量子力学习题答案Word版.doc

量子力学习题答案1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长解：由德布罗意波粒二象性的关系知： ； 由于所考虑的电子是非相对论的电子（），故： 1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长解：对于氦原子而言，当时，其能量为 于是有 一维谐振子处于状态中，其中为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值解：1.由归一化条件可知： 取相因子为零，则归一化系数2. 整理为word格式若，则该态为谐振子的基态，解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的 一维谐振子的哈密顿量为： 它的基态能量选择为参量，则: ； 由F-H定理知： 可得： 整理为word格式2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解： 在球坐标中 同向表示向外传播的球面波 可见，反向表示向内(即向原点) 传播的球面波2.3 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数解：无关，是定态问题其定态S—方程整理为word格式 在各区域的具体形式为 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去 方程(2)可变为 令，得 其解为 ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ⑤ 　 　 ⑥　　　　 ⑤　 ⑥ 整理为word格式 ∴ 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。

对应于的归一化的定态波函数为 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置 解： 令，得 整理为word格式 由的表达式可知，时，显然不是最大几率的位置 可见是所求几率最大的位置3.2.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数 解：(1) 整理为word格式 (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 ∴ 是最可几半径。

(4) 整理为word格式 (5) 动量几率分布函数 3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：整理为word格式解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 取其解为 (可正可负可为零)由波函数的单值性，应有 即 ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

定态波函数为 A为归一化常数，由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为 整理为word格式 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为 (式中设为的本征函数，为其本征值) 令 ，则有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数 ∴ 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是重简并的3.6 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能解： 整理为word格式 可见，动量的可能值为动能的可能值为 对应的几率应为 上述A为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ ∴ 动量的平均值为 3.7 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由整理为word格式 ∴ 动量几率分布函数为 (2) 或： 被积函数是个奇函数 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值整理为word格式解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为 粒子的几率分布函数为 先把归一化，由归一化条件， ∴ ∴ ∴ 整理为word格式 3.9.设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 角动量平方也有确定值 角动量Z分量的可能值为 ； 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解： 整理为word格式 4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元 解： 。