电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵.doc

第一章 矢量分析第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为；；试求①；②单位矢量；③；④；⑤及；⑥及解 ① ② ③ ④ ⑤ 因 则 ⑥ 1-2 已知平面内的位置矢量A与X轴的夹角为a，位置矢量B与X轴的夹角为b，试证证明 由于两矢量位于平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为已知，求得即 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为，及试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为； ； 那么，由顶点P1指向P2的边矢量为同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为 因两个边矢量，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形因 ，所以三角形的面积为1-4 已知矢量，两点P1及P2的坐标位置分别为及若取P1及P2之间的抛物线或直线为积分路径，试求线积分解 ①积分路线为抛物线已知抛物线方程为, ，则 ②积分路线为直线因,两点位于平面内，过,两点的直线方程为，即，，则1-5 设标量，矢量，试求标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数解 已知梯度那么，在点处F 的梯度为因此，标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数为1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。

证明 式（1-5-11）为，该式左边为即， 根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）1-7 已知标量函数，试求该标量函数F 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值已知标量函数F的梯度为那么 将点P(1,2,3) 的坐标代入，得那么，在P点的最大变化率为P点最大变化率方向的方向余弦为； ； 1-8 若标量函数为试求在点处的梯度解 已知梯度，将标量函数F代入得再将P点的坐标代入，求得标量函数F 在P点处的梯度为 1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）证明 式（1-6-11）为，该式左边为即 式（1-6-12）为，该式左边为；即 1-10 试求距离在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式解 在直角坐标系中在圆柱坐标系中，已知，，，因此在球坐标系中，已知,,,因此 1-11 已知两个位置矢量及的终点坐标分别为及，试证与之间的夹角g 为证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为已知两个矢量的标积为，这里g为两个矢量的夹角因此夹角g为式中因此，1-12试求分别满足方程式及的函数及。

解 在球坐标系中，为了满足即要求 ，求得即 在球坐标系中，为了满足由于，，即上式恒为零故可以是r的任意函数1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）证明 ①式（1-7-11）为 （为常数）令， ，则②式（1-7-12）为令，，则若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明1-14 试证 ，及证明 已知在球坐标系中，矢量A的旋度为对于矢量，因，，，代入上式，且因r与角度q，f无关，那么，由上式获知对于矢量，因，，，显然对于矢量，因，，，同理获知1-15 若C为常数，A及k为常矢量，试证： ① ； ② ； ③ 证明 ①证明利用公式，则而求得 利用公式，则再利用①的结果，则 ③证明利用公式，则再利用①的结果，则 1-16 试证 ，式中k为常数证明 已知在球坐标系中则即 1-17 试证 证明 利用公式令上式中的，则将上式整理后，即得1-18 已知矢量场F的散度，旋度，试求该矢量场解 根据亥姆霍兹定理，，其中；当时，则，即那么因，求得则1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为，，因此，该点在直角坐标下的位置为; ; z = 3同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，；；可得该点在球坐标下的位置为； ； 1-20 已知直角坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。

解 由于的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为；； 求得 ；； ；又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述结果代入，求得即该矢量在圆柱坐标下的表达式为直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为；；由此求得；；矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为求得即该矢量在球坐标下的表达式为 1-21 已知圆柱坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er和ef均为变矢，所以不是常矢量已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为将代入，得 矢量A的旋度为已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为; ; ; 又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述接结果代入，得即该矢量在直角坐标下的表达式为，其中矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，，求得即该矢量在球坐标下的表达式为1-22 已知圆球坐标系中矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。

解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，eq，ef均为变矢，所以不是常矢量在球坐标系中，矢量A的散度为将矢量A的各个分量代入，求得矢量A的旋度为利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，，求得该矢量在直角坐标下的表达式为利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系求得其在圆柱坐标下的表达式为1-23 若标量函数，，，试求，及解 1-24 若 试求，及解 ①；；；② ；（此处利用了习题26中的公式）③ ； ；将矢量的各个坐标分量代入上式，求得1-25 若矢量，试求，式中V为A所在的区域解 在球坐标系中，， 将矢量的坐标分量代入，求得 1-26 试求，式中S为球心位于原点，半径为5的球面解 利用高斯定理，，则第二章 静电场2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求的大小及位置解 要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即那么，由，同时考虑到，求得可见点电荷可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷相距。

习题图2-2zxE3E2E12-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：试求位于点的电场强度解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离，则，，利用点电荷的场强公式，其中为点电荷q指向场点的单位矢量那么，在P点的场强大小为，方向为在P点的场强大小为，方向为在P点的场强大小为，方向为则点的合成电场强度为2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度解 令点电荷位于坐标原点，为点电荷至场点P的距离再令点电荷位于+坐标轴上，为点电荷至场点P的距离两个点电荷相距为，场点P的坐标为（r,,f）根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑到r >> l，= er，，那么上式变为式中 以为变量，并将在零点作泰勒展开由于，略去高阶项后，得利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C，相距为2cm， 如习题图2-4所示试求：①P点的电位；②将电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功ÅÅ1cmP1cm1cm习题图2-4解 根据叠加原理，点的合成电位为因此，将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点，外力必须做的功为2-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。

习题图2-5r0Pzodllq1q2y解 建立圆柱坐标系 令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关为了简单起见，令场点位于yz平面设线电荷的长度为，密度为，线电荷的中点位于坐标原点，场点的坐标为利用电位叠加原理，求得场点的电位为式中故因，可知电场强度的z分量为电场强度的r分量为式中，那么，合成电强为当L®¥时，，则合成电场强度为可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度习题图2-6ayxoE解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示那么，点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即考虑到，代入上式求得合成电场强度为2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度习题图2-7xyzProa解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生的合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为2-8 设宽度为W，面密度为的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。

习题图2-8xyzoryxdx¢x¢(a)(b)P(x,y)解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示带状电荷可划分为很多条宽度为的无限长线电荷，其线密度为那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即式中 得 那么 2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为，位于z。