2，则 F(1，0)，准线 l 方程为 x＝－1.如图所示，点 A 在抛物线内，过点 P 作抛物线准线 l 的垂线段，垂足为点 P′，过点 A 作 AH⊥l 于点 H.由抛物线的定义得|PF|＝|PP′|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AH|，当且仅当点 P 是线段 AH 与抛物线的交点(即 A，P，H 三点共线)时取等号．故|PA|＋|PF|的最小值为|AH|＝3＋p2＝4；12. 若曲线与直线 没有公共点，则实数 、 分别应满足的条件是【提示】由条件作出曲线的图象，根据图象分析出当直线 与轴垂直且夹在直线 之间.【答案】 且【解析】方法 1：曲线 ,作出其图像，如图所示，曲线 的图象关于轴对称3 / 9若，当 时，一次函数的增加的速度比函数 快.所以当 时，若 ，则的图象与曲线 的图象一定有交点.所以当 时，若时，根据 的图象与曲线的图象变化情况 可得的图象与曲线的图象一定有交点，所以当 时，不满足条件.所以 ，根据图象可得 ．故答案为： 且方法 2：当 k＝0 时， ⇒ b2＝｜x｜＋1≥1，所以，只需｜b｜＜1，方程 b2＝｜x｜＋1 无解，即 k＝0，｜b｜＜1 即可；当 k≠0 时，因为，y＝kx＋b 与 y＝kx 平行，若 y＝kx 与 y2＝｜x｜＋1 有公共点，则 y＝kx＋b 与 y2＝｜x｜＋1 也有公共点，。