福建省福州市音西中学高一数学理期末试卷含解析.docx
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福建省福州市音西中学高一数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面ABC所成角都相等，则顶点P在底面的射影为△ABC的（ ）A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心参考答案：C【考点】L3：棱锥的结构特征；%5：三角形中的几个特殊点：旁心、费马点和欧拉线．【分析】作出三个二面角，利用三角形全等得出O到△ABC的三边距离相等，得出结论．【解答】解：设P在底面ABC的射影为O，过O向△ABC的三边作垂线OD，OE，OF，连结PD，PE，PF，∵PO⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PO⊥AB，又OD⊥AB，OD∩OP=O，∴AB⊥平面OPD，∴AB⊥PD，∴∠PDO为侧面PAB与平面ABC的二面角，同理∠PEO，∠PFO为其余两侧面与底面ABC的二面角，∴∠PDO=∠PEO=∠PFO，又PO⊥OD，PO⊥OE，PO⊥OF，PO为公共边，∴Rt△POD≌Rt△POE≌Rt△POF，∴OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．故选C．2. 下列函数中,在区间上是增函数的是 （ ）A． B． C． D．参考答案：A3. 如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（ ）A． B． C． D．参考答案：A【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】由题中条件：“n取±2，±四个值”，依据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象特征可得．【解答】解：根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n=2，曲线c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选A．4. 函数的图象大致是（ ）． A． B．C． D．参考答案：A设，则，故排除，；又∵，∴在时，有两个零点，排除，综上，故选．5. 函数的图像大致形状是 （ ）参考答案：B略6. 已知函数， 是奇函数，则（ ）A. f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递减C. f(x)在上单调递增 D. f(x)在上单调递增参考答案：A由题意得 ，且是奇函数，所以，所以又，所以，代入得，下求增区间，，当k=1时，，所以C，D错。
下求减区间，当k=0时，而 所以B错，A对，选A. 7. 数列{an}满足a1=0，an+1=，则a2015=（ ）A．0 B． C．1 D．2参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．【解答】解：∵an+1==，a1=0，∴a2==1，a3==，a4==2，a5==0，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，又∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=，故选：B．8. 已知函数，则下列结论正确的是A.是偶函数，递增区间是B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递减区间是D.是奇函数，递增区间是参考答案：C略9. 设是等差数列，且，，则等于（ ）A．13 B．35 C．49 D． 63 参考答案：C10. 若0＜a＜＜b＜p，且cosb＝－，sin(a＋b)＝，则sina 的值是 ( )．A． B． C． D．参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于有以下命题：①若则；②图象与图象相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称。
其中正确的命题是 ．参考答案：②③④略12. 已知A(2,3),,点P段BA延长线上，且，则点P的坐标是________.参考答案：(-6,15)略13. 如图，在2×3的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．参考答案：见解析直角边长为时，个，直角边长为时，个，直角边长为时，个，直角边长为时，个，∴总共有．14. 已知偶函数的定义域为，则______________.参考答案：6由题意可得 ，且m> , 解得m= -2(舍去)，或m=4由f(-x)=f(x)得 = ，解得a=1故=6. 15. 对于函数f（x）=x2+2x，在使f（x）≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f（x）=x2+2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2﹣4a+6的下确界为 ．参考答案：2【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】令a2﹣4a+6=（a﹣2）2+2≥M，求出满足条件的M的最大值Mmax，可得答案．【解答】解：∵a2﹣4a+6=（a﹣2）2+2≥2，则M≤2，即Mmax=2，故a2﹣4a+6的下确界为2，故答案为：216. 关于的方程，下列判断：①存在实数，使得方程有两个相等的实数根． ②存在实数，使得方程有两个不同的实数根； ③存在实数，使得方程有三个不同的实数根； ④存在实数，使得方程有四个不同的实数根其中正确的有 ▲ （填相应的序号）．参考答案：②③17. 函数的定义域是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q)，过点A做AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.（1）求l关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值.参考答案：（1），， （2），，当时，，所以时，.19. 已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数．∴f（0）=0，即，得b=1，则f（x）=，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=0，∴+=0，解得a=1．即a=b=1．（2）∵a=b=1．∴f（x）===﹣1+，则f（x）为减函数，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）即t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，则判别式△=4+3×4k＜0，解得k＜﹣，即k的取值范围是（﹣∞，﹣）．20. 平行于直线2x+5y﹣1=0的直线l与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．参考答案：设直线l的方程为2x+5y=a（a≠0），则直线l与两坐标轴的交点分别为（ ，0），（0，），∴×||?||=5，解得a=±10，∴直线l的方程为2x+5y=±10．略21. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：四边形ECD1F是梯形．参考答案：如图，连结EF、A1B、D1C，D1F，EC.∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊A1B.∵A1D1綊BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B綊D1C，∴EF綊D1C，∴四边形ECD1F是梯形．22. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+x+m?2x﹣1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）﹣x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m?2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即 log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立．∴2kx=log4（4﹣x+1）﹣log4（4x+1）===﹣x，∴k=﹣ …（3分）（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）﹣x=x+a即方程log4（4x+1）﹣x=a无解．令g（x）=log4（4x+1）﹣x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．…（4分）∵g（x）在R上是单调减函数．，∴g（x）＞0．∴a≤0 …（7分）（3）由题意函数h（x）=4f（x）+x+m?2x﹣1=4x+m?2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，…（8分）∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=﹣，故当﹣≤1，即m≥﹣2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=﹣1，当1＜﹣＜3，即﹣6＜m＜﹣2时，当t=﹣时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），=﹣3（舍。
