初高中数学衔接基础知识点专题.doc

初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组 董学峰* 专题一 数与式的运算【要点回忆】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即．[2]绝对值的几何意义：的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示的距离．[4]两个绝对值不等式:；．2．乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3] (立方差公式)说明:上述公式均称为"乘法公式〞．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性质如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，记为4．分式[1]分式的意义 形如的式子，假设B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有以下性质： 〔1〕； 〔2〕．[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的根本性质．[3]分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根号化去，叫做分母〔子〕有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解以下不等式：〔1〕 〔2〕＞4．例2 计算： 〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕例3 ，求的值．例4 ，求的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 例6 设，求的值．例7 化简：〔1〕 〔2〕〔1〕解法一：原式= 解法二：原式=〔2〕解：原式=说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进展，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进展约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【稳固练习】1． 解不等式 2． 设，求代数式的值．3． 当，求的值．4． 设，求的值．5． 计算6．化简或计算： (1) (2) (3) (4) * 专题二 因式分解【要点回忆】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的根本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6] (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进展因式分解．2．分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：〔1〕分组后能提取公因式 〔2〕分组后能直接运用公式3．十字相乘法〔1〕型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵，∴运用这个公式，可以把*些二次项系数为1的二次三项式分解因式．〔2〕一般二次三项式型的因式分解由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线穿插相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，则就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字穿插线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：〔1〕配方法 〔2〕拆、添项法【例题选讲】例1 〔公式法〕分解因式：(1) ；(2) 例2 〔分组分解法〕分解因式：〔1〕 〔2〕例3 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 解：〔1〕〔2〕 〔3〕分析：把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．解：(4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：例4 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) ；(2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，穿插相乘后，假设原常数为负数，用减法〞凑〞，看是否符合一次项系数，否则用加法〞凑〞，先〞凑〞绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 〔拆项法〕分解因式【稳固练习】1．把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2．，求代数式的值．3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进展加法运算，并把结果因式分解.4．，求证：．* 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回忆】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0〔a≠0〕，有[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，则： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为〞韦达定理〞．上述定理成立的前提是．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程*2＋p*＋q＝0，假设*1，*2是其两根，由韦达定理可知 *1＋*2＝－p，*1·*2＝q，即 p＝－(*1＋*2)，q＝*1·*2，所以，方程*2＋p*＋q＝0可化为 *2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0，由于*1，*2是一元二次方程*2＋p*＋q＝0的两根，所以，*1，*2也是一元二次方程*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．因此有以两个数*1，*2为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是 *2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．【例题选讲】例1 关于的一元二次方程，根据以下条件，分别求出的范围： 〔1〕方程有两个不相等的实数根； 〔2〕方程有两个相等的实数根 〔3〕方程有实数根； 〔4〕方程无实数根．例2 实数、满足，试求、的值．例3 假设是方程的两个根，试求以下各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．例4 是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．解：(1) 假设存在实数，使成立．∵ 一元二次方程的两个实数根，∴ ，又是一元二次方程的两个实数根，∴ ∴ ，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵ ∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【稳固练习】1．假设是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．2．假设是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ，= _ ____ ．4．实数满足，则= ___ __ ，= _____ ，= _____ ．5．关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．假设是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1) 求实数的取值范围；(2) 假设，求的值．*专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回忆】1．平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴，叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点[2] 平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标轴轴原点点直线直线直线直线2．函数图象 [1]一次函数：称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k≠0)特别的，当=0时，称是的正比例函数[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=k*(k是常数，k≠0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随*的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随*的增大而．[3]一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=k*平行的一条直线.设(k≠0)，则当时，y随*的增大而；当时，y随*的增大而．[4]反比例函数的图象与性质：函数(k≠0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随*的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随*的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】例1、，根据以下条件，求出、点坐标．(1) 、关于*轴对称；(2) 、关于y轴对称；(3) 、关于原点对称．例2一次函数y＝k*＋2的图象过第一、二、三象限且与*、y轴分别交于、两点，O为原点，假设ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．〔1〕求反比例函数与一次函数的解析式；〔2〕根据图象答复：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．解：〔1〕在的图象上，， 又在的图象上，，即 ，解得：，， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， 〔2〕从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值稳固练习】1．函数与在同一坐标系内的图象可以是〔 〕 2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．　3．如图，直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．〔1〕求的值；〔2〕过原点的另一条直线交双曲线于两点〔点在第一象限〕，假设由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．*专题五 二次函数【要点回忆】1． 二次函数y＝a*2＋b*＋c的图像和性质问题[1] 函数y＝a*2与y＝*2的图象之间存在怎样的关系？问题[2] 函数y＝a(*＋h)2＋k与y＝a*2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝a*2＋b*＋c＝a(*2＋)＋c＝a(*2＋＋)＋c－， 所以，y＝。