高等数学测试题及详细解答复习.doc
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第一单元函数与极限1第一单元函数与极限测试题详细解答5第二单元导数与微分10第二单元导数与微分测试题详细解答12第三单元微分中值定理与导数应用16第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答19第四单元不定积分24第四单元不定积分测试题详细解答26第五单元定积分31第五单元定积分测试题详细解答33第六单元定积分的应用37第六单元定积分的应用测试题详细解答40第九单元重积分42第九单元重积分测试题详细解答46第十章曲线积分与曲面积分50第十单元曲线积分与曲面积分测试题详细解答54第十二单元微分方程60第十二单元微分方程单元测试题详细解答63第一单元 函数与极限一、填空题1、，则3、时，是的阶无穷小4、成立的为6、在处连续，则8、设的定义域是，则的定义域是__________9、函数的反函数为_________10、设是非零常数，则11、当时，与是等价无穷小，则常数12、函数的定义域是__________14、设，则________15、=____________二、选择题1、设是上的偶函数，是上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔C〕；〔D〕2、，，则当时有〔Ａ〕是比高阶的无穷小； 〔Ｂ〕是比低阶的无穷小；〔C〕与是同阶无穷小； 〔D〕。
3、函数在处连续，则〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕； 〔D〕4、数列极限〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕；〔D〕不存在但非5、，则是的〔Ａ〕连续点；〔Ｂ〕可去连续点；〔C〕跳跃连续点；〔D〕振荡连续点6、以下各项中和一样的是〔 〕〔Ａ〕，； 〔Ｂ〕，；〔C〕，；〔D〕，7、= 〔 〕〔Ａ〕 1； 〔Ｂ〕 -1； 〔C〕 0； 〔D〕 不存在8、 〔 〕〔Ａ〕1； 〔Ｂ〕-1； 〔Ｃ〕； 〔Ｄ〕9、在的*一去心邻域有界是存在的〔 〕〔Ａ〕充分必要条件；〔Ｂ〕 充分条件；〔C〕必要条件；〔D〕既不充分也不必要条件.10、〔 〕〔Ａ〕 1； 〔Ｂ〕 2； 〔C〕； 〔D〕011、设均为非负数列，且，则必有〔 〕〔A〕对任意成立； 〔B〕对任意成立；〔C〕极限不存在 ； 〔D〕极限不存在12、当时，函数的极限〔 〕〔Ａ〕等于２； 〔Ｂ〕等于０； 〔Ｃ〕为； 〔Ｄ〕不存在但不为三、计算解答1、计算以下极限〔1〕；〔2〕 ；〔3〕； 〔4〕；〔5〕； 〔6〕；〔7〕； 〔8〕。
３、试确定之值，使４、利用极限存在准则求极限(1)〔2〕设，且，证明存在，并求此极限值5、讨论函数的连续性，假设有连续点，指出其类型6、设在上连续，且，证明在至少有一点，使第一单元 函数与极限测试题详细解答一、填空题1、3、高阶是的高阶无穷小为有界函数，所以要使，只要，即8、根据题意 要求，所以 9、，，，的反函数为10、原式=11、由与，以及，可得 12、由反三角函数的定义域要求可得 解不等式组可得 ，的定义域为15、2二、选择题1、选〔Ｄ〕 令，由是上的偶函数，是上的奇函数，2、选〔Ｃ〕 3、选〔A〕 4、选〔Ｂ〕 5、选〔Ｃ〕 ， ， 6、选〔Ｃ〕 在〔A〕中的定义域为，而的定义域为，故不正确在〔B〕的值域为，的值域为，故错在〔C〕中的定义域为R，的定义域为 ，，故错7、选〔Ｄ〕 ，不存在8、选〔Ｄ〕 ， 9、选〔Ｃ〕 由函数极限的局部有界性定理知，存在，则必有的*一去心邻域使有界，而在的*一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界，但在点极限不存在10、选〔Ｃ〕 〔11、选〔D〕 〔A〕、〔Ｂ〕显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列"当充分大时〞的情况，不可能得出"对任意成立〞的性质。
〔Ｃ〕也明显不对，因为"无穷小·无穷大〞是未定型，极限可能存在也可能不存在12、选〔D〕当时函数没有极限，也不是三、计算解答1、计算以下极限：〔1〕解：〔2〕解：〔3〕解：〔4〕解：〔5〕解：〔6〕解：〔7〕解：〔8〕解：３、解：４、〔1〕.而 〔2〕先证有界〔数学归纳法〕时，设时，， 则数列有下界，再证单调减，且即单调减，存在，设，则有 〔舍〕或，５、解：先求极限 得 而 的连续区间为为跳跃连续点.６、解：令， 则 在上连续而由零点定理，使即 ，亦即 第二单元 导数与微分二、单项选择1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则=〔 〕〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕； 〔Ｄ〕3、函数，且，则〔 〕〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕； 〔Ｄ〕4、为可导的偶函数，且，则曲线在 处切线的方程是〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔C〕；〔Ｄ〕5、设可导，则=〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕； 〔Ｄ〕6、函数有任意阶导数，且，则=〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔C〕；〔Ｄ〕7、假设，则=〔 〕〔Ａ〕； 〔Ｂ〕； 〔C〕； 〔Ｄ〕8、设函数在点处存在和，则是导数存在的〔 〕〔Ａ〕必要非充分条件； 〔Ｂ〕充分非必要条件；〔C〕充分必要条件； 〔Ｄ〕既非充分又非必要条件。
9、设则〔 〕〔Ａ〕； 〔Ｂ〕 ； 〔C〕； 〔Ｄ〕10、假设可导，且，则有〔 〕〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔C〕；〔Ｄ〕11、设函数连续，且，则存在，使得〔 〕〔A〕在单调增加； 〔B〕在单调减少；〔C〕对任意的有；〔D〕对任意的有12、设在处可导，则〔 〕〔A〕 ； 〔B〕为任意常数；〔C〕 ； 〔C〕为任意常数三、计算解答1、计算以下各题〔1〕，求； 〔2〕，求；〔3〕，； 〔4〕，求；〔5〕，求；〔6〕，求；〔7〕，在处有连续的一阶导数，求；〔8〕设在处有连续的一阶导数，且，求2、试确定常数之值，使函数处处可导3、证明曲线与〔为常数〕在交点处切线相互垂直4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少5、假设函数对任意实数有，且，证明6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程第二单元 导数与微分测试题详细解答二、选择题1、 选〔Ｄ〕 由交点为 ，， 3、 选〔Ｃ〕 由得 4、 选〔A〕 由切线方程为：即 5、 选〔Ｄ〕 6、 选〔Ｂ〕 设，则7、 选〔Ｃ〕 又，8、 选〔Ｃ〕 在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。
9、 选〔Ｄ〕另解：由定义，10、 选〔Ｂ〕 11、由导数定义知，再由极限的保号性知 当时，从而 当时，，因此C成立，应选C12、由函数在处可导，知函数在处连续，所以又，所以三、计算解答1、计算以下各题〔1〕〔2〕 ，，〔3〕两边对求导：〔4〕设则〔5〕两边取对数：两边求导： 〔6〕利用定义：〔7〕又[注：因在处是否二阶可导不知，故只能用定义求]〔8〕2、易知当时，均可导，要使在处可导则 ， 且在处连续即而 又 由3、证明：设交点坐标为，则对两边求导：曲线在处切线斜率又由曲线在处切线斜率又两切线相互垂直4、设分钟后气球上升了米，则 两边对求导：当m时， 当m时， 〔弧度/分〕5、证明：6、解：由于，于是所求切线斜率为，从而所求切线方程为 ， 即 又法线斜率为 所以所求法线方程为 ，即 第三单元 微分中值定理与导数应用一、填空题1、__________2、函数在区间______________单调增3、函数的极大值是____________4、曲线在区间__________是凸的5、函数在处的阶泰勒多项式是_________6、曲线的拐点坐标是_________7、假设在含的〔其中〕恒有二阶负的导数，且_______,则是在上的最大值。
8、在有__________个零点11、曲线的上凸区间是___________12、函数的单调增区间是___________二、单项选择1、函数有连续二阶导数且则〔 〕〔Ａ〕不存在 ； 〔Ｂ〕0 ； 〔Ｃ〕-1 ； 〔Ｄ〕-22、设则在曲线〔 〕〔Ａ〕单调增凹的； 〔Ｂ〕单调减凹的；〔Ｃ〕单调增凸的； 〔Ｄ〕单调减凸的3、在连续，，则在 处〔 〕〔Ａ〕取得极大值； 〔Ｂ〕取得极小值；〔Ｃ〕一定有拐点； 〔Ｄ〕可能取得极值，也可能有拐点4、设在上连续，在可导，则Ⅰ：在与Ⅱ：在 上之间关系是〔 〕〔Ａ〕Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； 〔Ｂ〕Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；〔Ｃ〕Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； 〔Ｄ〕Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件5、设、在连续可导，，且，则当时，则有〔 〕〔Ａ〕； 〔Ｂ〕；〔Ｃ〕； 〔Ｄ〕6、方程在区间〔 〕〔Ａ〕无实根； 〔Ｂ〕有唯一实根；〔Ｃ〕有两个实根； 〔Ｄ〕有三个实根。
7、在的*个邻域连续，且，，则在点 处〔 〕〔Ａ〕不可导； 〔Ｂ〕可导，且；〔C〕取得极大值； 〔Ｄ〕取得极小值８、设有二阶连续导数，且，，则〔 〕〔Ａ〕是的极大值； 〔Ｂ〕是的极小值；〔Ｃ〕是曲线的拐点； 〔Ｄ〕不是的极值点9、设为方程的二根，在上连续，在可导，则在〔 〕〔A〕只有一实根； 〔B〕至少有一实根； 〔C〕没有实根； 〔D〕至少有2个实根10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是〔 〕〔A〕； 〔B〕； 〔C〕； 〔D〕11、函数在区间可导，则在是函数在单调增加的〔 〕〔A〕必要但非充分条件； 〔B〕充分但非必要条件；〔C〕充分必要条件； 〔C〕无关条件12、设是满足微分方程的解，且，则在〔 〕〔A〕的*个邻域单调增加； 〔B〕的*个邻域单调减少；〔Ｃ〕处取得极小值； 〔Ｄ〕。
