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第五章第五章债券投资的理论债券投资的理论•这节课我们主要探讨债券问题，而债券问题的这节课我们主要探讨债券问题，而债券问题的解释清楚离不开对利率问题的研究因为我们解释清楚离不开对利率问题的研究因为我们知道一般债券我们有这样的定价公式：知道一般债券我们有这样的定价公式：•债券一般每期支付的利息是固定的，因此，债券一般每期支付的利息是固定的，因此，Ci不是我们的难点而不是我们的难点而ri指的是未来各期限的市指的是未来各期限的市场利率，由于是未来的因此具有不确定性我场利率，由于是未来的因此具有不确定性我们总是希望从现在的市场情况来了解或者说是们总是希望从现在的市场情况来了解或者说是预测未来各期限的利率情况这是我们研究的预测未来各期限的利率情况这是我们研究的难点问题因此债券的探讨变为利率的探讨难点问题因此债券的探讨变为利率的探讨•两种债券的提出：两种债券的提出： 附息债券，指债券表面上附有各期期限息票的债券附息债券，指债券表面上附有各期期限息票的债券息票上注明利息金额、到期日和债券的代码到期息票上注明利息金额、到期日和债券的代码到期时，债券持有人可以拿息票要求发行人兑付当前时，债券持有人可以拿息票要求发行人兑付。

当前的证券已经无纸化附息债券指的是本金到期偿还，的证券已经无纸化附息债券指的是本金到期偿还，利息分期偿还的一种债券它反映了利息的时间价利息分期偿还的一种债券它反映了利息的时间价值，因此称为复利债券值，因此称为复利债券 这这是是以以一一种种附附息息债债券券的的价价格格确确定定形形式式，，ＰＰ为为债债券券当当前前的的价价格格，，c为为债债券券的的票票面面利利率率,F为为债债券券面面额额,ri为为未未来来每每期期限限的的市市场场利利率率，，n为为期限．期限． 市场上的绝大多数债券是以这种方式发行的市场上的绝大多数债券是以这种方式发行的.•零息债券：零息债券（零息债券：零息债券（Zero Coupon Bonds）是债券发行人在债券期限内不支付）是债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券付的债券 •贴水发行的折现债券有两种，分别为贴现债贴水发行的折现债券有两种，分别为贴现债券和零息债券（券和零息债券（Zero Coupon Bonds）  •贴现债券是期限比较短的折现债券在国贴现债券是期限比较短的折现债券在国外，如：短期国库券（外，如：短期国库券（Treasury BillsTreasury Bills））和商业票据（和商业票据（commercial paper commercial paper ））, ,我国我国的央行票据和短期融资券，都是贴现债券。

的央行票据和短期融资券，都是贴现债券零息债券的期限普遍较长，最多可到零息债券的期限普遍较长，最多可到2020年它以低于面值的贴水方式发行，投资者在它以低于面值的贴水方式发行，投资者在债券到期日可按债券的面值得到偿付例债券到期日可按债券的面值得到偿付例如：一种如：一种2020年期限的债券，其面值为年期限的债券，其面值为2000020000美元，而它发行时的价格很可能只有美元，而它发行时的价格很可能只有60006000美元•中国进出口银行于中国进出口银行于20022002年年6 6月月2727日在银行间日在银行间债券市场发行的债券市场发行的100100亿金融债券亿金融债券““0202进出进出0404””就是真正意义的零息债券就是真正意义的零息债券  •目前，在我国的债券市场中，还有将利随目前，在我国的债券市场中，还有将利随本清债券（即一次还本付息债券）视为本清债券（即一次还本付息债券）视为““零息债券零息债券””的情况因此我们认为有必要的情况因此我们认为有必要厘清这两个概念厘清这两个概念•零息债券各期限品种的滚动发行对一国建零息债券各期限品种的滚动发行对一国建立零息债券收益率曲线有着深远的意义。

立零息债券收益率曲线有着深远的意义我们可以选择已有的零息债券作为样本，我们可以选择已有的零息债券作为样本，根据需要按照一些算法拟合出中国零息债根据需要按照一些算法拟合出中国零息债券市场的零息债券收益率曲线券市场的零息债券收益率曲线 零息债券的定价公式：零息债券的定价公式：ＰＰ为为债债券券当当前前的的价价格格，，F为为债债券券面面额额,ri为为到到期期时时的的市市场利率，场利率，n为期限．为期限．•如果我们知道市场上有一年、两年如果我们知道市场上有一年、两年…N年的零息债年的零息债券，我们就可以相应的得到一年、两年券，我们就可以相应的得到一年、两年…N年的零年的零息债券的收益率，而这个收益率我们可以看作是未息债券的收益率，而这个收益率我们可以看作是未来各期限市场利率的参考虽然它是对未来的预期，来各期限市场利率的参考虽然它是对未来的预期，但反应了整个经济环境以及我们对未来的认知我但反应了整个经济环境以及我们对未来的认知我们把这些得到的收益率画在以时间为横轴、以收益们把这些得到的收益率画在以时间为横轴、以收益率为纵轴的平面中，就得到了率为纵轴的平面中，就得到了零息债券收益率曲线零息债券收益率曲线。

•建立零息债券收益率曲线的意义：建立零息债券收益率曲线的意义：•1 1、零息债券收益率曲线对于建立良好的债、零息债券收益率曲线对于建立良好的债券价格评估体系也会产生重要的影响，从券价格评估体系也会产生重要的影响，从反映市场情况的角度衡量，通过零息债券反映市场情况的角度衡量，通过零息债券反映出来的市场情况最具有客观性的反映出来的市场情况最具有客观性的•2 2、零息债券的持续期（久期）在相同期限、零息债券的持续期（久期）在相同期限的债券中最长，对利率的变化也最为敏感的债券中最长，对利率的变化也最为敏感•3 3、而且零息债券的折扣额相当大，即它的、而且零息债券的折扣额相当大，即它的杠杆作用相当明显，也就是说零息债券的杠杆作用相当明显，也就是说零息债券的持有人以较少的资金投入，最后可以获得持有人以较少的资金投入，最后可以获得较多的回报较多的回报•4 4、零息债券的收益率曲线描述的是由投资、零息债券的收益率曲线描述的是由投资期限的不同而造成的债券到期收益率的变期限的不同而造成的债券到期收益率的变化通过了解零息债券的收益情况，投资化通过了解零息债券的收益情况，投资者可以很清楚地了解市场，及时根据市场者可以很清楚地了解市场，及时根据市场调节自己的投资策略。

调节自己的投资策略•5 5、零息债券收益率曲线也可以作为政府部、零息债券收益率曲线也可以作为政府部门把握债券市场情况的参考和制定宏观调门把握债券市场情况的参考和制定宏观调控决策的基础控决策的基础•总之，零息债券收益率曲线对于一个市场总之，零息债券收益率曲线对于一个市场的规范化和走向成熟具有相当重要的意义的规范化和走向成熟具有相当重要的意义 •零息债券和零息债券和附息债券的统一：附息债券的统一：•附息债券的定价公式中，唯一难确定的就是每附息债券的定价公式中，唯一难确定的就是每期的市场利率期的市场利率•视角的转换：从上面二者定价公式我们可以看视角的转换：从上面二者定价公式我们可以看出，附息债券的价格是由一系列现金流的现值出，附息债券的价格是由一系列现金流的现值之和来确定的，而之和来确定的，而零息债券的价格是由单一的零息债券的价格是由单一的现金流现值来确定的因此现金流现值来确定的因此附息债券的价格我附息债券的价格我们可以看作由一系列的们可以看作由一系列的零息债券组合而成也零息债券组合而成也就是说就是说附息债券的价格等于具有相同结构的一附息债券的价格等于具有相同结构的一系列系列零息债券的价格之和。

零息债券的价格之和•一张每年付息一次的一张每年付息一次的5 5年期年期附息债券的价格就附息债券的价格就等于等于5张与此附息债券息票及面额支付具有一张与此附息债券息票及面额支付具有一样期限结构的样期限结构的零息债券零息债券的价格附录附录•在金融领域有新发现就有新的交易方式和证券在金融领域有新发现就有新的交易方式和证券的出现•美国财政部自美国财政部自19851985年起发行把中长期国债拆分年起发行把中长期国债拆分得到的得到的STRIPSSTRIPS（（Separate Trading of Separate Trading of Registered Interest and Principal of Registered Interest and Principal of SecuritiesSecurities，注册的证券本金和利息的分离交，注册的证券本金和利息的分离交易计划）一些承销商易计划）一些承销商在大量购入国债的基础在大量购入国债的基础上，将国债本息剥离，将每一次的现金流变成上，将国债本息剥离，将每一次的现金流变成零息债券，分别卖给需要的投资者零息债券，分别卖给需要的投资者出售给投出售给投资者的证券称为本息分离国债收据（简称国债资者的证券称为本息分离国债收据（简称国债收据）。

国债收据收据）国债收据一方面有利于销售，另一方一方面有利于销售，另一方面有利于发现基准收益率面有利于发现基准收益率 附录附录•何谓国债收据？其具体运作思路是这样的：何谓国债收据？其具体运作思路是这样的：证券公司先购买中长期附息国债，然后把它证券公司先购买中长期附息国债，然后把它储蓄在一个银行的监管帐户上在此基础上储蓄在一个银行的监管帐户上在此基础上证券公司发行国债收据，这种收据把监管帐证券公司发行国债收据，这种收据把监管帐户上国债的每一息票支付的所有权和国债到户上国债的每一息票支付的所有权和国债到期值的所有权分别区分开来国债收据的实期值的所有权分别区分开来国债收据的实质是依据原附息国债的每期息票收入和到期质是依据原附息国债的每期息票收入和到期值发行的零息债券，其发行价格分别为这些值发行的零息债券，其发行价格分别为这些未来收入流依一定利率（一般为国债的市场未来收入流依一定利率（一般为国债的市场利率）折算出来的现值，到期日为原始国债利率）折算出来的现值，到期日为原始国债的付息日的付息日 •求解附息债券定价公式中每期的市场利率，就归结求解附息债券定价公式中每期的市场利率，就归结到了求解一系列到了求解一系列零息债券中到零息债券中到期时的市场利率，如期时的市场利率，如果市场上有众多各种期限的果市场上有众多各种期限的零息债券，那么每种零零息债券，那么每种零息债券的到息债券的到期时的市场利率是很容易找到的。

从而期时的市场利率是很容易找到的从而可以作为主要参考了解附息债券定价公式中每期的可以作为主要参考了解附息债券定价公式中每期的市场利率市场利率•我们把我们把零息债券中到零息债券中到期时的市场利率可以视作为期时的市场利率可以视作为零零息债券的到期收益率息债券的到期收益率•到期收益率到期收益率(yield to mature)提出的意义：提出的意义：•由于各种债务工具由不同的计息方法，同时债务工由于各种债务工具由不同的计息方法，同时债务工具的利率和价差也不同，为了便于比较，需要一个具的利率和价差也不同，为了便于比较，需要一个统一的精确衡量利息的指标，这个指标就是到期收统一的精确衡量利息的指标，这个指标就是到期收益率•例如：你现在有１００００元，闲置期是两年例如：你现在有１００００元，闲置期是两年•Ａ、银行的两年期存款利率为５．２４Ａ、银行的两年期存款利率为５．２４% %•ＢＢ、、市市场场上上５５年年期期国国债债的的价价格格是是１１００２２００，，票票面面利利率率为为４４．．６６７７％％，，持持有有两两年年后后预预测测价价格格是是１１００３７３７•ＣＣ、、一一种种基基金金现现在在的的购购买买价价格格为为１１．．００９９２２，，预预期年回报率为期年回报率为5 5．．1 1３％３％, ,采用复利记息采用复利记息 到期收益率是指从债务工具上获得回报（现到期收益率是指从债务工具上获得回报（现金流）的现值与其今天的价值相等的唯一金流）的现值与其今天的价值相等的唯一利率。

利率•这是以一种附息债券为例，Ｐ为债券当前的价这是以一种附息债券为例，Ｐ为债券当前的价格，格，c为债券的票面利率为债券的票面利率,F为债券面额为债券面额,y为到为到期收益率，期收益率，n为期限．为期限．•到期收益率是我们在投资选择时，比较衡量投到期收益率是我们在投资选择时，比较衡量投资收益的标准资收益的标准•例子，一种面值为１００元的３年期债券，例子，一种面值为１００元的３年期债券，每年支付一次利息，利率为４％，债券价格每年支付一次利息，利率为４％，债券价格为９９为９９.３６元，３６元，•计算该债券的到期收益率？计算该债券的到期收益率？•到期收益率为到期收益率为y=4.2３３%•插值法：先把４％作为拟值，带入方程，得插值法：先把４％作为拟值，带入方程，得到一个价格９９．９９９，说明４％选取的到一个价格９９．９９９，说明４％选取的低了，在把５％带入方程，得到的价格为９低了，在把５％带入方程，得到的价格为９７．２７６６，因此推断到期收益率在４％７．２７６６，因此推断到期收益率在４％与５％之间，我们可以构建一个等式：与５％之间，我们可以构建一个等式：•某债券面额为１０００元，距某债券面额为１０００元，距到期日为３年，年利率为１０到期日为３年，年利率为１０％，每年支付一次利息，现在％，每年支付一次利息，现在市场价格为９００元，计算到市场价格为９００元，计算到期收益率：期收益率：•先用１４％作为拟值带入方程，得到价格先用１４％作为拟值带入方程，得到价格为９０７．１３元，再选用１５％得到８为９０７．１３元，再选用１５％得到８８５８５.８４，建立方程：８４，建立方程：y=１１4. ３４３４%•收益率曲线收益率曲线( (yield curve) :yield curve) :•收收益益率率曲曲线线是是不不同同到到期期时时间间债债券券的的到到期期收收益与到期时间的关系的曲线。

益与到期时间的关系的曲线利率结构利率结构 利率在一个国家中的具体表现是多种多样利率在一个国家中的具体表现是多种多样的不同期限和不同用途（市场）的资金的不同期限和不同用途（市场）的资金具有不同的利率水平，这就是利率的结构具有不同的利率水平，这就是利率的结构的问题利率结构利率结构利率的风险结构利率的风险结构利率的期限结构利率的期限结构•一、利率的风险结构一、利率的风险结构• 利率的风险结构是指期限相同的各种信用工具利利率的风险结构是指期限相同的各种信用工具利率之间的关系率之间的关系•主要由信用工具的违约风险、流动性以及税收等因主要由信用工具的违约风险、流动性以及税收等因素决定• （（1）违约风险）违约风险• （（2）流动性）流动性• （（3）税收因素）税收因素级别级别 ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ ＡＡＢＢＢＢＢＢＢＢＢＢ ＢＢＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣ ＣＣ一年一年期利期利率率２２.３７３７２２.５６５６２２.８７８７３３.１２１２３３.５８５８３３.９８９８４４.５５５５５５.２３２３６６.８３８３•二、利率的期限结构二、利率的期限结构• 利率的期限结构是指同一信用级别或同一种的信利率的期限结构是指同一信用级别或同一种的信用工具，利率与期限之间的变化关系。

用工具，利率与期限之间的变化关系年限年限１１３３５５１０１０３０３０ＡＡＡＡＡＡ ２２.３３７７３３.５５２２４４.５５５５７７.４４６６１８１８.８８８８•利率期限结构两个现象：利率期限结构两个现象：•一是各种期限的利率的变化往往是同向波一是各种期限的利率的变化往往是同向波动的；动的；•二是长期利率往往高于短期利率二是长期利率往往高于短期利率•西方经济学三种主要理论解释这两种现象西方经济学三种主要理论解释这两种现象优先聚集优先聚集地理论地理论市市场场分分割理论割理论预期理论预期理论•（一）预期理论（强调替代（一）预期理论（强调替代,人们的投资在期限上没人们的投资在期限上没有偏好，直接投资两年和投资一年，以后再投资一年有偏好，直接投资两年和投资一年，以后再投资一年是一样的，在投资期限上是可以相互替代的）是一样的，在投资期限上是可以相互替代的）• 预期理论假设人们对市场的未来预期到达公识，预期理论假设人们对市场的未来预期到达公识，同时未来的预期和未来的实际情况是相接近的，同时未来的预期和未来的实际情况是相接近的，那么那么我们有理由相信，现在两年期的利率反映了人们的预我们有理由相信，现在两年期的利率反映了人们的预期，也反映了第二年利率的实际情况，因此投资于债期，也反映了第二年利率的实际情况，因此投资于债务工具期限没有偏好，只要投资时间长度相等，是没务工具期限没有偏好，只要投资时间长度相等，是没有区别的．有区别的．• 结论：同一类型证券在期限上是统一的，不同期结论：同一类型证券在期限上是统一的，不同期限证券之间具有完全的替代性。

按照这种理论长期利限证券之间具有完全的替代性按照这种理论长期利率是该期间内短期利率的平均数率是该期间内短期利率的平均数,因此长短期限的利因此长短期限的利率是同向起伏率是同向起伏•假定某一投资者有一笔两年期的闲置资金，它可假定某一投资者有一笔两年期的闲置资金，它可以有两种投资选择：现在购买一年期债券，到期以有两种投资选择：现在购买一年期债券，到期后用本息再购买一年期的债券；也可以现在就购后用本息再购买一年期的债券；也可以现在就购买两年期债券若一年期利率为买两年期债券若一年期利率为Rt ；；则两年期的则两年期的利率为利率为 R2t，，预计一年后的一年期利率为预计一年后的一年期利率为 Rt+1 前一种投资的收益率为前一种投资的收益率为(1+Rt) (1+Rt+1)-1;后后一种投资的收益率为一种投资的收益率为: • 由于投资者对期限没有特殊偏好，所以，在均由于投资者对期限没有特殊偏好，所以，在均衡的情况下，这两种投资的预期收益率应该相等：衡的情况下，这两种投资的预期收益率应该相等：•由上式可以得到：由上式可以得到：• 不难看出，两年期的债券利率等于当前的一年不难看出，两年期的债券利率等于当前的一年期利率和预期一年后一年期债券利率的平均数。

期利率和预期一年后一年期债券利率的平均数•预期理论的基本结论是：预期理论的基本结论是：• 长期利率是短期利率的函数长期利率是短期利率的函数•预期理论的政策涵义是：预期理论的政策涵义是：• 货币管理当局除非影响预期，否货币管理当局除非影响预期，否则它不能影响利率的期限结构如则它不能影响利率的期限结构如果中央银行想改变长期利率水平，果中央银行想改变长期利率水平，那么，中央银行只需改变短期债券那么，中央银行只需改变短期债券供给，而不需要改变长期债券供给供给，而不需要改变长期债券供给 •（二）市场分割理论（二）市场分割理论 （强调偏好）（强调偏好）• 市场分割理论假设人们对不同的期限证市场分割理论假设人们对不同的期限证券是有偏好的，因此各种期限证券之间毫券是有偏好的，因此各种期限证券之间毫无替代性，它们的市场是相互分割、彼此无替代性，它们的市场是相互分割、彼此独立的因而，每种期限证券的利率都只独立的因而，每种期限证券的利率都只是由各自市场的供求状况决定的，彼此之是由各自市场的供求状况决定的，彼此之间并无交叉影响间并无交叉影响•市场分割理论认为市场分割的原因有：市场分割理论认为市场分割的原因有：•A，，投资者可能对某种证券具有特殊偏好或投资投资者可能对某种证券具有特殊偏好或投资习惯。

习惯•B，，投资者不能掌握足够知识，只能对某些证券投资者不能掌握足够知识，只能对某些证券感兴趣•C，，不同借款人也只对某些证券感兴趣，因为其不同借款人也只对某些证券感兴趣，因为其资金的使用性质决定了他们只会对某些期限的证资金的使用性质决定了他们只会对某些期限的证券感兴趣券感兴趣•D，，机构投资者的负债结构决定了他们在长期和机构投资者的负债结构决定了他们在长期和短期证券之间的选择短期证券之间的选择•E，，缺少易于在国内市场上销售的统一的债务工具缺少易于在国内市场上销售的统一的债务工具•Ｆ，人们的预期各不相同，同时与未来的实际情Ｆ，人们的预期各不相同，同时与未来的实际情况不一样．况不一样．•市场分割理论的政策含义：市场分割理论的政策含义：• 中央银行可以通过改变长期或短期证券中央银行可以通过改变长期或短期证券的相对供给来改变利率的期限结构，但不的相对供给来改变利率的期限结构，但不能通过单方面改变短期证券的供给来影响能通过单方面改变短期证券的供给来影响长期利率与预期理论的政策含义大不相长期利率与预期理论的政策含义大不相同•（三）优先聚集地理论（三）优先聚集地理论• 优先聚集地理论是上面两种期限结构理优先聚集地理论是上面两种期限结构理论的综合。

它考虑了投资者对不同证券的论的综合它考虑了投资者对不同证券的偏好，但偏好不是绝对的当不同期限证偏好，但偏好不是绝对的当不同期限证券之间的预期收益率达到一个临界值后，券之间的预期收益率达到一个临界值后，投资者可能会放弃它所偏好的那种证券，投资者可能会放弃它所偏好的那种证券，而去投资预期收益率较高的证券，替代就而去投资预期收益率较高的证券，替代就会发生由于投资者偏好的存在，不同期会发生由于投资者偏好的存在，不同期限证券不可能是完全相互替代的，因而各限证券不可能是完全相互替代的，因而各种期限证券的预期收益率不会完全相等；种期限证券的预期收益率不会完全相等；但是当这种收益率差达到一定程度时，替但是当这种收益率差达到一定程度时，替代就会发生代就会发生•仍以前面例子来看，假定投资者更偏好一年期证券，仍以前面例子来看，假定投资者更偏好一年期证券，只有当一年期证券预期收益率与两年期证券的预期只有当一年期证券预期收益率与两年期证券的预期收益率之差超过收益率之差超过 P 时，投资者才会去选择两年期证时，投资者才会去选择两年期证券均衡条件如下：券均衡条件如下：•根据前面相同推理，可得：根据前面相同推理，可得：•式中式中 P/2 是长期利率和短期利率之间的差。

这个差是长期利率和短期利率之间的差这个差称为期限补偿，它的大小取决于投资者对不同期限称为期限补偿，它的大小取决于投资者对不同期限证券的偏好程度证券的偏好程度•优先聚集地理论能够较好地解释长期利率通常高于优先聚集地理论能够较好地解释长期利率通常高于短期利率的现象，同样也能解释为什么不同期限利短期利率的现象，同样也能解释为什么不同期限利率会同向波动率会同向波动• 由于优先聚集地理论较好地与经验事实相符和，由于优先聚集地理论较好地与经验事实相符和，是一种最流行的利率期限结构理论是一种最流行的利率期限结构理论•问题：利用这些理论分析我国各档期存款利率？问题：利用这些理论分析我国各档期存款利率？（调整前与后）（调整前与后）期限期限利率利率三个月三个月1.71半年半年2.07一年一年2.25二年二年2.70三年三年3.24五年五年3.60调整后调整后期限期限利率利率三个月三个月3.33半年半年3.78一年一年4.14二年二年4.68三年三年5.4五年五年5.85       •久期久期(duration)概念的提出：概念的提出：•一家银行发放一笔一家银行发放一笔1000元的一年期的贷款，元的一年期的贷款，贷款利率为贷款利率为12%，年初发放，要求在，年初发放，要求在6月底月底偿还一半本金，另外在年底偿还剩余的部偿还一半本金，另外在年底偿还剩余的部分本金，利息也是每分本金，利息也是每6月支付一次。

银行得月支付一次银行得到的现金流分布如下：到的现金流分布如下：• CF1/2 =560 CF1 =530 •0 0.5 1•两笔现金流对于银行来说，虽然在价值上两笔现金流对于银行来说，虽然在价值上相差不大，但因为货币的时间价值，二者相差不大，但因为货币的时间价值，二者对于银行来说是具有不一样的价值我们对于银行来说是具有不一样的价值我们需要比较这两笔现金流的大小，比较的方需要比较这两笔现金流的大小，比较的方式是把两笔现金流折成现值，然后比较：式是把两笔现金流折成现值，然后比较：•CF1/2 =560，，PV1/2= 560/（（1+0.06））=528.3•CF1=530，，PV1= 530/（（1+0.06））2 = 471.7•CF1/2+CF1=1090，， PV1/2 + PV1 =1000•进一步确定每笔现金流的现值在总现金流进一步确定每笔现金流的现值在总现金流现值的比重。

现值的比重•W1/2 = PV1/2 /（（PV1/2 + PV1 ））= 52.83%•W1 = PV1/（（PV1/2 + PV1 ））= 47.17%我们以我们以W W1/21/2、、 W W1 1为权重，来计算债券偿还的加权为权重，来计算债券偿还的加权平均期限，得到的就是久期：平均期限，得到的就是久期：D= WD= W1/21/2 *1/2+ W *1/2+ W1/21/2 *1=0.7359 *1=0.7359•久期的正式公式久期的正式公式 ：：wt=[CFwt=[CFt t/(1+y)/(1+y)t t ]/Σ [CF ]/Σ [CFt t/(1+y)/(1+y)t t ] ]D=D=ΣtΣt××wtwt 我们统一的方便，这里的我们统一的方便，这里的y y是到期收益率是到期收益率提出久期的意义：提出久期的意义：1 1、它是对资产（资产组合）实际平均期限的一种、它是对资产（资产组合）实际平均期限的一种简单的概率统计是一种加权平均期限，权重简单的概率统计是一种加权平均期限，权重为现金流的现值比重为现金流的现值比重久期的计算举例：久期的计算举例：2、久期是资产组合的利率敏感性的测度。

久期是资产组合的利率敏感性的测度•对于一般的有价证券我们有这样的等式有价证对于一般的有价证券我们有这样的等式有价证券之所以有价是因为它们可以在未来带来一定的券之所以有价是因为它们可以在未来带来一定的现金流，我们利用一定的折现率把它们折成现值，现金流，我们利用一定的折现率把它们折成现值，就得到了有价证券的价格如果各期的现金流是就得到了有价证券的价格如果各期的现金流是固定的，这种等式指的是附息债券的定价公式固定的，这种等式指的是附息债券的定价公式 此公式对于附息债券各个关系人来说都是有用处此公式对于附息债券各个关系人来说都是有用处（发行人、投资者和一些专业的债券经营者）发行人、投资者和一些专业的债券经营者）• •它的应用一般是发行时，由发行人确定发行价格它的应用一般是发行时，由发行人确定发行价格的但要知道发行价格，必须知道每期的折现率，的但要知道发行价格，必须知道每期的折现率，而折现率的取得一般是通过市场上的零息曲线取而折现率的取得一般是通过市场上的零息曲线取得的政府为了市场的构建连续性的发放各期零得的政府为了市场的构建连续性的发放各期零息国债息国债.政府一般会根据自己发行的各期零息国债政府一般会根据自己发行的各期零息国债的收益率来绘制零息曲线。

发行人只需要在同期的收益率来绘制零息曲线发行人只需要在同期限零息国债收益率的基础上加上合适的信用价差限零息国债收益率的基础上加上合适的信用价差•零息国债的收益率零息国债的收益率相当于我们介绍的资产定价公相当于我们介绍的资产定价公式中的无风险利率信用价差相当于我们介绍的式中的无风险利率信用价差相当于我们介绍的资产定价公式中的风险溢价它的取得一般是一资产定价公式中的风险溢价它的取得一般是一些评级机构提供的因此债券发行时一定要进行些评级机构提供的因此债券发行时一定要进行信用评级信用评级 •这个公式对于投资者来说，这个公式对于投资者来说，P P是已知的，而债券是已知的，而债券的票面利率一般也可知道的票面利率一般也可知道. .为了与其他投资品比为了与其他投资品比较，引入了到期收益率（较，引入了到期收益率（YTMYTM），我们可以把到），我们可以把到期收益率看做持有期间的平均收益率它的取得，期收益率看做持有期间的平均收益率它的取得，我们可以通过计算机来求解因此我们有了个公我们可以通过计算机来求解因此我们有了个公式：式：•P=P=f(yf(y) )•对于债券的经营者来说，利率是经常变动的，总对于债券的经营者来说，利率是经常变动的，总是希望知道利率的变化对债券价格的影响．是希望知道利率的变化对债券价格的影响．•如果债券每期支付的利息一样的话我们有：如果债券每期支付的利息一样的话我们有：•对上式求对上式求P对对y的导数：的导数：•或者：或者：•上式表示了债券价格对于到期收益率的微小变化上式表示了债券价格对于到期收益率的微小变化的反应，再两边同时除以的反应，再两边同时除以P，就可以得到近似的，就可以得到近似的价格变化百分比：价格变化百分比：•上式中等式右边除了上式中等式右边除了-1/（（1+y）内容就是我们所）内容就是我们所知道的久期：知道的久期：•有时我们也定义了修正久期：有时我们也定义了修正久期：•我们就有了：我们就有了：•还可以这样表述：还可以这样表述：•我们有：我们有：P=f(y)•那么，利率的变动会导致价格的变动，一般债券那么，利率的变动会导致价格的变动，一般债券价格对于市场利率的相当敏感的，我们有了新价价格对于市场利率的相当敏感的，我们有了新价格：格：•对上式对上式泰勒展开，只保留三项泰勒展开，只保留三项, ,再减去再减去P P：：•在两边除以价格在两边除以价格P P：：•我们定义：我们定义：•就有了：就有了：•P•误差误差• 真正价格的变化真正价格的变化• 久期反映的价格变化久期反映的价格变化 • y•久期的另一个用处：利率风险规避的工具久期的另一个用处：利率风险规避的工具•我们持有一种债券，必然遭受利率风险，我们希望规避我们持有一种债券，必然遭受利率风险，我们希望规避风险．套期保值，通过一些衍生品来规避．但我们需要风险．套期保值，通过一些衍生品来规避．但我们需要知道购买衍生品的数量．下面等式的变量都为利率的函知道购买衍生品的数量．下面等式的变量都为利率的函数．数．•W=B1+wB2•B1为单位债券价格，为单位债券价格，B2为单位衍生品价格，为单位衍生品价格，w为规避单为规避单位债券风险需要的衍生品数量，位债券风险需要的衍生品数量，W为资产组合。

为资产组合• 风险为零的条件，一阶导数为０，我们有风险为零的条件，一阶导数为０，我们有CX的近似表达：的近似表达：•由于：由于：•久期的性质久期的性质 –零息票债券的久期等于它的到期时间零息票债券的久期等于它的到期时间–当债券的到期日不变时，债券的久期随着息票当债券的到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长利率的降低而延长–当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长期时间的增长而增长–其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长票债券的久期较长久期的性质图示久期的性质图示•常用久期的计算公式常用久期的计算公式 –无限期限债券的久期计算：无限期限债券的久期计算：•(1+(1+y)/yy)/y–当收益率为当收益率为10%10%时，每年支付时，每年支付100100元的无限期限元的无限期限债券的久期等于债券的久期等于1.10/0.10=111.10/0.10=11年–如果收益率为如果收益率为4%4%，久期就为，久期就为1.04/0.04=261.04/0.04=26年年–稳定年金的久期计算稳定年金的久期计算 •[(1+[(1+y)/yy)/y]- T/[(1+y)]- T/[(1+y)T T- 1]- 1]•这这里里，，T T为为支支付付的的次次数数，，y y是是每每个个支支付付期期的的年年金金收收益率。

益率• 例如，收益率为例如，收益率为4%4%的的1010年期年金的久期为年期年金的久期为• (1.04/0.04)-[10/(1.04(1.04/0.04)-[10/(1.04 10 10-1)]=26-[10/0.48]-1)]=26-[10/0.48]• =26-20.83=5.17 =26-20.83=5.17 年息票式债券的久期计算息票式债券的久期计算 •[(1+[(1+y)/y]-[(1+y)+T(c-y)]/{c[(1+y)y)/y]-[(1+y)+T(c-y)]/{c[(1+y)T T-1]+y}-1]+y}C=C=息票利率，息票利率，T=T=支付次数，支付次数，y=y=债券收益债券收益•例例 如如 ，， C=4%,T=40,20C=4%,T=40,20年年 期期 债债 券券 有有 4040支支 付付 期期 ，，y=2.5%y=2.5%，那么债券的久期应该为，那么债券的久期应该为•(1.025/0.025)-[1.025+40(0.02-(1.025/0.025)-[1.025+40(0.02-0.025)]/[0.02(1.0250.025)]/[0.02(1.0254040-1)+0.025]=26.94-1)+0.025]=26.94半半 年年=13.410 =13.410 年年–由于息票式债券是以面额出售的，因此由于息票式债券是以面额出售的，因此息票式债券的久期简化计算息票式债券的久期简化计算 • [(1+ [(1+y)/y][1-1/(1+y)y)/y][1-1/(1+y)T T] ]•假定假定T=40,C=4%T=40,C=4%，每半年付一次利息，该债，每半年付一次利息，该债券的久期为券的久期为•[(1+0.025)/0.025][1-1/(1+y)[(1+0.025)/0.025][1-1/(1+y)T T]=25.73]=25.73半半年年=12.87=12.87年。

年息票式债券的久期息票式债券的久期( (债券的到期收益率均为债券的到期收益率均为8%8%，每半年支付一次利息，每半年支付一次利息) )•案例：案例：假定一保险公司发行假定一保险公司发行1 1万元投资保单，期限万元投资保单，期限5 5年，年，利率利率8%8%，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本付息，到期需支付本息额为付息，到期需支付本息额为14693.2814693.28元保险公司为元保险公司为确保到期有足够的收入支付本息，将保单收入投资于确保到期有足够的收入支付本息，将保单收入投资于面值为面值为1000010000元、期限为元、期限为6 6年、年息为年、年息为8%8%的息票式债券的息票式债券如果未来如果未来5 5年，利率始终为年，利率始终为8%8%，保险公司将每年获得，保险公司将每年获得的利息再投资于该债券，它的债券投资的利息再投资于该债券，它的债券投资5 5年可恰好获年可恰好获得本息得本息14693.2814693.28元如果保险公司投资债券后的各年利率或如果保险公司投资债券后的各年利率或7%7%，，或或9%9%，，5 5年后情况为年后情况为•从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，投资的最终收益会受影响：投资的最终收益会受影响：•这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利息再投资的收益减少，但证券的出售价格会息再投资的收益减少，但证券的出售价格会上升；如果是利率上升，利息再投资的收益上升；如果是利率上升，利息再投资的收益会增加，但证券的出售价格会减少。

会增加，但证券的出售价格会减少•当利率降为当利率降为7%7%时，利息再投资的收益一共减少时，利息再投资的收益一共减少了了92.6992.69元元(4693.28-4600.59=92.69)(4693.28-4600.59=92.69)，但债，但债券价格增加了券价格增加了93.4693.46元，两相抵消，总收益还元，两相抵消，总收益还稍有增加了稍有增加了0.770.77•当利率升为当利率升为9%9%时，利息再投资的收益增加了时，利息再投资的收益增加了94.4894.48元元(4787.76-4693.28=94.48)(4787.76-4693.28=94.48)，债券价，债券价格减少了格减少了91.7491.74元，两相抵消，总收益仍然增元，两相抵消，总收益仍然增加了加了2.742.74元•这这家家保保险险公公司司的的这这项项资资产产和和负负债债是是免免疫疫，，也也就就是是利利率无论如何变动，在未来资产有能力偿还负债率无论如何变动，在未来资产有能力偿还负债•原因的寻找：资产和负债的久期是匹配的原因的寻找：资产和负债的久期是匹配的•保保单单相相当当于于零零息息债债券券，，久久期期是是5 5年年，，而而购购买买的的债债券券的久期也是的久期也是5 5年。

年 [(1+[(1+y)/y][1-1/(1+y)y)/y][1-1/(1+y)T T]=5]=5•如如果果保保险险公公司司选选择择了了合合适适久久期期的的投投资资，，就就可可以以在在方方向不定的利率波动时确保足够的支付向不定的利率波动时确保足够的支付•如如果果利利率率为为8%8%，，保保险险公公司司的的保保单单的的价价格格为为1000010000元元，，购购买买的的债债券券价价格格也也是是1000010000元元；；如如果果利利率率降降为为7%7%，，保保单单的的现现值值为为10476.1110476.11元元(14693.28/1.07(14693.28/1.075 5=10476.11)=10476.11)，，债债券券组组合合的的现现值值为为10476.6510476.65元元(6(6次次800800元元利利息息的的现现值值再再加加上上6 6年年后后1000010000元元本本金金的的现现值值) )；；如如果果利利率率降降为为9%9%，，保保单单的的现现值为值为9549.629549.62元，债券组合的现值为元，债券组合的现值为9551.419551.41元•从从现现值值的的比比较较可可以以看看出出，，无无论论利利率率是是下下降降还还是是上上升升，，债债券券的的现现值值都都比比保保单单的的现现值值略略高高，，都都足足以以满满足足支支付付的的要要求求。

它它进进一一步步说说明明了了进进行行久久期期匹匹配配策策略略，，可可以以确确保保资资产产与与负债对于利率波动的反应是相等的负债对于利率波动的反应是相等的•金金融融机机构构总总是是持持有有一一定定的的资资产产和和负负债债，，而而且且负负债债与与资资产产总总是是在在不不断断变变化化中中的的，，同同时时市市场场利利率率也也在在不不断断变变化化，，因因此此在在管管理理过过程程中中必必须须要要注注意意资资产产的的选选择择，，做做到到未未来来资资产产的的价价值值可可以以足足额额的的偿偿付付负负债债方方法法的的选选择择：：资资产产和和负负债债的的久久期期相相近近，，久久期期反反应应的的是是资资产或者负债对利率的敏感性产或者负债对利率的敏感性•注注意意观观察察，，当当利利率率变变为为7%7%和和9%9%的的时时候候，，累累积积收收益益和和利利率率为为8%8%的的累累积积收收益益有有一一点点差差额额这这个个差差额额的的发发生生是是由由于于期期限限的的久久期期有有微微小小的的变变化化当当债债券券的的到到期期收收益益率率为为8%8%时时久久期期为为5 5年年，，但但是是，，当当利利率率为为7%7%时时，，久久期期为为5.105.10年年，，当当利利率率为为9%9%时时，，久久期期则则为为4.894.89年年。

因因此此要要不不断断调调整整资资产产组组合合，，以实现其久期与债务久期的再平衡以实现其久期与债务久期的再平衡•例例如如，，保保险险公公司司有有一一期期限限7 7年年1000010000元元的的负负债债，，到到期期一一次次还还本本付付息息1948719487元元它它通通过过持持有有3 3年年期期零零息息票票债债券券和和年年付付息息一一次次的的永永久久债债券券进进行行利利率率免免疫疫永永久久债债券券的的收收益益率率等等于于该该保保险险公公司司负负债债的利率的利率•永久年金利率为永久年金利率为10%10%，其久期为，其久期为1111年年(1.10%/0.10=11)(1.10%/0.10=11)，零息票债券的久期是，零息票债券的久期是3 3年•资产组合的久期等于资产组合各部分资产的久资产组合的久期等于资产组合各部分资产的久期的加权平均值，为了达到所希望的久期为期的加权平均值，为了达到所希望的久期为7 7年的资产组合，必须决定零息票债券和永久债年的资产组合，必须决定零息票债券和永久债券的比重券的比重•即有即有w w 3 3年年+(1-w)+(1-w) 1111年年=7=7年，年，w=1/2w=1/2。

即保即保险公司应将险公司应将50005000元购买零息票债券，元购买零息票债券，50005000元购元购买永久年金买永久年金•1 1年后即使利率没有变化，还需要再调整组合年后即使利率没有变化，还需要再调整组合的比重：有的比重：有w w 2+(1-w)2+(1-w) 11=611=6，有，有w=5/9w=5/9•一、填表，以下是零息债券，票面面额一、填表，以下是零息债券，票面面额1000美圆发行价格发行价格到期期限到期期限年到期收益率年到期收益率4002050020500101010108•二、一种债券，年息票率为二、一种债券，年息票率为10%，面额，面额1000元，半年付息市场利率为每年元，半年付息市场利率为每年8%，，债券距离到期有三年债券距离到期有三年•1、计算债券当前价格和半年后价格计算债券当前价格和半年后价格•2、此债券六个月后按上步的价格出售，持、此债券六个月后按上步的价格出售，持有期收益率是多少？有期收益率是多少？•3、一个有严重财务危机的企业发行的、一个有严重财务危机的企业发行的10年年期债券，息票利率为期债券，息票利率为14%，售价为，售价为900元这个企业正在和债务人协商，看债务人是这个企业正在和债务人协商，看债务人是否同意企业将利息支付减至合同金额的一否同意企业将利息支付减至合同金额的一半，这样企业就可以降低利息支付。

则这半，这样企业就可以降低利息支付则这种债券的原定的和预期的到期收益率各是种债券的原定的和预期的到期收益率各是多少？每年付息一次多少？每年付息一次•三、下表是期限不同的一组零息债券的价格表：三、下表是期限不同的一组零息债券的价格表：期限期限/年年每每1000美圆面值的债券价格美圆面值的债券价格1943.402873.523816.37•A、面值、面值1000美圆债券的息票利率为美圆债券的息票利率为8.5%，为期三年，每年付息，该债券的到期收，为期三年，每年付息，该债券的到期收益率是多少？益率是多少？•B、如果第一年末收益率曲线在、如果第一年末收益率曲线在8%变动水变动水平，则该附息债券持有一年的持有期收益平，则该附息债券持有一年的持有期收益率为多少率为多少•四、假定一年期零息债券的到期收益率为四、假定一年期零息债券的到期收益率为5%，两年期零息债券的到期收益率为，两年期零息债券的到期收益率为6%两年期附息债券的息票率为两年期附息债券的息票率为12%（每年支（每年支付），两年期的到期收益率为付），两年期的到期收益率为5.8%投资银行是否有套利机会？如有，该套利行为银行是否有套利机会？如有，该套利行为的利润是多少？的利润是多少？•五、一种到期收益率为五、一种到期收益率为10%的的9年期债券，年期债券，久期为久期为7.194年。

如果市场收益率改变年如果市场收益率改变50个个基点，债券价格改变的百分比是多少？基点，债券价格改变的百分比是多少？•六、期限为六、期限为12.75年的零息债券按到期收益年的零息债券按到期收益率率8%出售，凸性为出售，凸性为150.3，修整久期为，修整久期为11.81年，年，30年、息票率为年、息票率为6%的附息债券，的附息债券，每年付息，也按每年付息，也按8%的到期收益率的价格出的到期收益率的价格出售，近似的久期为售，近似的久期为11.79年，凸性为年，凸性为231.2•A、假定两种债券准确的到期收益率上升为、假定两种债券准确的到期收益率上升为9%，两种债券的实际资本损失的百分比是，两种债券的实际资本损失的百分比是 多少？根据久期多少？根据久期-凸性法则估计的资本损失凸性法则估计的资本损失是多少？是多少？•B、假定到期收益率为、假定到期收益率为7%的情况呢？的情况呢？•七、我的养老基金计划将在七、我的养老基金计划将在10年内每年支年内每年支付给我付给我10000美圆，第一笔支付将在第美圆，第一笔支付将在第5年年开始支付，养老基金想将其头寸免疫开始支付，养老基金想将其头寸免疫•A、它对我的债务的久期是多少，当前的市、它对我的债务的久期是多少，当前的市场利率为每年场利率为每年10%。

•B、如果养老基金用、如果养老基金用5年期的零息债券和年期的零息债券和20年期的零息债券来构建免疫头寸，比例是年期的零息债券来构建免疫头寸，比例是多少？两种债券的面额是多少？多少？两种债券的面额是多少？。