证明数列收敛资料.doc

本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：Ø 易知单调递增或递减，需证有上界或下界Ø 易知有上界或下界，需证单调递增或递减Ø 易知既有上界又有下界，需证单调Ø 易知单调，需证既有上界又有下界①用导数来求证单调有界性如果，即函数单调递增时，数列具有单调性是可以肯定的，而研究递增递减那要看跟的比较了(如果的话，那么)具体的说若时，由,那么可以判定为减数列若时，由,那么可以判定为增数列例题1.证：记,则因为，，则，由于所以，即那么具有单调有界性，上界为3然后对数列两边取极限，记极限为A则.设函数，其中A为方程的根，由于在上连续，在内可导，则所以函数递增，又由于所以的根在内如果，即函数单调递减时，数列肯定不具有单调性的．但是，它的奇数项子数列和偶数项子数列都可以看作是通过单调增加函数g(x).其中[]所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反．例题1.当时，，证明数列收敛，并求其极限值证：设函数,则函数在上连续，在内可导，易知所以在上递减由于,可知，又在上递减所以有,即,所以可推得由此可知奇数项子数列单调递减有下界，偶数项子数列单调递增有上界，则两子数列都收敛。

设奇数项子数列收敛于P，偶数项子数列收敛于Q对两边去极限得：解方程得那么数列收敛于②利用不动点与导数的结合来证单调有界性定义：对于函数,若存在实数C,使得，则称C为的不动点命题1.设函数在上连续，在内可导，且,.设，则递推数列收敛命题2.设函数在上连续，在内可导，且,.设，则递推数列收敛命题3.如果函数在有唯一的不动点，那么数列必收敛于该不动点推论：对于递推数列, 如果，那么数列收敛，且收敛于L，其中例题1.设， （），求证:数列收敛,并求其极限解：数列的迭代方程，故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛又在上有唯一的不动点,于是例题2. 已知函数，且存在，使.设, ,，,其中,证明:证：由数列的迭代函数得,从而在区间上，由命题1的结论得，在区间上，由命题2的结论得，于是有．证毕．③利用单调性的定义或数学归纳法例题1. 设, ,证明数列极限存在[思路：先试求的极限，对两边取极限，解得,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想]证：易从看出数列递增接下来用数学归纳法求证有上界显然,假设，便有了则为单调递增有上界的数列，故数列收敛例题3. 证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，当时已知成立。

假设,由重要不等式得：,因此有下界0，且当时，,故单调递减，即收敛此外由单调递减，,即有上界，并且当时，,故单调递增，即收敛。