AHP层次分析法简介.doc

第一单元层次分析法一AHP简介（TheAnalgticHierarachyProcessAHP）前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：一一人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP于80年代初由Saaty的学生介绍到我国层次分析AHP的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景AHP的主要不足在于：1. AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。

规划论一一采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受AHP—从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断,当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法§1AHP预备知识（一）1. 特征根与特征向量设A丿为n阶方阵，若存在常数„和非零n维向量g=（g,g,•…,g），使得jm,n12nAg=„g（1）则称，„是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于（属于）特征根„的特征向量特征根的求法如下：由（1）得Ag…„g=0n（A…„E）g=0，这是一个n元一次线性齐次方程组，由于该方程组有非零解g，所以，系数行列式为零，即|A-,E|€0（2）称（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有n个根2. 重量模型设u,u,€,u为n个物体，重量分别为g,g，…,g但是，我们并不知道物体的重12n12n量，只知两两之间重量的比值：a€ggijij设准则C为“重量大为好”，要在准则C下对元素u,u,€,u排序，也就是按其重12n已知a(1

邑…Lgg2n皂…冬g21)aijg—ng2显然a满足：ij若（3）a-aij通常（3）式不被满足€a，jkikg—nIg1—称满足ajig.…——n-g丿n1）、（2）的矩阵A为正互反矩阵则称满足（1）、（2）、（3）的矩阵„…为一致性判断矩阵但是,ij>0，(2)aij我们的问题可表述为：已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序即按重量大小排序如果，a€哲，其中g,g是重量的精确值，此时（1）、（2）、（3）显然成立，ijgij即A是一致性矩阵令g=（g,g,…,g\，则Ag€ng即n是方阵A的特征根，g是A的属于,=n的12n一个特征向量；事实上不难验证：n是一致性判断矩阵方阵4=（°^）的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g=（g,g,…,g\是A的与最大特征根n对应的特征向量（证明见附录）12n/、g的n个分量是n个物体的重量，因此，可根据g=（g,g,…,g…对u,u,€,u按重量12n12n排序注：kg„k丰0）也是n对应的特征向量，蛍＞0时，kg与g的分量成比例，分量的大小顺序不变所以，只需求出n的任一个分量全为正的特征向量，则可按此特征向量的分量大小顺序对物体排序。

1-#第一单元层次分析法AHP简介3. AHP模型如果对矩阵A有一个小的扰动，即a不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一ij致性条件，此时A的最大特征根€不再是n；因扰动很小，希戦与n相差不大，maxmax这时€对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量g=(g,g，…,g》，但是，变max12n动也不会太大我们设想：如果扰动不大，贝€离n就不远，此时€对应的特征向量g„与g差maxmax不多，如果g„不改变g的各分量的大小次序，贝1g„同样给出n个物体u,u,€,u按重12n量大小的真实排序这样，对不满足一致性的正互反矩阵A=(a)，我们求其最大特征根€，再求ijnxnmax与€对应的特征向量g，则可按g对n个物体u,u,€,u按重量大小排序max12n但是，这一番理论有几个疑点：①孕不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；②既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根€对应的特征向量的分量能否全max是正数？矩阵代数中Perro一Frobineus理论明确地回答了这个问题Perro-Frobineus定理：1. 正矩阵存在重数为1的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。

Perron定理明确告诉我们，对正的互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根€=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？max人们难于正面明确地回(答这个问题，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答那就是对判断矩阵A=(a丿的一致性满意程度进行检验ij由于对A的扰动不大，最大特征根与n不会相差太大可以证明：只要A不满足一致性，那么A的最大特征根€一定比n大，即€-n>0maxmax令€-nC.I.=-maxn-1显然，我们希望C.I.尽量小；但是，C.I.小到什么程度，才能使I与n对应的特征向max量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题Saaty给出了平均一致性检验值R.I.重复1000次，对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：阶数123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59令C.R.€C.I.R.I.当C.R.V0.1时，认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。

亦即当C.I.V0.1R.I.时，认为判断矩阵A€(a)的一致性是可以被接受的即认为此时的A的，对应的特征向量ijmax“归一化”后，能给出n个物体u,u，…,u按重量大小的真实排序12n明显看出这不是正面回答，也有些令人难以置信但是，这已是目前为止最好的回答，这也是AHP理论上不够严谨的地方不过，从应用角度看，当C.R.<0.1时，排序的正确性已为应用例子所证实当C.R.>0.1时，AHP不再适用，这时，只能变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值由此得层次分析法AHP的步骤如下1. 给定A，求，及相应特征向量；max2. 将特征向量“归一”后，即得排序向量；3. 进行一致性检验若检验通过则排序向量可信；否则重新对赋值§2AHP的基本步骤用AHP解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验下面通过一个决策方法应用实例，说明AHP的每个步骤的实施例：某闹市区一商场附近交通拥挤目标G：改善该街区交通环境有三种方案可供选择：A：修天桥或修高架桥；A：修地道；A：商场搬迁123选择方案的准则有5个：c：通车能力；c：方便市民；c：改造费用；c：安12341—#第一单元层次分析法AHP简介全性；C：市容美观。

5试用AHP方法决策决策步骤如下：一、建立递阶层次结构：1.目标层最高层：目标层G：改变交通环境1jf1c:改造费用2.准则层C1:通车能力3.—|=r方案层C:方便市民C:安全性方案A方案A方案A1c:市容美观递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则二、构造两两比较判断矩阵在单准则下分别构造两两比较判断矩阵，即在G下对c、c、c、c、c构造两12345两比较判断矩阵；分别在C、C、C、C、C下对A、A、A构造两两比较判断矩阵12345123在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵A€(a)呢？即如何具体确定比值ija呢？在AHP中采用1-9比例标度法ij2.1关于1-9比例标度n个元素u,u,€,u，两两比较其重要性共要比较次第i个元素u与第j12n2i个元素u重要性之比为aAHP采用1-9比例标度来确定a；这是AHP的特点，也是jijij优点本来，n个元素比较n-1次，即可确定顺序，为什么要比较凹次呢？这是由2事物的复杂性和决策者的局限性决定的事实证明，n个元素按重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较n-1次是决然不行的，因为只比较n-1次，其中若有一次失误，则排序就将遭到破坏。

而两两比较可减少失误比较两个元素的重要性，总是在某种准则(准则层比较是以总目标G为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则)下进行的至于为什么取1-9比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的从理论上讲，用1-15比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出1-9比例标度表a€1表示u与u重量相同，或重要性相同；ijija€3表示u比u稍重；ijija€5表示u比u明显重；ijija€7表示u比u强烈重；ijija€9表示u比u极端重；ijij数2、4、6、8则为上述判断的中值对n个物体，两两比较其重要性得判断矩阵A€(a)，显然a满足：ijnxnij01.a,0，a€，a=1ijijaiiji所以A是正的互反矩阵，且对角线上元素为1但A的元素a通常不具有传递性，即ija„a丰a，这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的如果a„a=a成立,ijjkikijjkik即A是一致性矩阵，则n个元素比较n-1次，即可完全确定顺序从判断矩阵A出发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排序，矩阵A的一致。