人教版 高中数学【选修 21】课后训练：231双曲线及其标准方程.doc

2019学年人教版高中数学选修精品资料04课后课时精练一、选择题1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解析：方程可化为＋y2＝1，∵mn<0，∴<0.∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．答案：D2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)A. 　　　　　　　　　　 B. C. 4 D. 解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.答案：C3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)A. B．1C．20 D．4解析：NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线的定义，知|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.答案：D4．若椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1、F2，P是椭圆与双曲线的交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．a－m B.(a－m)C．a2－m2 D.－解析：由椭圆和双曲线的定义可得两式平方相减得4|PF1|·|PF2|＝4(a－m)，∴|PF1|·|PF2|＝a－m.答案：A5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)解析：方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从选项B，D中的两个椭圆看，a、b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致．应选C.答案：C6．[2014·江西高考]过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)A. －＝1 B. －＝1C. －＝1 D. －＝1解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.答案：A二、填空题7. [2014·北京高考]设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程为x2－y2＝1.答案：x2－y2＝18．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．解析：解法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，　①通过计算可知c＝2，所以a2＋b2＝(2)2.　②由①②得故所求双曲线的标准方程为－＝1.解法二：设双曲线方程为－＝1(－40)，∴＝－1＝.∴y＝，即|AF1|＝.又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，∴|AF2|＝24＋＝.故所求距离分别为：、.答案：、三、解答题10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：解法一：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线方程为－＝1.解法二：将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)、F2(0，－3)．所以2a＝－＝8－4＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线方程为－＝1.解法三：由题意设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，将A(，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为－＝1.11．已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．解：由椭圆的方程可化为＋＝1，得|F1F2|＝2c＝2＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.∴动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，2a＝4，a＝2的双曲线的右支，由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，故其方程－＝1(x≥2)．12．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．因为|PB|＝|PC|，所以点P段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．则双曲线方程为－＝1(x>0)．②联立①②式，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8,5)．因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.。