微分方程第5章.4 极限环.ppt

§5.4 极限环和平面图貌,5.4.1 极限环,例 一阶非线性驻定方程组,取极坐标,方程组有两个特解,沿圆,沿圆,设 是系统,的一个极限环,如果存在着 的一个 邻域，,使从此邻域内出发的其它解均正向,趋近于 ，则称 为稳定的极限环如果其它解均负向 趋近于 ，,则称 为不稳定的极限环如果从 的 邻域出发的其它轨线在 的,一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于 ，,则称此 为半稳定的极限环定理5.4.1 Poincare-Bendixson环域定理,设区域 是由两条简单闭曲线 围成的,环形域并且满足下面条件:,(1) 及其边界 上不含奇点;,(2)从G的边界 上各点出发的轨线都不能,离开(或进入) ;,(3) 均不是闭曲线.,则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内,稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭,轨)，如果闭轨是惟一的,则它一定是一条稳定的,(不稳定的)极限环定理5.4.2 设系统,的右端函数 ， 在某个单连域 内,连续可微,并且,在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零，,则方程组,在 内不存在任何闭轨线。

定理5.4.3 对于方程组,若在某个单连域 内存在一个连续可微函数,使得,不变号且在 的任何子域中不恒为零，,则方程组不存在全部位于 内的闭轨线定理5.4.4 如果沿着系统,的极限环 有,则 是稳定(不稳定)的.其中 是 的周期定理5.4.5 给定微分方程,,其等价方程组为：,其中,(2) ;,(3) 在 内分别单调不减，,则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它,必定为稳定的例1 证明平面二次系统,(1),当 时无闭轨线证明 由系统的第一个方程得到,故轨线与直线 相交时只能从它的一侧向,另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线,的一侧,在这一侧取Dulac函数,容易算出,当 时它是常号且当仅且当 时为,零，当 不是系统的轨线所以由定理5.4.3知:,系统(1)当 时不存在闭轨例2 用定理5.4.4的结论判定非线性方程组,引入极坐标,后产生的极限环 及 的稳定性解 由 可以算出,对 有,故由定理5.4.4知 是不稳定的。

对 有,故由定理5.4.4知 是稳定的 5.4.2 平面图貌,垂直等倾线,水平等倾线,交点为奇点,两曲线划分区域内的,为,例 考虑两种群的Volterra模型：,（1）,竞争模型,（2）,捕食者-食饵模型,（3）,共存模型,垂直等倾线,水平等倾线,X种群趋于定量，y种群趋于灭绝,y种群趋于定量，x种群趋于灭绝,X，y 种群或以一定量共存，或有一灭绝,X种群和y种群以一定量共存,E,。