(word完整版)高一数学寒假课程第5讲-函数图像的变换.doc

9•要作函数yf(a x)的图象，只需将函数 y寒假课程・高一数学第五讲函数图像的变换一、知识梳理1•水平平移：函数y f(x a)的图像是将函数 y f(x)的图像沿x轴方向向左(a >0)或向右(a v 0)平移a 个单位得到•称之为函数图象的左、右平移变换 •2•竖直平移：函数y f(x) a的图像是将函数 y f (x)的图像沿y轴方向向上(a >0)或向下(a v0)平移a 个单位得到•称之为函数图象的上、下平移变换 •3•要作函数y f(x)的图象，只需将函数 y f (x)的图象y轴右侧的部分对称到 y轴左侧去，而y轴左 侧的原来图象消失•称之为关于y轴的右到左对称变换(简称去左翻右)4•要作函数y f(x)的图象，只需将函数y f (x)的图象x轴下方的部分对折到 x轴上方即可•叫做关于x轴的下部折上变换(简称去下翻上)5•要作y f( x)的图象，只需将函数y f (x)的图象以y轴为对折线，把y轴右侧的部分折到 y轴左侧去•同时，将y轴左侧的部分折到 y轴右侧去•叫做关于y轴的翻转变换•6•要作函数y f (x)的图象，只需将函数 y f(x)的图象以x轴为对折线，把x轴上方的图形折到 x轴下方去，同时又把 x轴下方的图象折到 x轴上方去即可•叫做关于x轴的翻转变换•7•要作函数y f(ax) ( a >0)的图象，只需将函数 y f(x)图象上所有点的横坐标缩短( a > 1)或伸1长(0v a v 1)到原来的一倍(纵坐标不变)即可(若 a v 0,还得同时进行关于 y轴的翻转变换•这种变 a换叫做函数图象的横向伸缩变换 •8•要作函数y Af(x) (A> 0)的图象，只需将函数 y f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(A> 1)或缩 短(0VAV 1 )到原来的A倍(横坐标不变)即可 •这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换(若Av 0,还 要再进行关于x轴的翻转变换)•af (x)的图象发生关于直线 x = 的翻转变换即可实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于 y轴翻转变换的复合，即先把 y f(x)图象发生左右平移得到函数 y f (x a)的图象，再关于y轴翻转便得到y f (a x)的图象•#寒假课程・高一数学10.要作函数y h f(x)的图象，只需将函数 yf(x)的图象发生关于直线y =-的翻转变换即可2实质上，这种变换是函数图象的关于 x轴的翻转变换与上下平移变换的复合， 即先把函数y f(x)的图象发生关于x轴的翻转变换得到 yf (x)的图象，再把y f (x)的图象向上(h > 0)或向下(h v0)平移丨h丨个单位便得到函数 y h f (x)的图象.综合第9、第10变换，要作函数y hf (a x)的图象，只需做出函数ya hf (x)图象的关于点(上，上)2 2的中心对称图形即可二、 方法归纳1•作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法作函数图象的步骤： ① 确定函数的定义域； ② 化简函数的解析式； ③ 讨论函数的性质(即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势(渐进性质) ；④ 描点连线，画出函数的图象•用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换； ②是确定实施怎样的变换.2•识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息 .3•关注函数图像的变换对函数的性质的影响 .三、 典型例题精讲错解分析:错解一：由 lOga |x|>0 得 lOga |x|1 >1 即 f (x) >1,故选 B.错误在于误将loga|x|等同于|logax|，做出误判loga|x| >0错解二：没注意0 a1，而默认为a 1，故选c解析：考虑0 a 1，当x 0时，f(x)log a x 1为减函数，淘汰 B、c .故B、C、D满足；1 1又函数g(x) 2 x 1 (2)x1，其图象为y (2)x的图象向右平移1个单位得到，故a、C满足•由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择•本题亦可用特殊值法得到正确的选项 •由f(1) 1，可知B、C、D满足；又g(0) 2，可知A、C满足•故选C.又例：函数f (2x3)的图象，可由函数 f(2x3)的图象经过下述哪个变换得到()A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：将函数f(2x 3)中的x用x 3代之，即可得到函数 f(2x 3)，所以将函数f(2x 3)的图象向右平移3个单位即可得到函数 f(2x 3)的图象,故选D.寒假课程・高一数学【例3】函数y 3x的图象与函数y(1)x的图象关于(A.点(—1, 0)对称C.点(1，0)对称B.直线X = 1对称D.直线X =— 1对称解析：若记 y f(x) 3X，则(1)x 2 32 x f(2 x),由于y f (x)与y f(2 x)的图象关于直线x = 1对称，二 选B.技巧提示：若f (x)自身满足f(x) f(2a x)，则y f (x)的图象关于直线x = a对称；若f (x)自身满足f (x) f (2a x)，则y f (x)的图象关于点(a , 0)对称.两个函数y f (x)与yf (2a x)的图象关于直线 x = a对称;两个函数y f (x)与yf(2a x)的图象关于点(a , 0)对称.【例4】设f(x) 2 x2，若a b 0,且f(a)f (b)，则ab的取值范围是(A. (0,2) B. (0,2]C. (0,4]解析：保留函数 y 2 x2在x轴上方的图象，将其在 x轴下方的图像翻折到 x轴上方区即可得到函数f (x) 2 x2的图象.通过观察图像，可知 f (x)在区间(，.2］上是减函数，在区间［.2,0］上是增函数，由 a b 0，且 f (a) f (b).可知 a . 2 b 0，所以 f(a) a2 2，f(b) 2 b2，从而 a2 2 2 b2，即 a2 b2 4，2 2 2又(a b) a b 2ab 4 2ab >0，所以 0 ab 2 •故选 A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数 y 2 x2的图象和性质，进而得到 f(x) 2 x2的图像和性质•由a b 0，且f(a) f (b)，得到a2 b2 4才使得问题变得容易.又例：直线y 1与曲线y x2 x a有四个交点，贝U a的取值范围是 .解析：因为函数 y x2 x a是偶函数，所以曲线 y x2 x a关于y轴对称.#寒假课程・高一数学当 x 之时，y x2 x a = (x -)2 a 1 ,2 4其图象如下:aa1由直线y 1与曲线有四个交点，得故a的取值范围是4再例：已知定义在 R上的奇函数f(x)，满足方程f(x) m (m >0)在区间 8,8上有四个不同的根解析：因为定义在 R上的奇函数，满足 f(x 4)f(xa —45「解得1 a .1 44) f (x)，且在区间［0 , 2］上是增函数，若X1,X2,X3, x ,X1X2X3 X4f(x)，所以f(4x)f (x),函数图象关于直线 x 2对称，且f(0) 0 ,再由f(x 4)f (x)知 f(x 8)f (x)，所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f (x)在区间［0 , 2］上是增函数，所以 f(x)在区间［—2, 0］上也是增函数.如图所示，那么方程f (x) m (m > 0)在区间 8,8上有四个不同的根 x1, x2 ,x3, x4,不妨设x1 x2X4,X38.A. (- m,_ 1 )D.(1 , 2)寒假课程・高一数学【例5】定义在R函数f (x) = (22 皿 的图象如下图所示，则 m的取值范围是( )x m解析：方法一(排除法)：若m <0则函数f(x) (22 m)X的定义域不为R,x m与图象信息定义域为 R不符，故排除掉 A、B.x = ±1 时,f (x)取得极值,x取m = 1, f (x) = -^ ，此函数当x 1与所给图形不符，排除 C•选D.方法二：显然 f(x)为奇函数，又f(1) >0, f (1) v 0,即 mJ v 0,1 m解得—1 v m v 2.又f (x)取得最大值时，x = m > 1,• m > 1 ,••• 1 v m v 2.故选 D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m对奇偶性影响不大,但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数2时，连续函数y、1(x0)的图像分别对应曲线G和C2，则( )A. 0 1B.0 2 1C. 1 2D. 2 1 0解析：由条件中的函数是分式无理型函数,先由函数在(0,)是连续的,可知参数1 0, 2 0，即排除C, D 项,又取x 1，知对应函数值 y1-,y21寒假课程・高一数学由图可知y1 y2,所以1 2，即选B项.【例6】定义区间［X1，X2〕(X1 X2)的长度为X2 X1，已知函数f (x) |log 1 x |的定义域为［a,b］，值域2为［0,2］,则区间［a,b］的长度的最大值与最小值的差为错解分析：函数f (x) |log 1 x |的图象如图.2令 f (x) | log 1 x |21• fq f(4) 2，又 f(1)•••［a,b］长度的最大值为4 13 ;最小值为3故所求最大值与最小值的差为 3 34解析：函数f(x) | log 1 x |的图象如上图.24.令 f (x) | log 1 x | 2，得2• ［a,b］长度的最大值为415 ;最小值为4故所求最大值与最小值的差为技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键又例：已知函数f(x) loga(2x b 1)(a0,aA. 0 aB. 0 b aC.0 bD. 0 ab1( )寒假课程・高一数学解析：由图易得a 1，二0 a 1 1取特殊点 x 0, 1 f(0) loga b 0.即1log；1a — aloga bloga1,••• 01 ab1 .故选A.【例7】若不等式92 xk(x 2)•• 2的解集为区间a,。