山西省长治市柏峪中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析.docx

山西省长治市柏峪中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（  ）A．   B．  C．   D． 参考答案：C略2. 已知a,b,c,d成等比数列，且抛物线的顶点是(b,c),则a·d=( )A. 1            B. 2            C.          D. 参考答案：C略3. 是周期为2的奇函数,当时，  则A.     B.         C.     D. 参考答案：A4. 已知函数的图象如图所示，则等于（    ）A．    B．     C．     D．参考答案：C5. 等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(　　)A．90         B．100    C．145         D．190参考答案：B6. “”是“”的（   ）  A．充分非必要条件                          B．必要非充分条件  C．充要条件                                D．既不充分也不必要条件参考答案：B略7. 定义：，如，则（   ）A．0         B．       C． 3         D．4参考答案：D8. 如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G1是OG上一点，且OG=3OG1，则(  ) A．B．C．D．参考答案：C略9. 若变量满足约束条件,（　 　）A． B． C． D． 参考答案：C略10. 在△ABC中，若，则等于                                （     ）  A．                    B．  C．                  D．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn=(n∈N*)也为等差数列.类比上述性质，相应地：若数列{Cn}是等比数列，且Cn>0(n∈N*),则有dn=____________  (n∈N*)也是等比数列.参考答案：略12. 设，，，则的大小关系为_▲_.参考答案：13. 已知集合，集合，则   ▲   ．参考答案：略14. 已知函数的图象过原点，且在处的切线的倾斜角均为，现有以下三个命题：①；②的极值点有且只有一个；③的最大值与最小值之和为零其中真命题的序号是                  .参考答案：1），（3）略15. 直线的倾斜角，直线在x轴截距为，且//，则直线的方程是           .参考答案：x-y-=0略16. 在如图所示的流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为________． 参考答案：817. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为　    　．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a=0上，∴﹣3+2+a=0，∴a=1故答案为：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 给出四个等式：        1＝11－4＝－(1＋2)1－4＋9＝1＋2＋31－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)……　　　　　　　　　　　（1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N)个等式（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．参考答案：解：（1）1－4＋9－16+25＝1＋2＋3＋4＋5,1－4＋9－16+25－49＝－﹙1＋2＋3＋4＋5＋7﹚,1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋n﹚；（2）证明①当n=1时等式左边=1，右边=1，显然等式成立；②假设n=k时等式成立，即1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚，则1－4＋9－16+25－…＋ + ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚+= =﹙1＋2＋3＋4＋…＋k+k+1﹚,即n=k+1时等式成立 ；由①②知，对于任意的正整数n等成均成立.略19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）将（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，由B∈（0，180°），得到sinB≠0，所以cosA=，又A∈（0，180°），则A的度数为60°…6分（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16，…7分bc≤（）2，当且仅当b=c=4时等号成立，…8分∴16=（b+c）2﹣3bc≥=（b+c）2﹣3（）2=（b+c）2，∴b+c≤8，…10分∵b+c＞4，…11分∴△ABC的周长取值范围为：（8，12]…12分20. 在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是，点P是曲线C1上的动点.点M满足 (O为极点).设点M的轨迹为曲线C2.以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是，(t为参数).（1）求曲线C2的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设直线l交两坐标轴于A，B两点，求面积的最大值.参考答案：(1)的直角坐标方程为，的普通方程是；(2).试题分析：（1）在极坐标系中，设点.由题意可得曲线的极方程为，化为直角坐标方程得，消去参数可得直线的普通方程是.（2）由直线的方程可得.设，底边上的高，，结合三角函数的性质可得，则面积的最大值为.试题解析：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，得，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，其中，所以，所以，所以面积的最大值为.21. 已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足 f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，f（1）=﹣2，解得a=1，c=﹣3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；（2）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值M和最小值m，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m，即可得证．【解答】解：（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0，∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=ax2+c．由题设f（1）=﹣2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，∴解得a=1，c=﹣3，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）从而f′（1）=f′（﹣1）=0．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；在x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数．∴f（﹣1）=2为极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x在[﹣1，1]上是减函数，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2．对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4．22. 已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．参考答案：【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圆的方程．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．。