华中师范大学线性代数与解析几何考试试卷A卷1月.doc

华中师范大学 2006–2007 学年第一学期期末考试试卷（A卷）参考答案课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘题型填空题判断题计算题证明题总分分值15155020100得分得分评阅人一、填空题：（共5题，每题3分，共15分） 1、一个向量构成的向量组线性无关当且仅当 .2、矩阵的初等因子组为.3、设A 为向量空间V到U的线性映射，则 = dim(V) .4、设的初等因子组为，则的不变因子组是 .5、设A是复矩阵，如果A满足 , 则称A是正规矩阵 .得分评阅人二、判断题： （共5题， 每题3分， 共15分，对的请打“ √ ” ，错的请打 ””）1、设是n阶—矩阵，则可逆当且仅当是有限个初等—矩阵的乘积√ ）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------2、正交变换的积还是正交变换. （ √ ）3、对称变换的积还是对称变换. （ ）4、 若A 为线性空间V到U的线性映射，且为单射，则A 为V到U的同构映射.（ ）5、向量空间V的任何子空间W都有补子空间. （ √ ）得分评阅人三、计算题： （共3题，共50分） 1、 (本题20分) 设 .（1） 求A的特征矩阵；（2） 求A的子式因子组；（3） 求A的不变因子组；（4） 求A的初等因子组；（5） 求A的若当标准形.解： （1）A的特征矩阵为： ； （4分） （2）由于存在一个三阶子式=6，所以A的子式因子组为 而。

（8分） （3）由子式因子组和不变因子组之间的关系，得A的不变因子为： （12分） （4） 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得A的初等因子组为：，； （16分） （5） A的Jordan标准形为： （20分）2、 （本题10分） 设线性变换A 在基底()下的矩阵为，而 ()= (), 求线性变换A 在基底()下的矩阵.解： A ()=A ()=()A=()A （5分） 所以线性变换A 在基底()下的矩阵为= （10分） ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------3、 （本题20分） 设A = ， (1) 证明：矩阵A是正规矩阵；(2) 求酉矩阵，使得为对角形，并写出此对角形. 解：（1） 因为有 === 所以矩阵A是正规矩阵。

（5分）（2） 由于 ===， 所以A的特征根为 （11分）当时， 解线性方程组AX=0,得基础解系为：12分）当时， 解线性方程组,得基础解系为： （13分）当时， 解线性方程组,得基础解系为：14分）将这三个向量单位化得：，， 令 （17分）则Q是酉矩阵，且 = （20分） 得 分评阅人四、证明题：（共2题，共20分） 1、 （本题10分） 设A是酉空间V的一个对称变换，W是A的不变子空间，证明：也是A不变子空间.证明： 由A 是酉空间V的对称变换 ， 故A =A*， 从而对任意的 ，有 （5分）又因为W是A 的不变子空间，故对任意的，有，从而所以 ,即也是A 不变子空间 （10分）2、 （本题10分） 设A是酉空间V的正规变换，是A的属于特征值的特征向量，证明：是A* 的属于特征值的特征向量.证明：由假设，，且由A是酉空间V的正规变换，从而=， （3分）故有=--+= --+= --+= --+ = 0 . （8分） 由内积的正定性，有，因此 （10分） ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 。