河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）.doc

1 -商丘市一高商丘市一高 20172017——20182018 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试卷高二数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意易得：,即∴，∴不等式的解集为故选：B2. 若数列是等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵数列是等比数列，∴，∴∴故选：C3. 已知点在直线的两侧，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵点在直线的两侧，∴，即∴∴实数的取值范围为故选：B- 2 -4. 已知甲：，乙：，则（ ）A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】∵“x=3 且 y=3 则 x+y=5”是假命题所以其逆否命题“x+y≠5 则 x≠3 或 y≠3”为假命题即命题甲成立不能推出命题乙成立又“x+y=5 则 x=3 且 y=3”假命题，所以其逆否命题“x≠3 或 y≠3 则 x+y≠5“是假命题即乙成立推不出甲成立故甲是乙的既不充分也不必要条件故选：D5. 若使得成立是真命题，则实数 取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若“，使得 2x2﹣λx+2＜0 成立”是真命题，即“，使得 λ＞2x+ 成立”是真命题，4由，当 x=1 时，函数取最小值 4，故实数 λ 的取值范围为，故选：D6. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当双曲线的焦点在 x 轴上，由双曲线的方程（a，b＞0） ，可得渐近线方程为 y=± x，即有 b=2a，c=a，- 3 -则 e= =；当双曲线的焦点在 y 轴上，由双曲线的方（a，b＞0） ，可得渐近线方程为 y=± x，即有 b= a，c=a，则 e= =．故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7. 给出下列命题：①；②；③；④.正确命题的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】①当时，，∴命题错误；②令，则∴在上单调递增，∴，∴命题正确；③，∴命题错误；④当时，显然,∴命题错误》故选：A8. 若，则的取值范围为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵∴，∴的取值范围为故选：B9. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数） ，则下列不等式成立的是________． ①；② ；③；④A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】D【解析】构造函数 g（x）=，则 g′（x）=（） ，∵对任意的满足，∴g′（x）＞0，即函数 g（x）在单调递增，则 g（0）＜g（ ） ，即＜，∴f（0）＜，故①错误，g（0）＜g（ ） ，即＜，∴f（0）＜，故②错误，g（ ）＞g（ ） ，即＞，∴＞，故③错误，- 5 -g（）＜g（） ，即 ＜，∴，故④正确，故选：D．点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等10. 已知抛物线的焦点 ，的顶点都在抛物线上，且满足，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）抛物线焦点坐标 F（ ，0） ，准线方程：x=﹣ ，∵，∴点 F（ ，0）是△ABC 重心，∴x1+x2+x3=，y1+y2+y3=0，而=x1﹣（﹣ ）=x1+ ，=x2﹣（﹣ ）=x2+ ，=x3﹣（﹣ ）=x3+ ，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+ +x2+ +x3+=．故选：B B．点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 的坐标．- 6 -2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11. 已知数列， （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵，∴时，，∴，∴奇数项成等比，偶数项成等比∴ 为奇数时，,为偶数时，∴故选：B12. 设直线分别是函数图像上点、处的切线，垂直相交于点 ，则点横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） （0＜x1＜1＜x2） ，当 0＜x＜1 时，f′（x）=，当 x＞1 时，f′（x）= ，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与 l2垂直，且 x2＞x1＞0，- 7 -∴，即 x1x2=1．直线 l1：，l2：．取 x=0 分别得到 A（0，1﹣lnx1） ，B（0，﹣1+lnx2） ，|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x=，∴x=．∵函数 y=x+ 在（0，1）上为减函数，且 0＜x1＜1，∴，则，∴．∴点 横坐标的取值范围为（0，1） ．故选：A．点睛：】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13. 若变量满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】4- 8 -【解析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z，由图可知，当直线 y=﹣2x+z 过 A（2，0）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 4．故答案为：４点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 函数 在处的切线方程为________________．【答案】【解析】由题意得：解得：∴函数 在处的切线方程为即故答案为：15. 若数列是等比数列，则______.【答案】【解析】∵数列是等比数列，- 9 -∴∴是方程的两根∴，若，则得：，若，则得：，故答案为：【答案】0【解析】设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，∵ ，∴，,①∵，∴，∴，②∵，∴O、P、Q 三点共线，∴，∴由①②得 k1+k2+k3+k4=0，故答案为：0三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在直角坐标系中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程- 10 -为，直线 的参数方程为 ，直线 与圆 交于两点.（1）求圆心 的极坐标；（2）直线 与 轴的交点为 ,求.【答案】 （1）；（2）4【解析】试题分析：（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；（2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．试题解析：（1）由得，所以故圆的普通方程为.所以圆心坐标为，圆心的极坐标为（2）把代入得所以点对应的参数分别为直线 与 轴的交点为 ，即点 P 对应的坐标为.所以18. 设数列的前 项和满足且成等差数列。

1）求的通项公式 （2） 若，求．【答案】 （1）；（2）【解析】试题分析：(1)利用 的关系明确 从而得到的通项公式 ；(2)，利用裂项相消法求出数列的前 n 项和.试题解析：（1）由已知，可得，即- 11 -则，.又因为，，成等差数列，即.所以，解得. 所以数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列. 故 （2） 解：依题意， ，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为，求前 项和： ；（2）已知数列的通项公式为，求前 项和：；（3）已知数列的通项公式为，求前 项和:.19. 设 F1，F2分别是椭圆 C： (a>b>0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为 ，建立关于 a，c的方程即可求 C 的离心率；（2）根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出 N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．试题解析：- 12 -(1)根据及题设知，直线 MN 的斜率为 , 所以即将代入得解得，因为故 C 的离心率为 .（2）由题意，知原点 O 为的中点，轴，所以直线轴的交点是线段的中点，故，即，① 由 设，由题意知则代入 C 的方程，②将①及代入②得解得，故.20. 设，函数，（ 为自然对数的底数） ，且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线． （1）求 的值；（2）讨论函数的单调性；【答案】 （1）1；（2）（Ⅱ）求出导函数 f'（x） ，通过时，判断函数的单调性，当或时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．试题解析：- 13 -（1）由已知得， 函数的图象与函数的图象在处有公共的切线．，所以（2）由第一问得， 当 所以函数 f（x）在定义域内单调递增，当即或 的两根为，此时令；令所以函数的单增区间为函数的单增区间为21. 已知点，点 为平面上动点，过点 作直线的垂线，垂足为 ，且.（1）求动点 的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹 交于两点，在处分别作轨迹 的切线交于点 ，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】 （1）；（2）【解析】试题分析：（1）设 P（x，y） ，则 H（﹣1，y） ，通过向量的数量积求出动点 P 的轨迹 C 的方程．（2）证明：设点 M（x0，y0） （x0≠0）为轨迹 C 上一点，直线 m：y=k0（x﹣x0）+y0为轨迹 C的切线，联立在与椭圆方程，利用判别式求出其判别式，求出，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB：y=k（x﹣1） ，直线与抛物线方程，利用韦达定理求解斜率乘积即可．试题解析：- 14 -（1）设，则，有，，，，从而由题意，得动点 P 的轨迹 C 的方程 y2=4x．（2）证明：设点（x0≠0）为轨迹 C 上一点，直线 m：y=k0（x-x0）+y0为轨迹 C 的切线，有，消去 x 得，k0y2−4y−4k0x0+y0＝0，其判别式△=16-4k0（-4k0x0+4y0）=0，解得，有m：，设得根据所以为定值.点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定。