(完整版)同济大学高数第10章重积分.doc

高等数学 313第10章 重积分多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.多元函数积分学的起源虽然微积分的创立者已经接触到了重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立多重积分理论的主要是18世纪的数学家．18世纪，微积分进一步深入发展．牛顿在关于万有引力的计算中用到了多重积分的思想，但牛顿使用的是几何论述．后来，牛顿的工作被人们以分析的形式作了推广．1748年，欧拉（Euler）用累次积分算出了表示一厚度为的椭圆薄片对其中心正上方一质点引力的重积分．1770年，欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记号并给出了用累次积分计算二重积分的方法，同时还讨论了二重积分的变量代换问题． 拉格朗日（Lagrange）也讨论了多个变量的重积分情况，并于1772年引入了三重积分的概念和三重积分的记号 在他的一篇关于旋转椭球体的引力的著作中，就用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究．奥斯特罗格拉茨基（Octporpajickh）对重积分的研究也作了许多工作，他在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式． 1828年，格林（Green）在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式．10.1 二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1 设函数在有界闭区域上连续，且．以函数所表示的曲面为顶，以区域为底，且以区域的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积． 图10.1.1 图10.1.2　　对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点 在上变动时,其高度是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下第一步(分割).用一组曲线网将区域任意分成个小区域,,…,…，其中记号 (i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体，…，…，，其中记号(i = 1，2，…，n)也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．第二步(近似)．因为在区域上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域上任取一点，以为高，为底的小平顶柱体的体积作为第i个小曲顶柱体体积的近似值，即．第三步(求和)．这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即．第四步(取极限)．对区域分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值 (有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积，即有．实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在平面上占有有界闭区域，此薄片在点处的面密度为，且在上连续．求该薄片的质量．如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域任意分成n个小块，…，；由于在上连续，只要每个小块 (i = 1，2，…， n)的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在上任取一点，用点 图10.1.3处的面密度近似代替区域上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片的质量的近似值 ； 整个薄片质量的近似值为． 将薄片无限细分，当所有小区域的最大直径时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量， 即 ．定义10.1.1 设f (x, y)是定义在有界闭区域上的有界函数，将任意分割为n小区域，…，…，，其中记号表示第个小闭区域，也表示其面积；在每个小区域上任取一点，作乘积，并作和式．如果将区域无限细分，当各小区域直径的最大值时，该和式的极限存在，且极限值与区域的分法及点的取法无关，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记为，即．其中称为被积函数，称为被积表达式，dσ称为面积元素，与称为积分变量，区域称为积分区域，称为积分和． 尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积是其曲顶函数在底面区域上的二重积分，即； 例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数在其所占闭区域上的二重积分，即．关于二重积分的几点说明．(1) 如果函数在区域上的二重积分存在，则称函数在上可积．如果函数在有界闭区域上连续，则在上可积．(2) 当在有界闭区域上可积时，积分值与区域的分法及点的取法无关．(3) 二重积分只与被积函数和积分区域有关．二重积分的几何意义．(1) 若在闭区域上，二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域上，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域上有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．10.1.2 二重积分的性质性质2 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即．性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即，其中k为常数．二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．性质7 (二重积分的中值定理) 如果函数在有界闭区域上连续，σ为积分区域的面积，则在上至少存在一点，使得 ．性质6 设M与m分别是函数在有界闭区域上的最大值与最小值，则有，其中，σ为积分区域的面积．性质5 如果在区域上，则有．由于-|| ≤≤ ||，由性质5可得．性质4 设在区域上≡1，σ为的面积，则有．因为从几何上看，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于其底的面积．性质3 若用连续曲线将区域分成两个子区域与，即，则.即二重积分对积分区域具有可加性．例10.1.1比较与的大小，其中是由直线及所围成的闭区域．解 由于对任意的，有，故有，因此．例10.1.2 估计的值，其中为矩形区域，，．解 被积函数在区域上的最大值与最小值分别为4和1，的面积为2，于是．习题10.11．使用二重积分的几何意义说明与的之间关系，其中D1是矩形域-1 ≤ x ≤ 1，-1 ≤ y ≤ 1，D2是矩形域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1．2. 比较下列积分的大小.(1)与，其中由轴、轴及直线所围成；(2) 与，其中.　　3．估计下列积分值的大小．　　 (1) ，其中D：0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2；　 　(2) ，其中D：．4．一薄片(不考虑其厚度)位于xOy平面上，占有区域D，薄片上分布有面密度为u = u(x，y)的电荷，且u(x，y)在D上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q．10.2 二重积分的计算10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数在有界闭区域上连续，则在区域上的二重积分存在，且它的值与区域的分法和各小区域 上点的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐 标轴的直线将区域分割成若干个小区域. 则除去靠区域边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域． 图10.2.1设小矩形区域的边长分别为和(如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为．因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为．则在直角坐标系下，二重积分可表示成．下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积，以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法．设曲顶柱体的顶是曲面()，底是平面上的闭区域(如图10.2.2)，即区域可用不等式组表示为，其中函数 在区域上连续，函数在区间[a，b]上连续，该区域的特点是：穿过区域内部且垂直于x轴的直线与的边界的交点不多于两点．图10.2.2 用过区间[a，b]上任意一点x且垂直于x轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是一个以为底，以为曲边的曲边梯形(如图10.2.3)，其面积为 ． 再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式，便得到曲顶柱体的体积为 ． 图10.2.3根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积 或 ．分的值，从而有 上式右端称为先对后对的二次积分．由此看到，二重积分的计算可化成计算两次单积分来进行，这种方法称为累次积分法．对积分时，把看作常数，把只看作的函数，并对从到进行定积分；然后把算得的结果(关于的函数)再对在区间[a，b]上进行定积分．在上述过程中，我们假定，但实际上公式并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域如图10.2.4所示，则区域可表示为，其中函数在区间[c，d]上连续，该区域的特点是：穿过区域内部且垂直于轴的直线与的边界的交点不多于两点．图10.2.4 或 ．这时则有以下公式： 上式右端称为先对后对的二次积分．如果积分区域不属于上述两种类型，如图10.2.5所示．即平行于轴或轴的直线与的边界的交点多于两点，这时可以用平行于轴或平行于轴的直线把分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可利用性质3，将上的积分化成每个小区域上积分的和． 图1。