高考数学常考题型的总结(必修五)(1).pdf

学 海 无 涯 高考数学常考题型的总结 必修五 对高三理科来说 必修五是高考的必考内容 它不仅要考查基础知识点 而且还要考查解题方法和解题思路 的问题 同学们在复习过程中 一定要明白什么是重要 什么是难点 什么是常考知识点 对重难点要了如指掌 能做到有的放矢 同学们不仅要掌握课本上的知识点 更重要的要对知识点理解的有深度 对经典题型或高考常 考题型掌握到相当熟练的程度 人们常说 只有你多于一桶水的能力 在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来 否则 基本不可能考出相对理想的成绩来 必修五主要包括三大部分内容 解三角形 数列 不等式 高考具体要考查那些内容呢 这是我们师生共同 研究的问题 虽然高考题不能面面俱到 但是我们在复习的时候 一定要不留死角 对常考题型的知识点和方法 能倒背如流 下面具体对必修五常考的型作一分解 解三角形 解三角形是高考的必考知识点 每年都有考题 一般考查分数为 5 12 分 考查的时候 可能 是选择题 填空题 或解答题 有时单独考查 有时会与三角函数 平面向量等知识点进行综合考 查 难度一般不是很大 如果出解答题 一般是第 17 题 属于拿分题 知识点 正弦定理 余弦定理和三角形的面积的公式 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R为ABC 的外接圆半径 余弦定理 Cabcbacos2 222 Bacbcacos2 222 Abcacbcos2 222 变形后 C ab cba cos 2 222 B ac bca cos 2 222 A cb abc cos 2 222 三角形的面积的公式 AbcBacCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 知识点分解 1 两边一角 求另外两角一边 可以用正弦定理 也可以用余弦定理 特别注意两种三角形的情况 2 两角一边 求另外一角和两边 肯定是正弦定理 3 等式两边都有边或通过转化等式两边都有边 用正弦定理 4 知道三边的关系用余弦定理 学 海 无 涯 5 求三角形的面积 或和向量结合用向量的余弦公式 6 正余弦定理与其他知识的综合 必须具备的知识点 三角函数的定义 同角三角函数 诱导公式和三角恒等变换 可能综合的知识点 三角函数以及正余弦定理的模块内部综合 和与数列的综合 与平面向量的综 合 以及与基本不等式的综合 解三角形常考的题型有 考点一 正弦定理的应用 例 在ABC 中 60 10 15 Aba 则 Bcos 答案 6 3 知识点 正弦定理和三角同角关系 思路 方法不唯一 利用正弦定理先求出Bsin 然后利用同角三角函数的关系可求出Bcos 考点二 余弦定理的应用 例 在 ABC 中 已知32 a 26 c 60 B 求b的值 答案 22 b 知识点 余弦定理 思路 直接利用余弦定理Bacbcacos2 222 即可求出b的值 考点三 正 余弦定理的混合应用 例 设ABC 的内角 A B C所对边的长分别为 a b c 若2bca 则3sin5sin AB 则角C 答案 3 2 知识点 正余弦定理 思路 方法不唯一 先通过正弦定理求出三边的关系 然后再用余弦定理求角C 考点四 三角形的面积问题 例 在ABC 中 角CBA 所对应的边分别为cba 若BCA2 且 3 1 ba求 ABC S 的值 学 海 无 涯 答案 2 3 知识点 三角形的面积 思路 先求出B 然后由三角形面积公式即可 考点五 最值问题 例 在ABC 中 60 3BAC 则2ABBC 的最大值为 答案 72 知识点 正弦定理和三角恒等变换 思路 方法不唯一 先利用正弦定理 然后利用恒等变换 转化为正弦函数 求正弦函数的值域问题 考点六 三角形形状的判断 例 已知ABC 中 BbAacoscos 判断三角形的形状 答案 等腰三角形或直角三角形 知识点 正弦定理和二倍角公式 思路 先由正弦定理化解 然后利用二倍角公式讨论即可 考点七 三角形个数的判断 例 在ABC 中 角CBA 所对应的边分别为cba 若 30 A 且 3 1 ba求c的值 答案 1 或 2 知识点 正余弦定理 思路 分类讨论 60 B或 120 B两种情况 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例 在ABC 中 角CBA 所对应的边分别为cba 若2 4 ba 求ABC 的面积的最大值 答案 12 知识点 三角形面积公式 余弦定理和基本不等式 思路 先利用三角形面积公式 然后用余弦定理 最后基本不等式求最值 学 海 无 涯 例 设ABC 的内角ABC 所对的边长分别为abc 且 3 coscos 5 aBbAc 求tan AB 的最大 值 答案 3 4 知识点 正弦定理 正切差公式和基本不等式 思路 先通过正弦定理 得到BAtan4tan 然后正切差公式 最后应用基本不等式 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例 在ABC 中 6 AC AB ABC 的面积3 3 求A 答案 3 知识点 三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路 先利用三角形面积公式 然后平面向量中的余弦公式即可 例 在ABC 中 边c所对的角为C 向量 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos CC n CC m 且向量m与n的夹角是 3 求角C的大小 答案 3 C 知识点 向量中的坐标运算和余弦公式 思路 先利用向量的坐标运算和余弦公式转化 然后求解 考点十 数列在解三角形上的应用 例 设ABC 的内角ABC 所对的边长分别为abc 若abc 依次成等比数列 角B的取值范围 答案 3 0 知识点 余弦定理 等比数列和基本不等式 思路 先用等比数列 然后余弦定理 最后用基本不等式求最值 考点十一 解三角形的实际应用 例 如图 DCBA 都在同一个与水平面垂直的平面内 DB 为两岛上 的两座灯塔的塔顶 测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 75 学 海 无 涯 30 于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60 kmAC1 0 试探究图中DB 间距离与另外哪两点 间距离相等 然后求DB 的距离 计算结果精确到km01 0 414 12 449 26 答案 0 33km 知识点 正弦定理和三角形的相关知识 思路 先通过三角形的相关知识进行转化 然后利用正弦定理就可以求出长度 考点十二 解三角形的综合题型 例 已知 a b c分别为ABC 三个内角 A B C的对边 cos3 sin0aCaCbc 1 求A 2 若2a ABC 的面积为3 求 b c 答案 1 60 A 2 2bc 知识点 正余弦定理 三角形面积公式 三角恒等变换和诱导公式 思路 1 先通过正弦定理和诱导公式转化 转化完之后 利用三角恒等变换求出A 2 利用角A 再通过余弦定理 就可以求出 b c的值 数列 数列是高考的必考知识点 每年都有考题 一般考查分数为 10 17 分 考查的时候 可能是 选择题 填空题 或解答题 有时单独考查 有时会与不等式 函数等知识点进行综合考查 以前 考题比较难一些 现在多数比较简单 但是常用的方法还是比较经典的 知识点 数列的递推公式 数列的求通项公式 数列的求和 等差数列和等比数列 知识点分解 1 递推公式 建立前n项和 n S和 n a的关系 2 等差数列的通项公式 公式 性质 等差中项以及前n项和 n S等问题 3 等比数列的通项公式 公式 性质 等比中项以及前n项和 n S等问题 4 数列求通项公式的几种方法 5 数列求和的几种方法 学 海 无 涯 6 数列的综合问题 必须具备的知识点 函数 导数 不等式 平面向量 三角函数等相关知识 可能综合的知识点 数列的内部综合 与三角函数的综合 与导数的综合 以及与不等式的综合 数列的常见题型 考点一 n S和 n a的关系 1 2 1 1 na nSS a nn n 例 数列 n a的前n项和为 n S 已知 2 nSn 求 8 a的值 以及数列 n a的表达式 答案 15 8 a 12 nan 知识点 递推公式 思路 已知项数n 求具体值 未知项数n 求表达式 考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项公式 dnaan 1 1 等差数列的通项公式 知三求一 如果已知da 1 那么求的是数列 n a的通项公式 dmnaa mn 等差数列通项公式的变形公式 例 已知等差数列 n a中 3 1 31 aa 求数列的公差d以及数列 n a的通项公式 答案 2 d nan23 知识点 等差的公差和通项公式 思路 利用数列的通项公式先求出公差d 然后求数列 n a的通项公式 2 等差数列的性质 qpmn 都是正整数 qpmn aaaa qpn 2 都是正整数 qpn aaa 2 n a是 p a和 q a 的等差中项 例 已知等差数列 n a中 7 1 95 aa 求 131 aa 以及 7 a的值 答案 6 131 aa 3 7 a 知识点 等差数列的性质 学 海 无 涯 思路 等差数列的性质和等差中项可得到 3 等差数列的求和 2 1 2 11 dnn naaa n S nn 知三求一 如果已知da 1 那么求的是 n S的表达式 2 1 nn naS n为奇数 或 mm amS 12 12 例 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 36 324SS 则 9 S的值 答案 63 知识点 等差数列的求和 思路 方法不唯一 通过等差数列前n项和为 n S 先求出 1 a和d 然后再利用等差数列前n项和 求 9 S 4 等差数列求和中的最值问题 n d an ddnn naSn 2 22 1 1 2 1 类似于二次函数 当0 d时 n S有最小值 当0 d时 n S有最大值 例 设等差数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知2 9 3 da 求 n S中的最大值 答案 49 知识点 等差数列的和或二次函数的知识 思路 先利用等差数列的前n项和 n S表达式 然后利用二次函数的知识求最大值 例 设等差数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知2 9 3 da 求 n S中的最小值 答案 36 知识点 等差数列的和或二次函数的知识 思路 先利用等差数列的前n项和 n S表达式 然后利用二次函数的知识求最小值 5 等差数列的证明 daa nn 1 等差数列的定义表达式 例 设数列 n a的前 n 项和为 n S 109 10 11 nn Saa 求证 lg n a是等差数列 答案 首项为 1 公差也为 1 的等差数列 知识点 对数函数的知识和等差数列 思路 先求出1lg 1 a 然后利用等差数列的定义表达式daa nn 1 证明等差数列 学 海 无 涯 6 已知等差数列 n a 中 0 16 6473 aaaa求数列 n a 前 n 项和 n S 答案 nnSn9 2 或nnSn9 2 知识点 解方程和等差数列的和 思路 先利用等差数列的知识求出首项和公差 然后再求前 n 项和 n S 考点三 等比数列 1 等比数列的公比和通项公式 0 1 1 aa n n 等比数列的通项公式 知三求一 如果已知qa 1 那么求的是数列 n a的通项公式 mn mn n q a a 等比数列通项公式的变形公式 例 已知等比数列 n a中 8 2 31 aa 求等比数列的公比q和数列 n a的通项公式 答案 2 q n n a 2 知识点 等比数列的公比和通项公式 思路 利用等比数列的通项公式即可求出 2等比数列的性质 qpmn 都是正整数 qpmn aaaa qpn 2 都是正整数 qpn aaa 2 n a是 p a和 q a的等 比中项 例 设等比数列 n a 已知18 93 aa 求 6 a值 答案 23 知识点 等比中项 思路 利用等比中项即可 例 设等比数列 n a 已知12 3 73 aa 求 654 aaa 值 答案 216 知识点 等比数列的性质 思路 利用等比的性质即可 3等比数列求和 学 海 无 涯 1 1 11 1 11 qna q q qaa q qaa S n n n 用错位相减法推导 例 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前。