1212单位圆中的三角函数线课件.ppt

1.1.设设αα是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（（x x，，y y），角），角αα的三角函数是怎样定义的？的三角函数是怎样定义的？2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ，， ，， ( ).( ).其数学意义如何？其数学意义如何？ 终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. .我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. . 复习引入复习引入复习引入复习引入正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 问题问题1 1：：如图，设角如图，设角αα为第一象限角，其终边与单位圆为第一象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（（x x，，y y），则），则 ，， 都是正数，都是正数，你能分别用一条线段表示角你能分别用一条线段表示角αα的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？P P（（x x，，y y））O Ox xy yM问题问题2 2：：若角若角αα为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（（x x，，y y），则），则 ，， 都是负数，都是负数，此时角此时角αα的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P P（（x x，，y y））O Ox xy yM M正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号带有正负值符号. .根据实际需要，我们规定根据实际需要，我们规定线段从始线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角αα为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinαsinα、、cosαcosα可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、、OMOM表示，即表示，即MP= MP= sinαsinα，，OM=OM=cosαcosα，那么当角，那么当角αα为第二、四象限角时，你能检验为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？这个表示正确吗？ P P（（x x，，y y））O Ox xy yM MP P（（x x，，y y））O Ox xy yM M思考：思考：设角设角αα的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段MPMP，，OMOM分别为角分别为角αα的正弦线和余弦线的正弦线和余弦线. .当角当角αα的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角αα的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考：思考：设设αα为锐角，你能根据正弦线和余弦线说为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明明sinαsinα＋＋cosαcosα>1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMP＋＋OMOM>OP=1OP=1正切线正切线正切线正切线 A AT T问题问题1 1：：如图，设角如图，设角αα为第一象限角，其终边与单为第一象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P（（x x，，y y），则），则 是正数，用是正数，用哪条有向线段表示角哪条有向线段表示角αα的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MAT T问题问题2 2：：若角若角αα为第四象限角，其终边与单位为第四象限角，其终边与单位圆的交点为圆的交点为P P（（x x，，y y），则），则 是负数，是负数，此时用哪条有向线段表示角此时用哪条有向线段表示角αα的正切值最合适的正切值最合适？？P PO Ox xy yM M正切线正切线正切线正切线 A AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角αα为第二象限角，其终边与单位圆的交为第二象限角，其终边与单位圆的交点为点为P P（（x x，，y y），则），则 是负数，此时用哪条是负数，此时用哪条有向线段表示角有向线段表示角αα的正切值最合适？的正切值最合适？思考：思考：若角若角αα为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（（x x，，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向是正数，此时用哪条有向线段表示角线段表示角αα的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT T思考：思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？？过点过点A A（（1 1，，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角αα的终边或其反的终边或其反向延长线相交于点向延长线相交于点T T，则，则AT=AT=tanαtanα. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考：思考：当角当角αα的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角αα的正切线的正切线的含义如何？的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角αα的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角αα的正切线是一个点；的正切线是一个点；当角当角αα的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角αα的正切线不存在的正切线不存在. .思考：思考：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ 思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其中αα为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？P PO Ox xy yM MA AT T例例1 1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （（1 1）） ；； （（2 2）） ；；（（3 3）） ；； （（4 4）） . .例例2 2 在在0 0～～ 内，求使内，求使 成立的成立的αα的取值的取值范围范围. .O Ox xy yP PM MP P1 1P P2 2例例3 3 求函数求函数 的定义域的定义域. .O Ox xy yP P2 2M MP P1 1P P1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O O和点和点A A（（1 1，，0 0））. .3.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想. .课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 。