高考数学重点难点全集汇总.pdf

高中数学难点1集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和 理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观 点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.难点磁场()已知集合 A=(x,)|x2+wx+2=0),B=(x,y)xy+1 =O,J1 0 WxW2,如果 A P l 8#0,求实数m的取值范围.案例探究 例 1设 A=(x,y)y1x 1 =0,5=(x,)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)y=kx+b,Mk、b G N,使得(/U 8)C l C=0,证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点，进而解决问题.属级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(/U 8)nc=0转化为N nc=0且8C C=0 ,这 样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内 涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合Z与集合8中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行 限制，可得到6、后的范围，又因6、左CN,进而可得值.解：.(4U 8)n c=0 ,./nc=0 且 B C C=0,y=x+1 .*f+(2版一 1)x+/,2-1 =0y=kx+bv nc=04|=(2必一1)2-4后(川一1)0.4必一4版+l0,即户1,.4x2+2 x-2 y +5=0y=kx+b：.4X2+(2-2)x+(5+2b)=0：B Q C=0,：.42=(1 一%/4(523)0，*一2什8 1 9 0,从而 8X20,即 b2.5 由及66N,得h=2代入山/,0和420组成的不等式组，得4%2_弘+10,V化 22 3 0./=1,故 存 在 自 然 数,6=2,使得(/us)nc=0.例2向50名学生调查对/、8两事件的态度，有如下结果：赞成力的人数是全体 的五分之三，其余的不赞成，赞成8的比赞成1的多3人，其余的不赞成；另外，对/、B 都不赞成的学生数比对4 8都赞成的学生数的三分之一多1人.问对/、8都赞成的学生和 都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考 生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成Z 的人数为5 0 x|=3 0,赞成8 的人数为30+3=33,如上图，记 50名学生组 成的集合为U,赞成事件工的学生全体为集合/；赞成事件8 的学生全体为集合8.设对事件4 B都赞成的学生人数为x,则对4 B都不赞成的学生人数为三+1,赞成/而 3不赞成B的人数为30 x,赞成B而不赞成A的人数为33x.Y依题意(30力+(33 x)+x+(+1)=50,解得 x=21.所以对/、8 都赞成的同学有2 1 人，都不赞成的有8 人.锦 囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用 描述法给出的集合x|xe尸，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P；要重 视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集。

的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如/U 8,则有4=0 或 4 7 0 两种可能，此时应分类讨论.歼灭难点训练、选择题lY-rr K 7V 7T.M=N B.MN C.TWSV D.MCN=02.()已知集合4=百一2忘 上 47,8=川 m+1 1 2加一1且B W 0 ,若 A UB=A,则()A.-3 4 根 W4 B.-3w4C.2m4 D.2y2=l,5=(x)|-=1,0乃 0,当 4 GB 只有一个元a b素时，力的关系式是.三、解答题5.()集合力=4*ox+J 19=0,B=x|log2(x25x+8)=1,C=x|x2+2x8=0,求当取什么实数时，A Q B君0 和 z n c=0 同时成立.6.(*)已知 知是等差数列，d 为公差且不为0,用和d 均为实数，它的前项C 1和记作S，设集合4=(即,j)W N*f=(xu)d 一丁=1,可仁用n 4试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合力中的元素作为点的坐标，则这些点都在同条直线匕(2)/n 8至多有一个元素；(3)当 W0 时，一定有NC 8W0.7 .*初 已知集合/=z|z2|W 2,zG C,集合 5=w W=；zi+b,b G R,当 ACB=B 时,求h的值.8 .(*)设/*)=2+必什4/=|%=2,8=*|/(X)=x .求证：Ac.B;(2)如果4=一1,3,求民参考答案难点磁场解：由卜2+2 7 +2=0 得 x 2+(,I.+l=0 X-y +l=0(0 X 2)v j n5 0，方程在区间 0,2上至少有一个实数解.首先，由/=(加一i f 4N0,得或mW 1,当fl寸，由为+必=(L 1)0 知，方程只有负根，不符合要求.当，W 1时，由X+X2=(?-1)0 及 XX2=l0 知，方程只有正根，且必有一根在区 间(0,1内，从而方程至少有一个根在区间 0,2内.故所求m的取值范围是?W 1.歼灭难点训练一、1.解析：对用将人分成两类：仁2 或 A=2+l(ez),M=xpc=,GZ U x|x=434 7 C 刀+,Z,对 N 将攵分成四类，k=4 n 或 k=4 n+1,仁4+2次=4+3(Z),N=x|x=乃+万WZ U xx=n 冗+?/WZ U x|x=+不,Z U xx=万,Z.4 4答案：C2.解析：.ZU5=4,:.B jR,又 B#0 ,m+-2/.2m-1 7 即 2?4.加 +1 0,=0,这时集合A 中的 n元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于卬=1WO.如果/C 8 W 0,那么据(2)的结论，A Q B中至多有一个元素(xo/0)，而 沏=士 仁=-2 0 皿=%二 =3 0,这样 2a 5 2 4的。

0/0)e a产生矛盾，故1=10=1时/G 8=0，所以之0 时，一定有4 c 8 W 0 是不正 确的.7.解：由 w=z i+b 得 z=2 ,2 i：z J,，|z一2|W2,代入得 I 生 3一2|2,化简得 W3+i)|W l.i.集合4、8 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合/表示以点(2,0)为圆心,半径为2 的圆面，集合8 表示以点(6,1)为圆心，半径为1的圆血.又 A C B=B，即 8 a4,.两圆内含.因此 J(6-2尸+(1-0)2 W2 1,即(62)2W0,：.b=2.8.(1)证明：设也是集合力中的任一元素，即有刈6 4:A=x x=J x),；.x0=f(x0).即有/Uo)=/(xo)=Xo,二 xo e B,故 N u B.(2)证明：*.,/=1,3=x x2+px+q=x ,，方程f+(p l g=0 有两根一1和 3,应用韦达定理，得f-l+3=(p-l),p=-(-1)x 3=q=3J(x)=x2x，i.于是集合B 的元素是方程/U(x)=元,也即(f x3/一(f 3)3=、(*)的根.将方程(*)变形，得(f x3)2f=0解得x=l,3,百，一V3.故 6=百，1,网,3.高中数学难点2充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件?和结论 g之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定 给定的两个命题的充要关系.难点磁场()已知关于x的实系数二次方程x 2+a x+b=0 有两个实数根。

B,证明：|a|2 且|0 2 是 2 1 a l 4+6 且以 2 -1 W2 n 1 -W 3 n 2 W x W 1 03 3 34 犹 2-2%+1 ，W0=x(1?)x-(1+m)W O *：p是q的充分不必要条件，不等式|1 一工 因 2 的解集是f-2x+l/W 0(m 0)解集的子集.又m 0.不等式*的解集为1 -m W x W l+m1 -w 1 =1 +m 1 0 m 9.z wN 9,二实数用的取值范围是 9,+8).例 2已知数列”“的前项&=/+4 仍*0 0*1),求数列 斯 是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前项和与通项之 间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视 充分性的证明.技巧与方法：由 斯(二 关系式去寻找斯与斯+i的比值，但同时要注意充IS“-S“T(N2)分性的证明.解：a=S=p+q.当“22 时，an=SnSn-=pn(p-I)pn(p-l)p ip-】)若 四 为等比数列，则”=也=0.p(p-l)-P,p+q.,p W O,:.p=p+q,Aq=1 这是为等比数列的必要条件.下面证明q=是 斯 为等比数列的充分条件.当 q=-1 时:/.Sn=pn-1 (p#O,p 7 1),a=S=p 1当 N 2 时，ar i=SnS-Y=ppn=p (1)：.an=(p1)p (p W O eW l)(P-1)/尸 (p-l)p 2=p 为常数：.q=时，数列%为等比数列.即数列是等比数列的充要条件为q=.锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若 p则 q”形式的命题为真时，就记 作p n q,称p是 q 的充分条件，同时称q 是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件 就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对 于 符 号 要 熟 悉 它 的 各 种 同 义 词 语：“等价于”,“当且仅当”，“必须并且只需”，”，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念 的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若4 三B,则 4是 8的充分条件，8是 N的必要条件；若工=8,则 4、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆 命题成立(即条件的必要性).歼灭难点训练一、选择题1 .()函数J(x)=x x+a+b是 奇 函 数 的 充 要 条 件 是()A.ab=O B.a+b=O C.a=b D.a2+b2=02 .(*)ua=,f是函数尸c o s?亦一s in 2 a x 的最小正周期为乃 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3 .(*)2且 61是两根。

均大于1 的什么条件？6.(*)己知数列 斯、儿 满足：为=%+2%+,求证:数列 劭 成等差 1 +2+3+-+数列的充要条件是数列 为 也是等差数列.7.()知抛物线C：尸 一f+w 1和点1(3,0),5(0,3),求抛物线C 与线 段月8 有两个不同交点的充要条件.8.(*/?：2?0,0“1;夕:关于苫的方程+加什”=0 有 2 个小于1 的正根，试 分析p 是 q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证 明:(1)充 分 性:由 韦 达 定 理,得 阳八|V2X2=4.设 於 曰2+办+6,则府)的图象是开口向上的抛物线.又|2,|0.4+260即有4 =4+62a(4+b)4-2a-b 0又向 V 4 n 4+b0=2|a|V4+b(2)必要性：由21al0且/(x)的图象是开口向上的抛物线.方程，/)=0的两根同在(一2,2)内或无实根.,.，是方程/(。