九年级数学相似三角形经典题(含答案).pdf

第页 共 16 页1 相似三角形经典习题教师版例 1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形例 2已知：如图，ABCD 中，2:1: EBAE，求AEF与CDF的周长的比，如果2cm6AEFS，求CDFS例 3如图，已知ABDACE，求证：ABCADE例 4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似（2）所有的等腰三角形都相似（3）所有的等腰直角三角形都相似（ 4）所有的等边三角形都相似例 5如图，D 点是ABC的边 AC 上的一点， 过 D 点画线段DE，使点 E 在ABC的边上， 并且点 D、点 E 和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法例 6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 厘米，求电线杆的高第页 共 16 页2 例 7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点 20m 的 A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到 C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1ACm，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m） 例 8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由例 9根据下列各组条件，判定ABC和CBA是否相似，并说明理由：（1）,cm4,cm5.2,cm5.3CABCABcm28,cm5.17,cm5.24ACCBBA（2）35,44,104,35ACBA（3）48,3 .1,5.1,48,6 .2,3BCBBABBCAB例 10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据例 11 已知： 如图， 在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线， 试利用三角形相似的关系说明ACDCAD2第页 共 16 页3 例 12已知ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的CBA的最大边长为26，求CBA的面积 S例 13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高3.5 米的竹竿直立在离旗杆27 米的 C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得C、D 两点的距离为3 米，小芳的目高为1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由例 14 如图，为了估算河的宽度， 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A， 再在河的这一边选点B 和 C， 使BCAB，然后再选点E，使BCEC，确定 BC 与 AE 的交点为D，测得120BD米，60DC米，50EC米，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？例 15如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和 F 处树立标杆DC 和 FE，标杆的高都是3 丈，相隔1000 步（1 步等于 5 尺） ，并且 AB、CD 和 EF 在同一平面内，从标杆DC 退后 123 步的 G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上求山峰的高度AB 及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例 16如图，已知ABC 的边 AB32， AC2，BC 边上的高 AD3（1）求 BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC，BC 上，求这个正方形的面积第页 共 16 页4 相似三角形经典习题答案例1解、相似，、相似，、相似例2解ABCD是平行四边形，CDABCDAB,/，AEFCDF，又2:1: EBAE，3:1:CDAE，AEF与CDF的周长的比是1：3又)cm(6,)31(22AEFCDFAEFSSS，)cm(542CDFS例 3 分析由于ABDACE，则CAEBAD，因此DAEBAC，如果再进一步证明AECAADBA，则问题得证证明ABDACE，CAEBAD又DACBADBAC，CAEDACDAE，DAEBACABDACE，AEACADAB在ABC和ADE中，AEACADABADEBAC,，ABCADE例 4分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同（3）正确设有等腰直角三角形ABC 和CBA，其中90CC，则45,45BBAA，设ABC的三边为a、b、c，CBA的边为cba、，则acbaacba2,2,，aaccbbaa,，ABCCBA（4）也正确，如ABC与CBA都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABCCBA答： （1） 、 （2）不正确（ 3） 、 （4）正确例 5解：画法略例 6分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30CE米，求 BC由于ADFACAFECDFAEC,，又ACFABC，BCGFECDF，从而可以求出BC 的长解ECDFECAE/,，EACDAFAECADF,，ADFAECACAFECDF又ECBCECGF,，ABCAGFACBAFGBCGF,/，AGFABC，BCGFACAF，BCGFECDF第页 共 16 页5 又60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30EC米，6BC米即电线杆的高为6米例 7分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与MNA的相似关系就明确了解因为MANBACANMNCABC,，所以BCAMNA所以ACANBCMN:，即5.1:206 .1:MN所以3.215.1206 .1MN（m） 说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦例 8分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度解在格点中BCABEFDE,，所以90BE，又4, 2,2, 1ABBCDEEF所以21BCEFABDE所以DEFABC说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏例 9解（1）因为7128cm4cm,7117.5cm2.5cm,7124.5cm3.5cmACCACBBCBAAB，所以ABCCBA；（2）因为41180BAC，两个三角形中只有AA，另外两个角都不相等，所以ABC与CBA不相似；（3）因为12,CBBCBAABBB，所以ABC相似于CBA例 10解（1）ADEABC两角相等；（2）ADEACB两角相等；（3）CDECAB两角相等；（ 4）EABECD两边成比例夹角相等；（5）ABDACB两边成比例夹角相等；（ 6）ABDACB两边成比例夹角相等例 11分析有一个角是65的等腰三角形，它的底角是72，而 BD 是底角的平分线，36CBD，则可推出ABCBCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系证明ACABA,36，72CABC又BD平分ABC，36CBDABDBCBDAD，且ABCBCD，BCCDABBC:，CDABBC2，CDACAD2说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式cdab，或平方式bca2，一般都是证明比例式，bdca，或caab，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式例 12 分析由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABCCBA，所以CBA也是直角三角形，那么由CBA的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出CBA的两条直角边长，再求得CBA的面积解设ABC的三边依次为，13,12,5ABACBC，则222ACBCAB，90C又ABCCBA，90CC212613BAABCAACCBBC，又12,5 ACBC，24,10CACB12010242121CBCAS例 13分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过F作ABFG于 G，交 CE 于 H，可知AGFEHF，且 GF、HF、EH 可求，这样可求得AG，故旗杆AB 可求解这种测量方法可行理由如下：设旗杆高xAB过 F 作ABFG于 G，交 CE 于 H（如图）所以AGFEHF因为3,30327,5 .1HFGFFD，所以5 .1,25 .15. 3xAGEH第页 共 16 页6 由AGFEHF，得HFGFEHAG，即33025.1x，所以205.1x，解得5.21x（米）所以旗杆的高为21.5 米说明在具体测量时，方法要现实、切实可行例 14. 解：90,ECDABCEDCADB，ABDECD，1006050120,CDECBDABCDBDECAB（米），答：两岸间AB 大致相距100 米例 15. 答案：1506AB米，30750BD步， （注意：AKFEFHKEAKCDDGKC, ）例 16. 分析： 要求 BC 的长，需画图来解，因AB、AC 都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D 在 BC 上或点 D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长解： （1）如上图，由ADBC，由勾股定理得BD 3，DC1，所以 BCBD DC314如下图，同理可求BD3，DC1，所以 BCBD CD312（2） 如下图， 由题目中的图知BC 4， 且162)32(2222ACAB，162BC， 222BCACAB 所以 ABC 是直角三角形由 AEGF 是正方形，设GFx，则 FC2x，GFAB，ACFCABGF，即2232xx33x，3612)33(2AEGFS正方形如下图，当BC2，AC2， ABC 是等腰三角形，作CPAB 于 P， AP321AB，在 Rt APC 中，由勾股定理得CP1，GHAB， CGH CBA，xxx132，32132x121348156)32132(2GFEHS正方形因此，正方形的面积为3612或121348156第页 共 16 页7 相似三角形一，比例线段1， 成比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如ba=dc（或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时有称这四条线段成比例2比例的性质（1）如果ba=dc，那么 ad=bc （2）如果 ad=bc（a，b，c，d 都不等于0） ，那么ba=dc（3）如果ba=cb，那么b2=ac （4）如果b2=ac，那么ba=cb（5）合比性质：如果ba=dc，那么bba=ddc（6）等比性质：如果ba=dc=.=nm（b+d+.+n0） ，那么ndbmca.=ba二，相似三角形1， 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形注意： （ 1）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样2）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例3）全等三角形是相似比为1 的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形2相似三角形的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单地说：两角对应相等，两三角形相似4）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单地说：两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似5）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单地说：三边对应成比例，则两三角形相似6）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。