（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6 第6讲 数学归纳法教学案.doc

第6讲　数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√[教材衍化]1．(选修2­2P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.2．(选修2­2P96A组T2改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．答案：3　4　5　n＋1[易错纠偏](1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2 B．3 C．5 D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：(2k＋2)＋(2k＋3)　　　　　　用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．　 　(2020·温州七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋＋＋…＋，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，用数学归纳法证明Sn＝(n＋1)an－n.证明：当n＝1时，a1＝1，S1＝a1＝1，满足条件．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，Sk＝(k＋1)ak－k成立，则当n＝k＋1时，因为ak＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋－＝ak＋1－，所以Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak－k＋ak＋1＝(k＋1)(ak＋1－)－k＋ak＋1＝(k＋1)ak＋1－1－k＋ak＋1＝(k＋2)ak＋1－(1＋k)．从而Sn＝(n＋1)an－n成立．　　　　　　用数学归纳法证明不等式 (2020·衢州模拟)在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，且an＋1＝(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：an>2(n∈N*)；(2)求证an＋12，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即ak>2.则当n＝k＋1时，ak＋1－2＝－2＝>0，所以当n＝k＋1时ak＋1>2也成立，由①②得，对任意正整数n，都有an>2.(2)an＋1－an＝－an＝，由(1)可知an>2>0，所以an＋11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.(1)求证：≤an≤1；(2)求证：|an＋1－an|≤.证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，命题显然成立；②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，所以|an＋1－an|＝＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·.6．(2020·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，且a1＝2，b1＝4.令n＝1，得到解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．7．(2020·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：an≥.解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥＝1，不等式成立；②假设当n。