高中必修第一册统编人教A版《3.1 函数的概念及其表示》优秀教学导学案.docx

新教材】3.1.2 函数的表示法（人教 A 版）1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．一、预习导入阅读课本 67-68 页，填写1．函数的表示法列表法 图像法 解析法定义用表格的形式把两个变量间的 用图像把两个变量间的函 一个函数的对应关系可以用自变函数关系表示出来的方法     数关系表示出来的方法   量的解析式表示出来的方法不必通过计算就能知道两个变 可以直观地表示函数的 能叫便利地通过计算等手段研究优量之间的对应关系，比较 直观 局部变化规律，进而可以预 函数性质点测它的整体趋势缺 只能表示有限个元素的函数关 有些函数的图像难以精确 一些实际问题难以找到它的解析点 系 作出 式2.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的 的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．ìï1，－2≤x≤0，(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如 y＝íïîx，0＜x≤3，长的．其“段”是不等11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示． ( )(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示． ( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( )(4)分段函数由几个函数构成． ( )ìïx＋1，x≤1，(5)函数 f(x)＝íîï－x＋3，x>1是分段函数． (   )2.函数 y＝f(x)的图象如图，则 f(x)的定义域是( )A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)3．已知反比例函数 f (x)满足 f(3)＝－6，f (x)的解析式为________．题型一 函数的定义例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x (x∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要 y 元．试用三种表示法表示函数 y=f(x) ．跟踪训练一1．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出．2则 f ( g(1))的值为________；当 g ( f (x))＝2 时，x＝________.题型二 分段函数求值例2 已知函数 f (x)＝ìï|x－1|－2，|x|≤1，í 1ïî1＋x2，|x|＞1.(1)求 f𝑓 𝑥)) 的值；(2)若 f(x)＝1 ，求 x 的值3跟踪训练二ìïx2＋2，x≤2，1. 函数 f(x)＝í4ïî5x，x＞2.若 f(x0)＝8，则 x0＝________.题型三 求函数解析式例 3 (1)已知 f(x+1)=𝑥2-3x+2,求 f(x);(2)已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)的解析式;(3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)+2f(-x)=3x-2,求 f(x).跟踪训练三1.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=2x-1,求 f(x)的解析式;2.已知 f(√x+1)=x+2√x,求 f(x)的解析式;3.设函数 f(x)满足 f(x)+2f 1) =x(x≠0),求 f(x).x题型四 函数的图像及应用例 4 1. 函数 f(x)＝|x－1|的图象是( )32.给定函数f(x) = x + 1, g(x) = (x + 1)2,x ∈ R(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x), g(x)的图像；（2）∀x ∈ R, 用 M(x)表示 f(x), g(x)中的较大者，记为M(x) = max{f(x), g(x)}.请分别用图像法和解析法表示函数M(x).跟踪训练四1．已知函数 f(x)的图象如右图所示，则 f(x)的解析式是________．ìïb，a≥b，2．若定义运算 a⊙b＝íîïa，a＜b.则函数 f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．题型五 函数的实际应用例 5 下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：王 伟张 城赵 磊班平均分第一次98906888．2第二次87766578．3第三次91887385．4第四次92757280．3第五次88867575．7第六次95808282．61.若 f(x)={                 则 f(5)的值为(    )请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．x-3,x ≥ 10,f(f(x + 6)),x < 10,A.8B.9           C.10          D.112.已知 f( 1-x ) =x,则 f(x)=( )1+x4x-1                  B. 1-x1x                C.1x1-x              D. 2xA.x1x13.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 3f(x)-2f(-x)=5x+1,则 f(x)=( )A.x+1C.2x+1B.x-1D.3x+32x,0 ≤ x ≤ 1,4.函数 f(x)= 2,1 < 𝑥 < 2, 的值域是( )3,x ≥ 2A.RC.[0,3]B.[0,+∞)D.[0,2]∪{3}5.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(-5)= ,f(f(2))= .3．y＝－6.已知 f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求 f(x)的解析式.7.某商场新进了 10 台彩电,每台单价 3 000 元,试求售出台数 x 与销售额 y 之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.答案小试牛刀1．（1）× （2） √ （3） × （4）× （5 ）√2．C18x自主探究例 1【答案】见解析【解析】这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.用解析法可将函数 y=f（x）表示为 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}用列表法可将函数 y=f(x)表示为5用图像法可将函数 y=f(x)表示为13æ  1 ö   ï1   ï 3è  2 ø   ï2   ï【解析】(1)因为 f ç   ÷＝ï  －1ï－2＝－  ，跟踪训练一【答案】1 1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知 g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于 g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.4例2 【答案】(1) (2) ± 22æ   æ  1 ö ö    æ 3 öè   è  2 ø ø    è 2 øæ 3 ö1＋ç  －   ÷ 213所以 f ç f ç ÷ ÷＝f ç－ ÷＝1è   2 ø4＝ .(2)f(x)＝  ，若|x|≤1，则|x－1|－2＝  ，得 x＝ 或 x＝－  .1＋x2331 1 10 43 3 3 3因为|x|≤1，所以 x 的值不存在；1 1若|x|>1，则 ＝ ，得 x＝± 2，符合|x|＞1.1所以若 f(x)＝ ，x 的值为± 2.跟踪训练二【答案】－ 6或 100 0【解析】解析：当 x0≤2 时，f(x0)＝x2＋2＝8，即 x2＝6，∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)；6a = 1,      ∴{ ∴所求二次函数为 f(x)=x -x+1.     a = √2, a = -√2,a2 = 2,      ab + b = -1, b = 1-√2 b = 1 + √2.4当 x0>2 时，f(x0)＝5x0，∴x0＝10.综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10.例 3 【答案】见解析【解析】(1)(方法一)令 x+1=t,则 x=t-1.将 x=t-1 代入 f(x+1)=𝑥 2-3x+2,得 f(t)= (𝑡 − 1)2-3(t-1)+2=𝑡 2-5t+6,∴f(x)=𝑥 2-5x+6.(方法二)∵f(x+1)=𝑥 2 -3x+2=𝑥2+2x+1-5x-5+6=(𝑥 + 1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=𝑥 2-5x+6.(2)设所求的二次函数为 f(x)=a𝑥2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则 f(x)=a𝑥2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x 对任意的 x∈R 都成立,∴a(𝑥 + 1)2+b(x+1)+1-(a𝑥2+bx+1)=2x,2a = 2,即 2ax+a+b=2x,由恒等式的性质,得{a + b = 0,2。