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从开普勒三定律到万有引力定律Ξ王九云(咸宁师范高等专科学校 物理系,湖北 咸宁 437005)摘 要:从开普勒三定律出发,运用牛顿三定律,采用两种方法推导万有引力定律:一种是近似理论的方法,另一种是普遍理论的方法 1关键词:万有引力常量;高斯常量0 引言牛顿的万有引力定律的发现,是人类认识自然规律方面取得的一个重大成果1 万有引力定律是经典力学的重要组成部分,而且为天体力学奠定坚实的理论基础 1万有引力定律的发现经历了漫长而又曲折的过程1 许多科学家如哥白尼、伽利略、笛卡尔、哈雷、虎克等对宇宙进行观测和研究 1 丹麦天文学家第谷连续二十多年对行星的位置进行了精确测量,积累大量的数据 1 开普勒继承第谷遗留下的宝贵资料,并通过观测研究,经过长期艰苦的计算,总结出行星绕太阳运动的三条基本定律,为牛顿建立万有引力定律创造了条件 1开普勒不仅发现了行星运动三定律,而且力图探求行星运动何以有这些规律,他将磁力引入太阳系的见解是探讨太阳、行星之间存在力的相互作用的一种最早尝试 1 大约50年后,牛顿在前人引力研究的基础上,运用开普勒三定律和他总结的运动三定律,经历了廿年时间才透彻地解决这一难题,在1687年出版的划时代巨著《自然哲学的数学原理》中他提出了完整的万有引力定律 11 推导定律的准备条件111 开普勒三定律内容如下:第一(轨道)定律:各行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上1第二(面积)定律:行星和太阳之间的连线,在相等时间扫过的面积相同1第三(周期)定律:行星绕太阳公转周期T的平方和椭圆轨道半长轴a的立方成正比,即T2 a3=恒量附:开普勒定律所描述的运动是相对日心 — — — 恒星参照系而言的 1112 牛顿三定律表述如下:其一,一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止 1第19卷第6期(总第65期) 咸宁师专学报 1999年12月Ξ 收稿日期: 1999—04—15其二,在力的作用下,物体的加速度与所受的合外力成正比,与物体的质量成反比,加速度的方向与合力的方向相同 1其三,两个物体间的作用力与反作用力大小相等,方向相反,作用在同一直线上 1因此,根据开普勒第一定律和牛顿第一定律得到结论:力是连续不断地作用在行星上1根据开普勒第二定律可以得到:连续不断作用在行星上的力其方向永远指向太阳 1 运用开普勒第三定律,还可进一步证明:太阳中心的引力与行星到太阳的距离平方成反比,再根据牛顿第三定律可得出万有引力定律 12 定律的推导211 近似理论的方法把行星的椭圆运动近似看成圆周运动,运用普通物理知识和初等数学工具,从开普勒三定律和牛顿三定律出发推导出万有引力定律1(1)开普勒第一定律表明:各行星按不同的椭圆轨道绕太阳运动,轨道的形状取决于椭圆的偏心率e1 太阳系九大行星的偏心率见下表:行星水 星金 星地 球火 星木 星土 星天王星海王星冥王星e012060100701017010930104801059010470100901249由表可知:行星的偏心率都很小,可近似认为两焦点重合e=o ,太阳位于圆心上,因此行星的运动看成是圆周运动 1根据开普勒第二定律:在dt时间内行星相对太阳的径矢所扫过的扇形BOC面积dA对dt的微商是常量,即dAdt=C 2( C是常量)dA dt=d dt(1 2( r·rθ) )=1 2r2ω=1 2rv=C 2v=C r(1)因而行星绕太阳运动是匀速圆周运动 1(2)设任意一行星绕太阳作圆周运动,太阳是轨道的圆心,行星质量为m ,线速度为v ,半径为r,公转周期为T,受到太阳的作用力F,其加速度为av=2πr T(2)根据牛顿第二定律:行星受的力即为圆周运动的向心力 1F=ma=mv2 r=m4π2r T2(3)根据开普勒第三定律:T2 a3=T2 r3=C1恒量(对任意绕太阳运动的行星都适用)将 T2=C1r3代入(3)式得 F=4π2C1·m r2令k=4π2C1得F=k·m r2(4)此式表明:太阳作用在行星上的力与行星到太阳的距离的平方成反比,和行星的质量成正25 咸宁师专学报 第19卷比.式中K与行星无关的常量,仅与太阳的性质有关,称为“太阳的高斯常量”1(3)又行星绕太阳运动时,受到太阳对其作用力F ,由力的相互作用可知,太阳必受到行星对它的反作用力F′1 由牛顿第三定律应有:F=F′或F= -F′由运动相对性可知,以行星不动,太阳绕行星转动,仿照前面的推导可得到F′=K′M r2( M为太阳的质量 K′为行星的高斯常量)故有 Km r2=K′M r2KM=K′m=常量对其它各行星均有:行星的高斯常量 该行星的质量=G (万有引力常量)K M=G K=GM 代入(4)式得F=GMm r2(5)212普遍理论的方法根据理论力学的知识,运用高等数学和解析几何知识,精确地由开普勒定律导出万有引力定律 1(1)开普勒第二定律另一种表述形式:r×v=恒矢量m ( r×v)=r×( mv)=恒矢量=J(角动量) ( m为行星质量)dJ dt= 0(6)表明:行星受到有心力的作用,太阳就是有心力的力心,故行星在有心力作用下运动,且太阳、行星在同一平面内,由开普勒第一定律可知,行星沿椭圆轨道运动 1又由单位时间内,径矢扫过的面积相等dA dt=常量 (A有径矢扫过的面积)P1,P2为行星沿着它的轨道运动时两相邻瞬间的位置,且对太阳的张角为 △ θ,自P1沿轨道运动到P2所需时间为 △t ,故有△A=S△OP1P2 当 △t→0时P2→P1,△A近似地等于OP1P2′的面积,S△OP1P2′=1 2r2· △ θdA dt= lim△t→0△A △t= lim△t→01 2r2△ θ△t=1 2r2?θ35第6期 王九云 从开普勒三定律到万有引力定律dA dt=1 2r2?θ=常量(7)(2)根据开普勒行星轨道定律,把太阳、行星都视为质点,运用解析几何知识r=p 1 +ecosθ (0