高等数学教学全套课件第二版 陈如邦 电子教案 11 函数.ppt

第一章极限与运算 第二章导数与微分 第三章导数的应用 第四章不定积分 第五章定积分及其应用 第六章常微分方程 高等数学初步 第七章多元函数微积分 第八章无穷级数 第九章无穷级数行列式与矩阵 第十章线性方程组 第十一章概率论 第十二章数理统计 1 1函数一 函数的概念 在我们的日常生活中 变化无处不在 反映它们的量也在不断变化 并且在变化过程中有多个变量是互相联系的 定义域与对应规则均相同的两个函数相同 例1 D 例2 例如 反正弦主值 定义域 值域 如 绝对值函数 定义域 值域 该函数为分段函数 它的定义域为 分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不同的对应关系的函数 即在定义域的一些不相重叠的真子集上 用不同的表达式表示的函数 例8 是一一对应 即映射f是一一对应 称f的 f的反函数 三 反函数的定义 反函数的图形 将函数y f x 的反函数记为y f 1 x 时 函数y f x 与其反函数y f 1 x 的图形关于第 象限的角平分线y x对称 反函数的图形 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 指数函数 反正弦函数 互为反函数 正弦函数 四 函数的几种特性1 奇偶性 若 x Df 有 f x f x 成立 则称f x 为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 若 x Df 有 f x f x 成立 则称f x 为奇函数 奇函数的图形关于坐标原点对称 设函数y f x 的定义域Df关于坐标原点对称 哪些是奇函数 哪些是偶函数 指出下列函数在其定义域内 2 周期性 则称f x 为周期函数 T称为函数f x 的一个周期 设函数y f x x 若存在T 0 对一切x 恒有 y f x T f x 通常所说的周期是最小正周期 故称正弦函数y sinx的周期为2 2k k Z且k 0 均为函数 y sinx的周期 而它的最小正周期为 T min 2k 2 k Z 3 单调性 函数的单调性是一个局部性的性质 它与所讨论的区间I有关 设函数y f x 在区间I上有定义 若存在实数A 使对一切x I恒有 f x A 则称函数y f x 在区间I上有界 否则 称函数y f x 在区间I上无界 4 函数有界性 五 初等函数1 基本初等函数 初等函数是微积分研究主要对象 而初等函数又是由基本初等函数构成的 以下六种简单函数称为基本初等函数 1 常值函数y C C为常数 2 幂函数y x R为常数 3 指数函数y ax a 0 a 1 4 对数函数y logax a 0 a 1 5 三角函数y sinxy cosxy tanxy cotxy secxy cscx 6 反三角函数y arcsinxy arccosy arctanxy arccotxy arcsecxy arccscx 2 复合函数在实际问题中 经常会遇到由几个较简单的函数组成的较为复杂的函数的情况 对于复合函数 作以下说明 不是任何两个函数都可以构成一个复合函数 复合函数不仅可以有一个中间变量 还可以有多个中间变量 复合函数通常不一定由纯粹的基本初等函数复合而成 而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数所构成 这样 复合函数的合成与分解往往是对简单函数而言的 无中间变量的函数称为简单函数 例1 1 函数 是否构成复合函数 解 因 与 而两者交集为空集 故不构成复合函数 例1 2 函数 是否构成复合函数 与 解 由函数 可构成复合函数 解 1 2 函数复合而成 它是由以下几个函数复合而成 练习 3 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合 且能够用一个数学式子表示的函数称为初等函数 例如 等等都是初等函数 初等函数是用一个数学式子表示的函数 否则就不是初等函数 例如符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 就不是初等函数 但也有特例 如绝对值函数 可用一个数学识字表示 故它是初等函数也是分段函数 解 因为 。