《高等数学》第1章测验题答案.pdf

1 《高等数学》第一章测验题参考解答《高等数学》第一章测验题参考解答 专业业 姓名姓名 学号学号 成绩成绩 一、一、填空题（本题共填空题（本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，满分分，满分 1010 分分. . 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） ：： 1. 设12(1)2( )ln ,( )[( )] ln 12xxf xxxfxxx, 则 2.设22233lim 15 , 1 2xxaxaAaAxx存在，则 3 设21( )(0,1),limln[ (1) (2)( )]xnf xaaafff nn则1ln 2a 4. 函数210( )(25)lnxf xxx 的连续区间是 (0,1)(1,5] 5. 函数21( )(1)xef xx x的可去间断点是 x0 = 0 , 补充定义 f (x0) = – 2 , 则函数 f (x)在 x0处连续。

二、选择题二、选择题( (本题共本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，满分分，满分 2020 分分. . 每小题给出的四个选项中，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) )：： 1.若111( ),( ) xffxAxx则 A. x – 1 B. x + 1 C. –x – 1 D. –x + 1 2. 设 f (x) 在 (–∞, +∞)上有定义, 下列函数中 C 必是奇函数 23. () . ( ) . () . ()A yf xB yf xC yxf xD yf x  3. 设函数sin( )arctanxf xx e, 则函数 f (x) 是 B A. 无界函数 B. 有界函数 C. 周期函数 D. 单调函数 4. 下列函数在 (–1, 1 ) 内无界的是 D 。

222. . ln(1) 21. arccos . 1xA yeB yx xC yxD y x  2 5. 下列数列中 A 不收敛 1234123. ,,,, . ,,,2345234 231212. 1 ,, 1,, 1, . ,,,,342345ABCD6.21nnnnny nn  当 为奇数 设数列的通项为 当 为偶数,则当 n —>∞时, y n 是 D A. 无穷大量 B. 无穷小量 C. 有界变量 D. 无界变量 7. 下列等式正确的是 B 01 10111. lim 0 . lim sin1 21 1. lim 0 . lim sin1xxxxxxABxxCeDxx8. 当 x  0 + 时，与x等价的无穷小量是 B ． A. xe1， B. )1ln(x ， C. 11  x， D. xcos1  9. 方程32220xxx在区间 B 内至少有一个实根。

A. (–2, –1) B. (–2, 1) C. (0, 1 ) D. (1, 2 ) 10. 设函数 f (x) 在区间 (a, b) 内连续, 则函数 C 在 (a, b) 内必连续 231. . ln( ) . ( ) . arcsin( )( )ABf xCfxDf xf x三、计算题三、计算题(每小题每小题 6分，共分，共 48 分分)：： 1. 设221( )1arcsin,( )5xf xxf x 求的定义域 解：由 2102115xx （3 分） 得  2, 11,3x  （3 分） 3 ( )( ),( ),( ).xxxxeeyf xyg xyxf xg xee2.已知函数与的图形关于直线对称 且求 11( )( )( )( )yf xyfxyxg xfx解与其反函数关于直线对称（3 分） 1111ln( )ln2121yxxg xyx又由已知条件解出，故 （3 分） 3. lim[(1)1(1)1] nnnn   lim[(1)1(1)1]lim(1)1(1)1nnnnnn nnn  解 （3 分） 12lim2(1)(1)2 22nn n nn n（3 分） 4. 设2111lim( )( )2 lim( ),1xxxf xf xxf xx存在， 求 f (x) 。

1211lim( )1lim( )lim[2]221xxxf xAxAf xxAAx解设，（3 分） 221( )4 .1Axf xxx 则（3 分） 5. 设2 2 2(1)ln,[ ( )]ln ,lim ( )2xxf xfxxxx 且求 22 2 222(1) 1(1)lnln2(1) 1 1( )1,( )[ ( )]lnln1xxf xxx uuxxf ufxxu 解令则（3 分） 11( ),lim ( )lim1.11xxxxxxxx 故 （3 分） 6. 求201sincoslimln(1tan)xxxx x  4 22002 2221sincos1sincoslimlimln(1tan)ln(1tan)( 1sincos )0sin,1 cos,ln(1tan)tan2xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx解当时, （3 分） 00222200sin11lim21,lim1 cos21sincos 1 1sincos132limlim.ln(1tan)24xxxxxx xxxxxxxxx xx且 （3 分） 注意注意: 非零因子可以先取极限非零因子可以先取极限. 7. 求11lim(cossin)x xxx。

2221111lim(cossin)lim[(cossin) ]2lim(1 sin)x xxxxxxxxxx解（3 分） 211limsin1lim(cossin)2xxxxexxx （3 分） 8.( )()(1)1xeba bf xxxa xx试确定 , 之值,使有无穷间断点0及可去间断点.00110( )1lim( )lim()(1)0,1,0( )1( )lim( )lim()0xxxxxxxf xebbf xxa xaabxf xxf xf xebbe 解若是的无穷间断点,必有当时是的无穷间断点.又若是的可去间断点,存在则由分母的极限为零有（3 分） 1111(1)lim( )limlim()(1)()(1)11( )00( )1( )xxxxxebe eef xxa xxa xaabexf xabexf xxf x又当1,时,是的可去间断点.综上所述,当,时,是的无穷间断点,是的可去间断点.（3 分） 四、应用题四、应用题(本题满分本题满分 10 分分) 收音机每台售价 90 元，成本为 60 元。

厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量5 超过 100 台以上的，每多订购一台，售价就降低 1 分钱（例如，某商行定购了 300 台，订购量比 100 台多 200 台，于是每台就降低 0.01×200 =2（元） ，商行可以按 88 元/台的价格购进 300 台） ，但最低价为 75 元/台1) 把每台的实际售价 p 表示订购量 x 的函数; (2) 把利润 L表示为订购量 x 的函数; (3) 当某商行订购了 1000 台时，厂家可获利润多少？ 解解 (1)由题意知, 当 x≤100 时, 售价为 90 元/台; 设售价为 p 元/台, 售价最多降为 75 元/台, 此时的最大订购量 x 满足 75 = 90 – 0.01(x –100) , 则 x =1600. 即 当 1001600 时, 售价为 75. 故 90 0 < 100 ( ) 900.01(100) 100<160075 1600x p xxx x  ， ， ，. （2 分） (2) 利润 L = (p–60)· x =230 0 < 100310.01 100<160015 1600xxxxx xx  ，， ，. （2 分） (3) 商行订购了 1000 台时的售价为 p = 90 – (1000 – 100) × 0.01 = 81(元) （2 分） 故利润 L = (81 – 69) × 1000 = 21000(元) （2 分） 五、证明题、证明题(每小题每小题 6分，共分，共 12 分分) 1.设函数 f (x)的定义域是(–∞, 0)∪(0, +∞), 且满足 112 ( )( )f xfxx 证明 f (x) 是奇函数。

112 ( )( )12 ( )( )112 ( )( )tff ttxtff xxxf xfxx 证 令则联立已知条件有（3 分） 1 2( )()3 121 2()()()( ),( ).33f xxxfxxxf xf xxx  解之得且故是奇函数（3 分） 6 2. 21xx证明:方程至少有个小于1的正根. ( )21,( )( )[0,1] (0)10,(1)10xf xxf xf x ff    证设=则是初等函数, 在(- ,+ )处处连续.在区间内也连续 又（3 分） (0,1),(02101xfx 故由连续函数的介值定理,至少存在一个使得 )即方程至。