第一讲：代数式与恒等变形.docx

第1 章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接 在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似 实数的属性，可以进行运算在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式（a + b）（a - b）二a2 - b2 ；完全平方公式（a 士 b）2二a2 士 2ab + b2 ,并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用而在 高中阶段的学习中,将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内 容知识延展1 多项式的平方公式：（a + b + c）2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac2 立方和公式：（a + b）（a2 一ab + b2） = a3 + b33 立方差公式：（a -b）（a2 + ab + b2）二 a3 -b34 完全立方公式：（a 士 b）3 = a3 士 3a2b + 3ab2 士 b3注意：（1）公式中的字母可以是数,也可以是单项式或多项式；（2） 要充分认识公式自身的价值,在多项式乘积中,正确使用乘法公式能提高运算速度, 减少运算中的失误；（3） 对公式的认识应当从发现,总结出公式的思维过程中学习探索,概括,抽象的科学 方法；（4） 由于公式的范围在不断扩大,本章及初中所学的仅仅是其中最基本,最常用的几个 公式。

一 计算和化简例 1 计算：（a -b）2（a + b）（a2 + ab + b2）变式训练：化简(x + y)(x - y)(x2 + y2 + xy)(x2 + y2 - xy) + y6利用乘法公式求值；1例2已知x2 -3x +1 = 0，求x3 +一的值x3变式训练：已知a + b + c = 3且ab + be + ac = 2，求a2 + b2 + c2的值三 利用乘法公式证明例 3 已矢口 a + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 0 求证：a2009 + b2009 + c2009 = 0变式训练：已知 14(a2 + b2 + c2) = (a + 2b + 3c)2，求证：a:b:c = 1:2:3习题精练1 化简：(a + b)(a2 -ab + b2) - (a + b)32 化简(a -1)(a2 + a +1)(a + 1)(a2 - a + 1)(a6 +1)(a12 +1)3已知x + y = 10且x3 + y3二100，求代数式x2 + y2的值;4已知a =存 * 20, b =咕 X *19, C=2ox *21求代数式a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 的值;5 已知(x + y + z)2 二 3(x2 + y2 + z2)，求证：x 二 y 二 z6已知a4 + b4 + c4 + d4二4abcd且a,b,c,d均为正数，求证：以a,b,c,d为边的四边形为菱形。

1.2 因式分解知识延展一 运用公式法立方和(差)公式：a3 + b3 = (a + b)(a2 -ab + b2); a3 -b3 = (a -b)(a2 + ab + b2)二 分组分解法1 分组后能直接提公因式女如 a2 - ab + ac - bc = (a2 - ab) + (ac - bc) = a(a - b) + c(a - b) = (a - b)(a + c)2 分组后直接应用公式如：4x2 一4xy + y2 一a2 二(4x2 一4xy + y2) 一a2 二(2x一 y)2 一a2 二(2x一 y + a)(2x一 y 一a)三 十字相乘法1 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 女如 x2 + 5x 一 6 = (x + 6)(x 一 1)2 ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )其中 a a = a,c c = c,a c + a c = b1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1女如 6x2 一 7x 一 5 = (2x +1)(3x 一 5) 注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验”四 其它方法简介1 添项拆项法如：(1) 4x4 +1 = 4x4 + 4x2 +1 - 4x2 = (2x2 +1)2 一 4x2 = (2x2 + 2x +1)(2x2 一 2x +1)( 2)3 x3 — 4 x +1 = 3 x2 — 3 x — x +1 = 3 x( x2 — 1) — (x — 1) = 3 x( x +1)( x — 1) — (x — 1) = (x —1)(3 x2 + 3 x — 1)2 配方法女如 x2 + 6x —15 = x2 + 6x + 9 — 9 —15 = (x + 3)2 — 24 = (x + 3 + 2、：6)(x + 3 — 2、：6)3 运用求根公式法ax2 + bx + c = a(x — x )(x — x )(a 丰 0, A > 0)12题型归类一 分解因式例 1 把下列各式分解因式：(1) 5x2 + 6xy 一8y2 (2) a4 + a2 一2ab一b2 +1(3) x2 一2xy + y2 一x + y 一6 (4) 9x4 一3x3 + 7x2 一3x一2利用分解因式解方程例 2 解方程：4x2 — 5x - 10、：x = 24变式训练：若关于x 的方程(x + a)(x + b) + (x + b)(x + c) + (x + c)(x + a) = 0 (其中 a,b,c均为正数）有两个相等实根，证明以a,b,c为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。

三 利用分解因式化简分式例 3 已知a 2 一 9 x 2 + 6 xy 一 y 2(a + 3x)2 一 (ay + 3xy)=1,x丰0求的值;xx2 一 x 一 6 x + 3变式训练：当x等于x的倒数时，求分式 - 的值x 一 3 x2 + x 一 6四 利用分解因式化简根式a + 2 1 一 v a 4 a + 2例 4 化简：( + . )十(1— )-( )2a — a a — 4%： a + 4 ya a 一 4变式计算飞-2詔+ "+4打屈-4迈习题精练1 分解因式(1) x2 一9y2 一 2x + 6y (2) (x + y)2 一4(x + y) -12(3) x3 + x + 2 (4) (x —1)(x + 2)(x — 3)(x + 4) + 24yx2已知x2 + y2 — 6x — 8y + 25二0，求分式丄一一的值 xy已知0 < x < 1，化简 i'(x — -)2 + 4 — ;(x + 丄) x4求满足方程y4 + 2x4 +1二4x2y的所有整数解;5 已矢口 a2 + b2 = 3ab，求证：a4 + b4 = 7a2b26 已矢口 a + b + c = 0，求证：a3 + a2c + b2c - abc + b3 = 0。