武汉理工高数下2022期中试题与答案.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑武汉理工高数下2022期中试题与答案 武汉理工大学考试试题纸（期中卷） 课程名称 高等数学A（下） 专业班级：2022级各专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 题分 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、单项选择题（5×3=15分） 1．以下方程中，属于锥面方程的是（ ） 222A．X?Y?Z?1 B．X?Y?Z?1 C．X?Y?Z?0 D．X?Y?Z?0 22222?x2y?,?x,y???0,0? 2．函数f(x)??x4?y2，那么f(x,y)在点?0,0?处（ ） ??0,?x,y???0,0?A．连续且偏导数存在 B．连续，偏导数不存在 C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在 3．设z?e，那么dz等于（ ） A．?z B．edx C．exy(xdx?ydy) D．exy(ydx?xdy) 4．若f(x,y)在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且f(?x,y)??f(x,y), 那么二重积分xyxy??Df(x,y)dxdy的值等于（ ）。

A．D的面积 B．0 C．2 5. 微分方程y\?y'?2y?xe2x的特解??Df(x,y)dxdy D．f(x,y) y*的形式可设为（ ）. A．axe2x, B．(ax?b)e2x, C．(ax?b)xe2x, D．ax2e2x. 二、填空题（5×3=15分） 1．设函数f(x,y)?2x?(y?1)arcsin22x2?y2，那么fx(x,1)? 2．若函数f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点（1，—1）取得极值，那么常数a? . 3. 由x2?y2?z?2?x2?y2表示的立体图形的体积V= . 4．微分方程y???9y?0得志初始条件yx?0?1，y?x?0?2 的特解为 ?5． 函数u?xy?yz在点M(?4,?1,1)沿方向l???2,2,?1?的方向导数是 3 三、计算题（5×7=35分） ?2z1．设z?f(2x?y)?g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，函数g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求 ?x?y22?dxdy?z?x?yy2．设?2可以分别确定、为的函数，求与。

zx22dzdz??2x?y?z?03．交换积分次序，然后计算二重积分值?10dx?xxsinydy yA04．化为极坐标形式，然后计算二重积分值?2a0dx?x2?y2dy，其中A?2ax?x2 ?x2y2z2?x2y2z25．求I??????a2?b2?c2??dV，其中?为椭球：a2?b2?c2?1 ???四、应用题（3×8=24分） 1．求曲面z?x2?y2和平面x?y?z?1的交线与坐标原点的最远距离与最近距离 2．设物体?由曲面z?x2?y2与曲面z?2?重心坐标 3．设有曲面S:2x2?4y2?z2?4，平面?:2x?2y?z?5?01）在曲面S上求平行于平面?的切平面方程；（2）求曲面S与平面?之间的最短距离 五、证明题（1×11=11分） 222设f?u?连续，区域?由0?z?1，x?y?t围成，设f?t??x2?y2围成，其体密度为常数1，试求该物体的质量和????z?2?f?x2?y2dV，求 ?? 1）证明limt?0?f(t)??； 2）求f(t). 3t2 武汉理工大学考试试题解答（期中卷） 一．1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 二．1．2 2.-5 3.三．1.解： 4?3?2?11? 4.y?cos3x?2sin3x 5.? 33?z??yg2? ?2f??2x?y??g1?x?2z???g2??xyg22?? ??2f???2x?y??xg12?x?y2.解：方程分别对z求导，得 dxdy?1?2x?2y?dx2z?1dy2?2z?dzdz? 从而得，，其中xy?0。

??dz2xdz2y?4xdx?2ydy?2z?0?dz?dz10 3.解： ?dx?10xx1ysiny1sinysinydy??dy?2dx??y?y2dy0y0yyy ?????siny?ysiny?dy?1?sin1 4.解： ?2a0dx??0A?03x?ydy??d??203222acos?0?2d? ??28a16acos3?d??39 5.解： 2ccz?z2?z2z2I1????2dV??dz??2dxdy??2?ab??1?c2??dz?c?cccc???Dz?2?ab?c0z?z?1?2c2??c22?4?dz??abc?15? x2y2 由对称性可知I2????2dV?I1，I3????2dV?I1 ?a?b 因此有I?3I1?4?abc 5222四．1.解：设L?x,y,z,?,???x?y?z??x?y?z???x?y?z?1?，那么 22???L?2x?2?x???0, ?x ?L?2y?2?y???0, ?y ?L?2z?????0, ?z x2?y2?z?0, x?y?z?1?0 解之得x?y??1?3，z?2?3，于是dmin?9?53，dmax?9?53。

22dV?d?d??d??2??2????d??2????????002?12??12.解：质量m??0??5?， 6由积分区域的对称性可知 x?111，xdV?0y?ydV?0 ??????m?m?2??z?16zdV?m???5???2?0d??d??0?2z?dz?99??，所以重心坐标为?0,0,? 1010??3.解：（1）设F?x,y,z??2x2?4y2?z2?4，切点为?x0,y0,z0?，那么法向量 n??Fx,Fy,Fz??x0,y0,z0??2?2x0,4y0,z0?， 2x04y0z0?1???，切点为?1,,1?和 221?2?1???1,?,?1?，切平面方程为2x?2y?z?4和2x?2y?z??4 ?2??（2）即求切点到该平面的距离，因此 dmax?2?1?1?53?3，dmin?2?2?1?1?53?1 32?t1000f?t?????[z?f五．（1）证明： ?x2?y]dV??d??d??[z2?f???]?dz2???3 t2?2??f????d?,0tt2??f????d??f(t)???0????lim2??lim???ft???f0?，f?0??0 lim2t?0?t3t?0?3t?0?33t2?t?2?f?t?t，且f?0??0，可分开变量的微分方程 （2）f??t??3df?t?1?f?t?3 21112?2?tdt，?f?t??Ce?t?，又f?0??0，?C?，f?t??e?t?1。

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