新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1.doc

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题、基础知识点：1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2€b2=c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：ba1方法一4S€S=S4x_ab€（b一a）2=c2方法：，正方形EFGH正方形C2化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x1ab€c2=2ab€c2大正方形面2积为S=(a+2”=2a€abb所以a2+b=c方法111S=—(a+b)…(a+b)，S=2S+S=2…ab+—c2，化简得证梯形2梯形厶ADE厶ABE223.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AABC中，ZC=90。

则c=va2+b2，b=yc2一a2，a=2C2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方C2作比较，若它们相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若a2€b2

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例1.在AABC中，ZC=90⑴已知AC=6，BC=8.求AB的长⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2+b2=c2解：（1）AB*AC2+BC2€10（2）BC€*AB2-AC2€8题型二：利用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米，那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题把实物模型转化为数学模型后,已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理即所以所以例题如图（），水池中离岸边点米的处，直立长着一根芦苇，出水部分的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端恰好落到点，并求水池的深度解析：同例题一样，先将实物模型转化为数学模型，如图由题意可知△中Z°在△中，只知道，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图，根据勾股定理，设水深x米，那么xx5x）解之得x故水深为题型三：勾股定理和逆定理并用例题如图3正方形且FB€4AB那么△是直角三角形吗？为什么？中,是边上的中点，是上一点,解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。

仔细读题会意可以发现规1律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB=-AB可以设=那么4a那么在△△和△中，分别利用勾股定理求出和的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△是否是直角三角形详细解题步骤如下：解：设正方形的边长为a则aaf在△中，a+(a)=20a同理5a25a在厶中，5e20a25a・•・△是直角三角形，且Z°注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题题型四：利用勾股定理求线段长度——例题如图，已知长方形中在边将厶折叠使点恰好落在边上的点，求的长解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量合理设元是关键详细解题过程如下：解：根据题意得△仝△AZ°设x，则——x在△中由勾股定理得：，即，在△中由勾股定理可得：，即一Xx—XX/.X即注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——團：5,例题如图5王师傅想要检测桌子的表面边是否垂直与边和边，他测得边是否垂直？边与边垂直吗？怎样去验证边与解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量我们通常截取部分长度来验证如图4矩形表示桌面形状，在上截取在上截取想想为什么要设为这两个长度？，连结，测量的长度。

①如果则所以边与边垂直;②如果aM贝,a工即工a,所以Z不是直角利用勾股定理解决实际问题——例题有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至即米以内，灯就自动打开，一个身高1即米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯即米还是脚先距离灯即米，可想而知应该是头先距离灯即米转化为数学模型，如图灯，表示人的高度，〃丄当头（点）距离有米时，求的长度已知米所以米，由勾股定理，可计算=米4.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开题型六：旋转问题：例1、如图，AABC是直角三角形，BC是斜边,若，求'的长求3将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与AACp重合,2P试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由变式、如图，△为等腰直角三角形，Z变式：如图，是等边三角形内一点,分析：利用旋转变换，将厶绕点逆时针选择根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是,o是上的点，且Z=△的边长°，将三条线段集中到同一个三角形中,个直角三角形题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中线，ZADC=45°，把AADC沿直线AD翻折，点C落在的位置，BC=4，求BC'的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学,AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例5、如右图1—19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题1.如图（1）,在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需BC第4题图DOF第3题图2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm,问吸管要做图(1)cm。

3.已知：如图，AABC中，ZC=90°，点OABC的三条角平分线的交点，OD丄BC，OE丄AC，OF丄AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm4.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、,和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是二、选择题1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252. RtA—直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定3. 如果Rt△两直角边的比为5:12,则斜边上的高与斜边的比为（）A、60:13B、5：12C、12:13D、60:169.已知△中，Z若A、24cmB、36cm.等腰三角形底边上的高为8，。