【最新】原子物理学第三次作业答案 (9).doc

1第三章 碱金属原子结构及光谱碱金属原子： Li, Na, K, Rb, Cs, Fr (周期表中 I 族元素)特点： 最外层只有一个电子, 内层形成“闭合壳层 ”(中学化学：原子中电子分层排列，每层排满 2n2 个电子形成“闭合壳层” ，第四章介绍)只考虑最外层的那一个 电子和“闭合壳层+原子核＝原子实”的作用§3.1 能级和光谱---最外层电子和 原子实作用形成3.1.1 能级和能级图(玻尔理论为基础的维象理论)1, 能级对氢原子： En = － , (和 l, m 无关)2hcRH对碱金属原子，和最外层电子的状态有关： En = E n,l = － (1)2lnNote: (i) R = R RH ; (n－ l) n; l（量子数亏损） ，和 n, l 有关;(ii) En 对 l 的“简并”消除，E＝E n,l 一个 n, 对应 l （0，1，2，3，…n -1）个 E n,l 对： l = 0, 1, 2, 3, 4, …，描述的电子表示： s, p, d, f, g, …，l ： s, p, d, f, g ,…2, Na 原子(Z= 11)的能 级图  格罗春图纵轴：E n,l / eV最右边一列：H （对比, 只和 n 有关）;第一列 (S 能级 )： s 电子； n ＝3，4，5，…， （无 n ＝1，2, Why ?：2n 2）。

第四列 (F 能级 )：f 电子； n ＝4，5，6，…， （无 n ＝3，2，1 , Why ?: lmax = n-1 ）问题：Li、K、 能级图特点？3.1.2 光谱和能级跃迁规律- Na 原子为例仅存在:  l ＝ 1 （2-67）的跃迁，由此构成四个主要线系1， 锐线系（nS  3P, n ＝ 4，5，6,…, ）  l ＝－1nS 能级能量： E n,s = － ；2)(snRhc3P 能级能量： E 3,p = － ；3pnS3P 的波数：由， E n,s － E 3,p = h=hc/= hc  ＝ － (2)2)(p2)(sn2， 主线系（nP 3S, n ＝3，4，5,…, ）  l ＝1 ＝ － (3)2)(sR2)(p3， 漫线系（nD 3P, n ＝3，4，5,…, ）  l ＝12 ＝ － (4)2)3(pR2)(dn4， 柏格曼线系（nF 3D, n ＝4，5，6,…, ）  l ＝1 ＝ － (5)2)(d2)(f问题：Li、K、 线系公式？3.1.3 解释量子数亏损（ l）的轨道模型由(1)， E n,l=－ =－ （类氢粒子） (6)2)(lnRhc2*nRhcZZ*＝Z *（ n, l）1：有效核电荷数。

由 6 式可见： l 和 Z*是“原子实”对最外层电子影响的两种不同表示方式1，Z *和 l 的规律（1） n 相同时，l 增加，Z *1， l 0 (s >p>d>f >g ~0)；Z*＝1， l = 0：能级同氢原子（见 P70，表 3.1.1） 2） l 相同时，n 增加， Z*1， l 0（见 P70，表 3.1.1） 研究热点）原子的里德伯态：n 很大时的激发态：Z *＝1， l ＝0，能级同氢原子2， 轨道模型对 Z*和 l 的解释以 Na (Z=11)原子为例：10 个电子形成“闭合壳层” 按索末菲的椭圆轨道理论，b = n n a1 （短轴） ；a = rn (同玻尔理论)＝n 2 a1 （长轴） 同 n, 不同的 n = 1,2,…,n（量子力学：l=0,1,2,…, n-1）：n = n， max = n ；b = a ＝n 2 a1 ：圆轨道运动，电子“-e”感受到的原子实，同氢核原子实的“有效核电荷数” Z * ～1, l ＝0；n = 1 ; b = n a1； a ＝n 2 a1: 最扁的椭圆运动－ 贯穿轨道 运动，电子“-e ”感受到的原子实的“有效核电荷数” Z * >1, l >0。

结论：n 值确定时，随 n (l)增加，Z * 1, l 0同 n（l） ， 不同的 n ： b = n n a1，a＝ n2 a1；随 n 增加，b 和 a 都增加， “-e”感受到的原子的“有效核2 83电荷数”Z * 1结论：l 值确定时，随 n 增加， Z* 1， l 0 Note：图 3.2, 3P 能级: 双重能级(钠光谱的双线: 589.0, 589.6 nm)P69, 2P 2S 除 nS 外, 所有能级都是双重能级问题： 双重能级怎样产生 ？§3.2 轨道与自旋角动量的相互作用(量子理论为基础)3.2.1 电子轨道运动的磁矩 l1，轨道磁矩定义(7)niS: 大小：环流的面积 (圆轨道)；2nSr方向：环流的右手螺旋 2eVir和 的关系：l， 大小： l=rmVrmV方向：磁矩的负向2lelr所以， ，g l =1 (G 因子) (8)ielz 和 lz 的关系：(9)zizzl lml2,28i (电流)-e nSrlV42，轨道磁矩的量子性质由： ＝ l2， ＝2l)(meˆl2)(eˆl而： 的本征值： l (l+1) ℏ2, 本征函数：Y l, m（, ） ；ˆ所以， 的本征值： l (l+1)＝ l (l+1)，本征函数：Y l, m（, ）.2l 2)eB由 ： ， zzllm,zzlˆˆ,而 ： 的本征值： ml ℏ, 本征函数：Y l, m（, ） ；zˆ所以， 的本征值： ml ＝ ml ，本征函数：Y l, m（, ） 。

z)2(eBml ：轨道角动量的磁量子数；（玻尔磁矩） B3.2.2 电子自旋，自旋角动量和自旋磁矩为解释碱金属的双重能级结构，乌楞贝克，古德史米特（荷兰人，1925）提出：就如“-e ”和“m”是电子的内禀特性一样， “自旋”也是电子的内禀特性之一电子自旋性质：自旋角动量: s自旋磁矩: , gs =2 . (10)megs2自旋角动量的 z 分量: sz 自旋磁矩的 z 分量: (10， )zs,量子性质：的本征值： , s (自旋量子数), s ≡ 1/2；本征函数：2ˆs2)1(s sm的本征值： , ms (自旋角动量的磁量子数 ) =1/2, -1/2; (2s+1=2 个) zs对 ms＝1/2，本征函数：  ；对 ms＝－1/2 ，本征函数：  ；的本征值： ，本征函数： ;2ˆs223)1(Bes的本征值： ， 本征函数： （m s＝－1/2） ， zs, s（m s＝1/2）原子总的波函数： smr)(（用 4 个量子数表示） sln),, slmn,3.2.3 自旋角动量(磁矩)与轨道角动量(磁矩) 的相互作用能量方法： s 和 l 的相互作用 s 和由 l 产生的磁场 B 的相互作用。

5原子实座标系中（实验室座标系）：电子运动产生环流, 环流产生磁场由毕奥萨伐尔定理，可以计算电子在原子实位置产生的磁场 B（r）, 但是，不能计算电子在自身位置产生的磁场 B（r ＝0）= ？Why？－发散电子座标系：原子实运动产生环流，环流在电子位置产生的磁场，由毕奥萨伐尔定理：，及 ， 00＝1/c 2 ，Z *:有rVeZ'3*04 rVmrVml '')(效核电荷数11)lrceB32*01由于其他物理量都是原子实座标系中的物理量，(11)式也必须返回原子实座标系原子实座标系中的 B，见杨福家书） (11‘)lrcmeZ32*04E（ s， l 的作用能 ）＝ (12)smeBslsrceZ32*041§3.3 由电子自旋引起的能级和谱线的精细结构3.3.1 原子的总角动量不考虑碱金属原子中“原子实”中的电子, 外层电子有： 和 .sl定义：电子的总角动量(13)lsj的本征值： j ( j+1) ℏ2； (j：单一电子的总角动量量子数) (14)2ˆ的本征值： mj ℏ； （m j：单一电子的总角动量的磁量子数） (15)zj问题：j 和 mj 的取值＝？先看 j (0)： jmax = l + s (s 和 l 平行) ；jmin = l – s  (s 和 l 反平行)；因为： j 值以 1 递增（减） ,所以： j＝l + s ，l + s－1， 。

， l - s （两个角动量耦合量子数的一般规律）再看 mj ，由右图可见：Z*er-e’＝- VZ*er-eV 电子座标系：原子实座标系：Zmjℏmlℏmsℏ jls6mj = ml + ms而， ml = l, l-1, …,0, -1, …,-l;ms = s, s-1, …,0, -1, …,-s所以 mj ,max= l + s = j; mj ,min =-( l + s) = - j;因为： mj 值以 1 递增（减） ，所以： mj = j, j-1, …,0, -1, …, -(j-1),-j (共 2j＋1 个值)3.3.2 碱金属原子波函数的两种表示第一种，用：n, l, m l ,ms 四个量子数表示： n, l, ml , ms ；第二种，用：n, l, j ,m j 四个量子数表示： n, l, j, mj . 量子力学将证明： n, l, j, mj 是 ， ， ， ， 和 共同的本征函数，即：2ˆlz2ˆsz2ˆzjn, l, j, mj ＝l (l+1) ℏ 2n, l, j, mj ； n, l, j, mj＝m l ℏn, l, j, mj2ˆl zln, l, j, mj ＝s ( s+1) ℏ2n, l, j, mj ； n, l, j, mj＝m s ℏn, l, j, mjs zsˆn, l, j, mj ＝j (j+1) ℏ2n, l, j, mj ； n, l, j, mj＝m j ℏn, l, j, mj 2ˆ z3.3.3 碱金属原子的能量E ＝ En,l（不考虑 s， l 的作用能）＋E（ s， l 的作用能）（6 式） （12 式）2*nRhcZlrceZ32*041（12）中，r (变量)， （和角度有关，变量） 。

为此，用（ 12 式）的平均值取代，即：ls,, lrcmeZEˆ2413*0lsrCˆ13)241(*0cmeZ. lsrCˆ3),()(,,, jj mllnmlnYR(16)lnlrr,3,31)1(2/31*llaZ,ˆ),(ˆ,, jj mlml YsYs由于， 不是?,jl ),()(,,, jj mllnlnYrR的本征函数为此，由： ，lsˆ和 sj7lslslj ˆ2ˆ)ˆ(ˆ22 所以： ),1jlsˆ,(,jmY ),()]1()1([2,jmlYslj ),( ),()]()(([2 ,, jjllsljl(17))]1()(1([ljlsrCEsl ˆ3, (18))]1()(1([)(2/134* sljllnRhcZ式 18 中， ： 精细结构常数E/ En,l ~ 2=10-43740ce“精细”的含义：在一定 l 值对应能级上的细小分。