数值分析实验(235章).doc

试验2.1多项式插值的振荡现象实验目的：观察多项式插值的振荡现象，了解多项式的次数与逼近效果的关系实验内容:问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数显然Lagrange插 值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数Runge给出的一个例子是极著 名并富有启发性的设区间卜1,1］上的函数/(x) = ,1 + 25x2考虑区间卜1, 1］上的一个等距划分，分点为,2iXj = 一1 , i=0, 1, 2,…，nn则拉格朗口插值多项式为：Ln(x) = i=0l + 25x：h(x)，其中的lj(x) , i=0, 1, 2,…，n是n次拉格朗日插值基函数实验要求:1、选择不断增大的分点数目*2, 3, ,画出原函数.f(x)及插值多项式函 数Ln(x)在卜1, 1］上的图像，比较并分析试验结果2、选择其他的函数，例如定义在区间卜5, 5］上的函数/?(x) = 一, g(x) = arctan x， 1 + x重复上述的实验看其结果如何实验步骤及结果分析：1、选择不断增大的分点数目n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10做/(x)的拉格朗日插值多项式Ln(x),并与原函数值做比较，如下图所示。

观察图像可知：n=2, 3时插值函数和原函数差别很大，门二4, 5, 6吋插值函数与原函数的逼近程 度相对较好，继续增加插值次数n,插值函数在插值区域的中间部分收敛，而在这区间外是发散的，此外，门二7,9时在插值中间区域逼近效果不好因此，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数太高反而产生 相反的效果2、选择其他的函数进行插值原函数/?（兀）=宀，区间卜5, 5],插值结果如下图：1+Xo o o o-0-0-0-0;(x)u-=x pue O(X)J=A观察图像可知：低次插值时，插值效果不好n=7,&9,10时，在区间[-2, 2],插值函数与原函数逼近程度好，但在区间外插值函数发散其中，n=8,10插值效果比"7,9好Ax)u-=x pue o(m)jlX;(x)ulrx pue 0(x)1观察图像可知：n=5,6,7,&9,10时，在区间[-3, 3],插值函数与原函数逼近程度好，但在区间外 插值函数发散其中，n=7,9在插值区间两端发散的更剧烈分析在插值区间两端发散的原因：次数越高，计算量就越大，积累误差也大，在整个区间上做高次多项式，当局部 插值节点处的值有微小偏差时，可能引起整个区间上函数值的很大变化，使计算 不稳定。

Matlab程序如下：function t_charpt2%数值实验二%输入：实验选择，函数式选择，插值节点数%输出：拟合函数及原函数的图形result=inputdlg({,iW选择实验，若选 2.1,请输入 1,否则输入 2:,}/charpt_2\l,{,l,})；Nb=str2num(char(result));if(Nb〜=1)&(Nb~=2) errordlg(实验选择错误!)； return;endpromps={*请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输Ag：*}；result=inputdlg(promps/charpt 2； 1 ,{f});Nb_f=char( result);if(Nb_f〜二 f &N b_f 〜-h&N b_f〜-gj errordlg(f实验选择错误！’)； return;endresult二inputdig(「请输入插值点数 N:,},,charpt_2,l,{,10,})；Nd=str2num(char( result));if(Nd

实验内容及要求：编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作3次多项式最小拟合I.0-.050.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数叱•三1,求拟合曲线0 =工论 中的参数｛ak｝.平方误差尸，并作离散R=0数据｛”）讣的拟合函数y =（p\x）的图形实验步骤及结果分析：拟合函数矿6）的图形：■mod pue * on拟合曲线0 = m 中的平方误差尸为2.17619.005； 参数血｝%alph中的四个数值，按降幕排列I.999H, -2.99767, -3.96825e-005,0.549119o观察图像可知：表中数据均在拟合曲线上，拟合结果很好，平方误差为10・5数量级Matlab程序如下：function charpt3%数值实验三：含“实验3.1 ”禾口 "实验3.2”%子函数调用：dlsa%输入：实验选择%输出：原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph和误差rresult=inputdlg({*iW选择实验,若选 3.1,请输入 1,否则输入 2： },charpt_3丄{T}); Nb=str2num(char(result));if((Nb~= 1)&(Nb~=2)) errordlgC实验选择错误! ); return; endx0=-l:0.5:2;y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];n=3;%n为拟合阶次ifNb==lalph=polyfit(xO,yO,n);y=polyval(alph,xO);r=(yO-y) * (yO-y)1;%平方误差x=-1:0.01:2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,k」)；xlabel(x); ylabel(y0 * and polyfit.y—);hold onplotfxO^O；*1);(illX离散数据的多项式拟合J;grid on;elseresult=inputdlg({请输入权向量 w:,),,charpt_3\l,{,[l 11111 I]1})； w=str2num(char(result));[a,b,c,alph,r]=dlsa(x0,y0,w,n);enddisp(「平方误差:,sprintf(%g；r)]);disp([參数 alph： ； sprintfC%g\t\alph)])function [a,b,c,alph,r]=dlsa(x,y,w,n)%功能：用正交化方法对离散数据作多项式最小二乘拟合。

输入：m+1个离散点(x,y,w), x, y, w分别用行向量给出 拟合多项式的次数n, 0 =m) eirordlg(错误：n=m!‘)； retum;end%求三项递推公式的参数a, b,拟合多项式s(x)的系数c,其中d(k)=(y,sk); s I =0;s2=ones( 1 ,m+1 );v2=sum(w);d(l)=y*w*;c( l)=d(l )/v2;for k=l: nxs=x.*s2.A2*w,;a(k)=xs/v2;讦 k=l b(k)=0;else b(k)=v2/vl;ends3=(x-a(k)).*s2-b(k)*s 1;v3=s3.人 2*w;d(k+ l)=y.*s3*w;c(k+1 )=d(k+ l)/v3;s 1 =s2;s2=s3;v 1 =v2;v2=v3;end%求平方误差r r=y.A2*w-c*d;%求拟合多项式s(x)的降幕系数al phalph=zeros(l ,n+1); T=zeros(n+1 ,n+2); T(:,2)=ones(n+1,1); T(2,3)=・a(l);if n>=2for k=3:n+lfor i=3:k+lT(k,i)=T(k-1 ,i)-a(k-l )*T(k-l ,i-l )-b(k-l)*T(k-2,i-2);endendendfor i=l :n+lfor k=i:n+lalph(n+2-i)=alph(n+2-i)+c(k)*T(k,k+2-i);endend%用秦九韶方法计算s(x)的输出序列(t,s) xmin=min(x); xmax=max(x); dx=(xmax-xmin)/(25*m); t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx);s=alph(l);for k=2:n+ls=s.*t+alph(k);end%输出点列x・y和拟合曲线t-s的图形 plot(t,s；-\x,y；*);titlefW散数据•的止交化多项式拟合?;xlabel(x);ylabel(y);grid on;试验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性试验实验目的：考察下面微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为 好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R・K法计算稳定性的影响。