第四讲 解析几何与微分几何.docx

第四讲 解析几何与微分几何第一部分 解析几何在数学发展史上，17世纪前基本属于常量数学时期，也称初等数学时期这个时期 人们考虑的只是常量与固定的图形，其基本 的成果构成现在中学数学的主要内容到 16 世纪，由于天文，航海，采矿等生产实践的 需要，促使数学有了一个飞跃的发展，于是 产生了变量数学这个时期，解析几何与微 积分的出现标志着近代数学的开始 1．数学中的转折点变量数学建立的一个标志就是 17 世纪初法国数学家笛卡儿，他把变量引进了数 学，并创立了坐标的概念，1637 年发表了长 篇论著，其中后一部分以“几何学”命名， 包括现在平面解析几何中十分完全的叙述对此，恩格斯在《自然辩证法》中指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数， 运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了 数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为 必要的了……”2．笛卡儿的坐标法与《几何学》第一流的哲学家、物理学家、生物学家、数学家笛卡儿(R・Descartes 1596——1650)1628 年移居荷兰，潜心于哲学和数理的研 究，写成《宇宙论》、《方法论》等多种著作笛卡儿对欧氏几何十分偏爱，但又深感 几何命题的每一步证明，总是要求某种新 的、依赖于图形直观的奇巧构思。

他深信， 只要把几何和代数的力量结合在一起，互相 取长补短，就能弥补欧氏几何的缺陷，就能 找到一种解决所有几何问题的统一方法1637 年，《更好地指导推理和寻求科学 真理的方法论》一书出版，作为该书三个附 录之一的《几何学》，阐述了他的坐标几何 的思想，标志着解析几何的诞生《几何学》 共分三卷卷一讨论直线型和圆的尺规图； 卷二讨论曲线的性质及巴布士的轨迹问题；卷三讨论当时流行的图解方程问题，特别是三次以上的代数方程图解问题，其中包含了笛卡儿的符号法则笛卡儿在《几何学》中通过选定一条射 线作为基线的方法建立了倾斜坐标系用两 个坐标 x,y 表示平面点的位置，形成了明确 的坐标概念然后，他借助于坐标，并通过点动成线 的观点用以建立曲线的方程笛卡儿的方程 不只是已知数和未知数之间的一个关系式， 而是两个变数之间的一个关系式，是平面曲 线的一种全新的表示方法这就实现了代数 与几何的相互结合，开创了一门崭新的数学学科—— 坐标几何 1792 年拉克鲁瓦(Lacroix)定名为解析几何3．解析几何的两类课题一类是已知方程求曲线，用方程的代数性质研究对应曲线的几何性质 另一类是已知曲线或仅仅是曲线的某 些几何特征，确定曲线的方程，并用曲线的 几何性质探讨对应方程的代数性质。

笛卡儿的功绩在于：它证明了几何问题 可以转化为代数问题，因此，可以使用代数 方法研究几何对象，或者说，用形来表示数，用数来研究形，进而探讨周围变化着的客观世界因为客观世界不过是固体化了的空 间，或者说是几何学的化身正如笛卡儿所 说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出 来笛卡儿的解析几何向着实现这一目标前进了一大步笛卡儿研究了线段的定比分点、两点间的距离、三角形的面积等简单几何问题，并 用含已知点的坐标的代数公式给出了这些 几何问题的解进一步，他指出，如果两条 曲线以同一个坐标系为参考，则其交点有它 们的方程的公共解来确定求出曲线 y=f(x) 与直线 y=0 的交点，相当于找到了代数方程 f(x)=0的解，这就创造了一种用几何曲线解 代数方程的图解法笛卡儿充分认识到代数的重要性从逻辑上看，代数的地位更基础一些，分析也是 代数的延展，这就使代数不仅从几何中独立 出来，而且成为一个重要的数学分支自然，笛卡儿的工作也不是完美无缺 的他没有引入第二条坐标轴，即 y 轴；也 没有明确使用过“横坐标”、“纵坐标”、“坐标”等解析几何的语言他的坐标轴只有正向而没有负向，因此，他的曲线仅限于x取 正值的第一象限之内。

在十八世纪，人们把“代数”和“解析” 两个词等同对待，当时的解析法即为代数 法因此，为这门新几何命名时，称之为解 析几何，后来，一直沿用到现在4．费马的工作 著名法国数学家费马( Fer mat1601——1665)与笛卡儿的区别在于： 笛卡儿侧重从轨迹出发然后寻找它的 方程，而费马则从方程出发去研究轨迹； 笛卡儿对希腊人的传统持批判的观点， 而费马是从继承希腊人的思想开始工作的 1629 年费马写成《平面和空间轨迹引论》一 书，内容是关于直线、圆和圆锥曲线方面的 书中通过引进坐标，找到了用研究代数方程 推断曲线性质的一般方法，从而将几何命题 的证明归结为一种代数技巧，降低了几何证 明的繁难程度为此，他在平面上取一条底线，考察平 面上任意曲线的一般点 J， J 的位置用两个字母A、E确定A是底线上O到Z的距离，E是Z到J的距离，ZJ是倾斜于底线OZ 的易于看出，费马所用的坐标就是今天的 倾斜坐标，A、E就是X、Y随后，他给 出了几种常见曲线的轨迹方程用现在的记法，就是：(1) .过原点的直线：ax=by；(2) . 任意直线： d(a-x)=by；(3) .圆： ；、' a2-x2 二 y2(4) .椭圆：a2 _x2 二 ky2 ；(5) .双曲线： k ；、/ a2+x2 二 ky2(6) . 另一种双曲线： xy=a；(7) .抛物线： ；x2 二 ay费马精辟地加以概括：“凡含有两个未 知数的方程，总可确定一个轨迹，并能画出 一条直线或曲线。

但是，费马和笛卡儿一样，既没有y轴 的概念，也不用负数，不能认为是成熟的坐 标几何5．解析几何的不断完善英国数学家瓦里斯( Wallis1616—1703)在 1655 年出版的《圆锥曲线论》■ EJ书中，才引进了纵横轴和负坐标，把曲线范 围扩大到整个实平面这部著作中，他还考察了阿波罗尼的圆 锥曲线理论，用代数方程定义圆锥曲线，历 史上第一次搞清了圆锥曲线就是含X, y的 二次方程所表示的曲线把坐标几何推广到三维空间的是拉•希 尔(L • Hire )的工作，他在1679年的论文 中,用三个坐标表示空间的点,并给出了空间曲面的方程1691年雅各伯努利(Jakob • Bernoulli1654——1705)引入了极坐标,先后发现了双纽线，悬链线、对数 螺线和旋轮线等多种特殊曲线1705年•居西尼(Guisnee)在《代数在几何中的应用》一书中,第一次明确使用直角坐标系1731 年,法国的克雷洛 (Clairaut1713 1765)指出, 表示空间曲线需要两个曲面方程；而 x,y,z 的齐次方程则表示顶点在 原点的锥面；方程+ f()表示是绕z轴旋转X2 + y2 二 f(z) 的旋转曲面。

第一本现代形式的解析几何教程是1784年出版的欧拉(EUer1707——1783) 的《无穷小分析引论》该书的第二部分专讲几何学，引入了直角坐标、斜角坐标和极坐标的概念；使用了 弧度制，定义了三角函数，给出了六种三角 函数的现代记号；详尽地研究了一般二次曲 线以及部分高次曲线；定义了欧拉角，给出 了空间直角坐标变换的公式，考察了一般形 式的三元二次方程表示的曲面，以及将它化 为锥面、柱面、椭球面、单叶双曲面和双叶 双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面的方法1788 年法国数学家、天文学家、物理学家拉格朗日(Lagrange1736——1813)发表了他的最重要的力学著作《解析力学》，书 中使用向量表示力、速度和加速度等具有方 向的量，用于研究质点力学和刚体力学，为 向量几何奠下了第一块基石1804 年法国数学家蒙日 (Monge1746—一1818)和他的学生哈歇特(Hachette)在《代 数在几何中的应用》一书中，证明了二次曲面的平截线是二次曲线，单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹曲面欧拉，拉格朗日和蒙日公认为是使解析 几何成为一门独立学科的最重要的三位数 学家1827 年和 1831 年，德国的莫比乌斯 (Mobius)和普吕克(Plucker),分别在《重 心计算》和《解析几何的发展》两本书中各 自独立地引进了齐次坐标,用以研究曲线的 无穷远性质。

1844 年,德国人格拉斯曼( Grassmann)l=J先提出多维欧氏空间的概念,引进了向量 的记号,定义了向量的数量积,使解析几何 从坐标代数进入向量代数的更高阶段第二部分 微分几何1．微分几何概况经典微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质, 换句话说,它是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉1736 年他首先引进 了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲 线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标， 从而开始了曲线的内在几何的研究十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并 于 1807 年出版了它的《分析在几何学上 的应用》一书，这是微分几何最早的一本 著作1827 年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式 曲面论的基础微分几何发展经历了 150 年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的 概念和带根本性的内容，建立了曲面的内 在几何学其主要思想是强调了曲面上只 依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲 面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面 上的一区域的面积、测地线、测地线曲率 和总曲率等等。

他的理论奠定了近代形式 曲面论的基础1872 年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内， 它成了几何学的指导原理，推动了几何学 的发展，导致了射影微分几何、仿射微分 几何、共形微分几何的建立随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯 坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几 何学和广义相对论中的得到了广泛的应 用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广 泛的独立学科，即发展为近代微分几何总之，经典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论欧拉、蒙日和高 斯被公认为古典微分几何的奠基人2．经典微分几何学的基本内容以光滑曲线（曲面）作为研究对象，由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念 展开的既然是研究一般曲线和一般曲面 的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和 空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几 何中重要的讨论内容，而要计算曲率就要 用到微分的方法在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角比如，在曲面上由一点到 另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线在平面上，测地线是直线，而在一般的曲面上，测地线起到直线的作用。

在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一 条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨 论测地线的性质等另外，讨论曲面在每一点的 曲率也是 微分几何的重要内容在微分几何中，为 了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常 常用所谓“活动标形的方法 ”对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初 等曲线进行研究微分几何在力学和一些工程技术问题 方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构 方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都 充分应用了微分几何学的理论3．近代微分几何近代由于对高维空间的微分几何和对 曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何 学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代 数等有了密切的关系，这些数学部门和微 分几。