石家庄初中数学培训材料上传锐角三角函数.ppt

人教版九年级下册第二十八章人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数锐角三角函数 交流材料交流材料本章内容、地位、作用本章内容、地位、作用教学建议教学建议教案教案教材课时分析教材课时分析本章内容、地位、作用本章内容、地位、作用本章的主要内容是锐角三角函数的概念，本章的主要内容是锐角三角函数的概念，求锐角三角函数的值，以及锐角三角函求锐角三角函数的值，以及锐角三角函数的简单应用数的简单应用 本章内容是在学习了函数、相似三角形本章内容是在学习了函数、相似三角形的基础上，对直角三角形的边角关系的的基础上，对直角三角形的边角关系的进一步研究进一步研究 锐角三角函数的概念隐含着角度与数值之间有锐角三角函数的概念隐含着角度与数值之间有一一对应的函数思想一一对应的函数思想用含有几个字母的符号组（用含有几个字母的符号组（sin,cos,ten）来表）来表示这种对应，学生过去从未接触过只有正确示这种对应，学生过去从未接触过只有正确了解锐角三角函数的概念，才能真正理解直角了解锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而利用这些关三角形中边、角之间的关系，从而利用这些关系来解直角三角形。

系来解直角三角形 本章内容、地位、作用本章内容、地位、作用通过对本章的学习，学生才能对直角通过对本章的学习，学生才能对直角三角形的有关概念有较完整的认识，三角形的有关概念有较完整的认识，才能把直角三角形的判定、性质、作才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来关系统一起来 本章内容、地位、作用本章内容、地位、作用本章的内容在设计上突出了以下本章的内容在设计上突出了以下特点：特点： 1 三角函数的概念是在提出一个实际问题并解三角函数的概念是在提出一个实际问题并解决这个问题的过程中建立的在解题过程中，决这个问题的过程中建立的在解题过程中，把问题解决归结为求已知角的对边和斜边的比把问题解决归结为求已知角的对边和斜边的比值，为正弦函数的引入作了铺垫然后以任意值，为正弦函数的引入作了铺垫然后以任意给定的锐角为例，通过相似比建立正弦函数概给定的锐角为例，通过相似比建立正弦函数概念学生经历了正弦函数概念的建立过程，再念学生经历了正弦函数概念的建立过程，再学余弦与正切函数就不会有大的障碍了学余弦与正切函数就不会有大的障碍了本章的内容在设计上突出了以下本章的内容在设计上突出了以下特点：特点： 2 关于锐角三角函数的求值与特殊角的三角关于锐角三角函数的求值与特殊角的三角函数值，是由学生通过函数值，是由学生通过“思考思考”求得的。

在求得的在精度要求不高的情况下，可以通过测量来计精度要求不高的情况下，可以通过测量来计算三角函数值本章主要介绍了怎样使用计算三角函数值本章主要介绍了怎样使用计算器求已知锐角的三角函数值和由已知三角算器求已知锐角的三角函数值和由已知三角函数值求它对应的锐角函数值求它对应的锐角 3 加强应用与紧密联系实际是这套教科书的加强应用与紧密联系实际是这套教科书的一大特点，本章内容突出体现了这一特点一大特点，本章内容突出体现了这一特点解直角三角形的知识，可以广泛地应用于测解直角三角形的知识，可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度教科书中的应用问题，距离、高度和角度教科书中的应用问题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值解内容比较广泛，具有综合技术教育价值解决这类问题，需要观察、思考和计算，有助决这类问题，需要观察、思考和计算，有助于学生综合能力的提高于学生综合能力的提高 本章的内容在设计上突出了以下本章的内容在设计上突出了以下特点：特点： 教学活动建议教学活动建议1 应组织学生积极参与课堂教学活动，完成应组织学生积极参与课堂教学活动，完成教科书要求的每项任务。

教科书为学生提供教科书要求的每项任务教科书为学生提供了丰富的学习材料，如果不提倡自主学习，了丰富的学习材料，如果不提倡自主学习，授课方式依然是以授课方式依然是以“讲讲”为主，那么，教师为主，那么，教师势必会感到课时紧张，内容太多，处理不完势必会感到课时紧张，内容太多，处理不完 2 关于锐角三角函数概念的教学，应从实际关于锐角三角函数概念的教学，应从实际出发，让学生经历建立数学模型出发，让学生经历建立数学模型——直角三角直角三角形的过程应引导学生探究直角三角形的边角形的过程应引导学生探究直角三角形的边角关系对于正弦函数，教科书为师生的活动提关系对于正弦函数，教科书为师生的活动提供了丰富的素材；对于余弦和正切函数，则是供了丰富的素材；对于余弦和正切函数，则是通过直角三角形中两边的比直接定义的，教学通过直角三角形中两边的比直接定义的，教学时，应创设适当的情境，引导学生参照正弦函时，应创设适当的情境，引导学生参照正弦函数的定义进行探索，以明确对于任意给定的锐数的定义进行探索，以明确对于任意给定的锐角，它的余弦值和正切值都是唯一确定的角，它的余弦值和正切值都是唯一确定的 教学活动建议教学活动建议3 关于锐角三角函数求值的教学，应以实关于锐角三角函数求值的教学，应以实际操作为主，但不要单纯操作和为求值而际操作为主，但不要单纯操作和为求值而求值，要通过求函数值，加深学生对锐角求值，要通过求函数值，加深学生对锐角三角函数概念的理解，让学生初步感受锐三角函数概念的理解，让学生初步感受锐角三角函数值随角度变化而变化的规律。

角三角函数值随角度变化而变化的规律教学活动建议教学活动建议4 对于锐角三角函数的应用，应注意数形结对于锐角三角函数的应用，应注意数形结合，数形结合是重要的数学思想方法本章合，数形结合是重要的数学思想方法本章内容是体现数形结合思想的理想材料，尤其内容是体现数形结合思想的理想材料，尤其是在解决实际问题时，应引导学生根据问题是在解决实际问题时，应引导学生根据问题情境画出图形，在通过图形找出直角三角形情境画出图形，在通过图形找出直角三角形中边、角之间的关系中边、角之间的关系 教学活动建议教学活动建议教材分析教材分析28.1锐角三角函数（锐角三角函数（3课时）课时）28.2解直角三角形（解直角三角形（5课时）课时）28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第1课时）课时）教教学学目目标标知识技能知识技能使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦（认识正弦（sinA）．）．数学思考数学思考经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维的形象思维．．解决问题解决问题 在直角三角形中，初步建立边与角之间的在直角三角形中，初步建立边与角之间的关系，对于解决三角形问题又有了新的途径关系，对于解决三角形问题又有了新的途径．．情感态度情感态度使学生体验数学活动充满着探索与创造，能使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动．积极参与数学学习活动． 28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第1课时）课时）重重点点使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，认识正弦边的比值是固定值这一事实，认识正弦（（sinAsinA）．）．难难点点学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实，关键在于教师边的比值是固定值的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论引导学生比较、分析，得出结论．．28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第2课时）课时）教教学学目目标标知识技能知识技能使学生在上节课的基础上知道当直角三角形的锐使学生在上节课的基础上知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，进而认识余弦（也是固定值这一事实，进而认识余弦（cosA）、）、正切（正切（tanA），进而得到锐角三角函数的概念），进而得到锐角三角函数的概念．．数学思考数学思考用类比的方法得到在直角三角形中，邻边与斜边、用类比的方法得到在直角三角形中，邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，发展学对边与邻边的比值也是固定值这一事实，发展学生的形象思维生的形象思维．．解决问题解决问题在直角三角形中，进一步建立边与角之间的关系，在直角三角形中，进一步建立边与角之间的关系，为解决有关三角形的问题做好准备．为解决有关三角形的问题做好准备．情感态度情感态度使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动，感受数学结论的确定性．参与数学学习活动，感受数学结论的确定性．28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第2课时）课时）重重点点使学生知道当锐角固定时，它的邻边与斜边、使学生知道当锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，认识对边与邻边的比值也是固定值这一事实，认识余弦（余弦（cosAcosA）、正切（）、正切（tanAtanA），从而得到），从而得到锐角锐角三角函数的概念．三角函数的概念．难难点点 正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示，组来表示， 因此概念是难点．因此概念是难点． 28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第3课时）课时）教教学学目目标标知识技能知识技能熟记熟记3030°°、、4545°°、、6060°°角的各个三角函数值，角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．角的度数．数学思考数学思考加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练．．解决问题解决问题 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．个角的度数．情感态度情感态度 引导学生积极参加数学活动，增强学习数学引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心．的好奇心．重重点点会计算含有这三个特殊锐角的三角函数会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．数值说出这个角的度数．难难点点会由一个特殊锐角的三角函数值说出这会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．个角的度数．28.1锐角三角函数（第锐角三角函数（第3课时）课时）教教学学目目标标知识技能知识技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．锐角三角函数解直角三角形．解决问题解决问题通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度情感态度渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．习习惯．28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第1课时）课时）28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第1课时）课时）重重点点直角三角形的解法．直角三角形的解法．难难点点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教教学学目目标标知识技知识技能能使学生会把实际问题转化为解直角三角使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．问题来解决．解决问解决问题题逐步培养学生分析问题、解决问题的能逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．力．情感态情感态度度渗透数学来源于实践又反过来作用于实渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识践的观点，培养学生用数学的意识28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第2课时）课时）28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第2课时）课时）重重点点要求学生善于将某些实际问题中的数量关要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．从而利用所学知识把实际问题解决．难难点点实际问题转化成数学模型实际问题转化成数学模型教教学学目目标标知识技能知识技能 使学生了解什么是仰角和俯角使学生了解什么是仰角和俯角解决问题解决问题巩固用三角函数有关知识解决问题，学巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．会解决观测问题．情感态度情感态度逐步培养学生分析问题、解决问题的能逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．力；渗透数形结合的数学思想和方法．28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第3课时）课时）重重点点用三角函数有关知识解决观测问题用三角函数有关知识解决观测问题难难点点学会准确分析问题并将实际问题转化成学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型数学模型28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第3课时）课时）教教学学目目标标知识技能知识技能使学生了解方位角的命名特点，能准使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角确把握所指的方位角是指哪一个角解决问题解决问题巩固用三角函数有关知识解决问题，巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．学会解决方位角问题．情感态度情感态度逐步培养学生分析问题、解决问题的逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方能力；渗透数形结合的数学思想和方法．法．28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第4课时）课时）重重点点用三角函数有关知识解决方位角问题用三角函数有关知识解决方位角问题．．难难点点学会准确分析问题并将实际问题转化成学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型数学模型．．28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第4课时）课时）教教学学目目标标知识技知识技能能巩固用三角函数有关知识解决问题，学巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．会解决坡度问题． 解决问解决问题题逐步培养学生分析问题、解决问题的能逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．力．情感态情感态度度培养学生用数学的意识，渗透理论联系培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．渗透数形结合的数学思想实际的观点．渗透数形结合的数学思想和方法和方法28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第5课时）课时）重重点点解决有关坡度的实际问题解决有关坡度的实际问题．．难难点点理解坡度的有关术语理解坡度的有关术语．．28.2 解直角三角形（第解直角三角形（第5课时）课时）解直角三角形中的数学思想解直角三角形中的数学思想 一、方程思想一、方程思想二、转化思想二、转化思想 三、建模思想三、建模思想　例　例1　如图　如图1，一艘轮船在海上以每小时，一艘轮船在海上以每小时36海里的速度向正西方向航行，上午海里的速度向正西方向航行，上午8时，时，在在B处测得小岛处测得小岛A在北偏东在北偏东30°方向，之后方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达时到达C处，这时测得小岛处，这时测得小岛A 在北偏东在北偏东60°方向．方向．如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达时到达D处，这时轮船与小岛处，这时轮船与小岛A相距多远相距多远? 析解：过点析解：过点A作作AE⊥ ⊥DB的延长线于点的延长线于点E．因为．因为BC＝＝36×（（9－－8）＝）＝36（海里），（海里），CD＝＝36×（（11－－9）＝）＝72（海里），（海里），依题意知依题意知∠ ∠ABE＝＝60°，，∠ ∠ACE＝＝30°，在，在Rt△ △AEB中，中，设设BE＝＝x，则，则 ．于是，在．于是，在Rt△ △AEC中，中， ，即，即 ，则，则x＝＝18，，，，DE=72+36+18=126．．在在Rt△ △AED中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 （海里）．（海里）． 例例2　如图　如图2，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长地面上的影长BC＝＝20米，斜坡坡面上的影长米，斜坡坡面上的影长CD＝＝8米，太米，太阳光线阳光线AD与水平地面成与水平地面成26°角，斜坡角，斜坡CD与水平地面与水平地面BC成成30°的角．求旗杆的角．求旗杆AB的高度（精确到的高度（精确到1米）．米）． 　析解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥CE于F．则依据题意可知，∠E＝26°，∠DCE＝30°，于是，在Rt△CFD中，可求得DF＝4，，在Rt△DFE中，，即．所以，BE＝BC+CF+EF＝20+6.928+8.201＝35.129，在Rt△ABE中，，即AB＝35.129×tan26°≈17（米）．即旗杆AB的高度约为17米． 　例3　2005年5月22日，媒体广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动，测量人员从六个不同观察点同时对峰顶进行测量（如图3）．小英同学对此十分关心，从媒体得知一组数据：观察点C的海拔高度为5 200米，对珠峰峰顶A点的仰角∠ACB＝ 11°34′58″，AC＝18 174.16米（如图4）她打算运用已学知识模拟计算． （1）现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到0.01米)；（2）你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度8848.13米相差多少？珠峰是长高了，还是变矮了呢？ 析解：（1）在Rt△ABC中，　　因为　　所以AB＝ACsin∠ACB　　＝18 174.16×sin11°34′58″≈3 649.07，　　3 649.07+5 200＝8 849.07，　　所以珠峰的海拔高度为8 849.07米．　　（2）8 849.07－8 848.13＝0.94，　　因为相差0.94米，　　所以珠峰长高了．　　说明：这里通过解直角三角形的知识使看似复杂的问题简单化． 帮学生学好锐角三角函数帮学生学好锐角三角函数 概念概念 规律规律 关系关系 1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于1的正数，正切值是大于零的数，并且都没有单位，即00（∠A为锐角）． 理解三角函数的概念时，应从以下五点入手： 2．每一个三角函数都是一个完整的符号，如．每一个三角函数都是一个完整的符号，如sinA不能理解为不能理解为sin·A，，sinA中的中的“A”是用一个是用一个大写字母表示的角，大写字母表示的角，sinA（或（或sinα）只表示一个）只表示一个角角A（或（或α）的正弦（角的符号可以省略）；若用）的正弦（角的符号可以省略）；若用三个大写字母表示的角，在表示它的三角函数时，三个大写字母表示的角，在表示它的三角函数时，角的符号不能省略，如角的符号不能省略，如“∠ ∠AOB的正弦的正弦”应写成应写成“sin∠ ∠AOB”而不能写成而不能写成“sinAOB”，更要避免，更要避免出现出现“sin10°+sin40°=sin50°”、、“tan10°+tan40°=tan50°”等错误．等错误． 3．当锐角A的度数固定不变时，∠A的三角函数也是固定不变的，它与∠A的两边长短（即三角形的边长）无关． 4．三角函数式乘方时，一般将指数写在三角函数符号与角之间，如sinα的平方“（sinα）２”一般写成“sin2α”． 5．三角函数式是一个等式，右边是一个分式，所以它具有等式、分式的性质，即已知式子中的两个量时，可以求出第三个量，如它的两个变式为：①a=c·sinA；②． 1．直角三角形中互余两角的三角函数的关系：如图， Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角函数定义得，，所以sinA=cos（90°-A），cosA= sin（90°-A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值． 2．同一锐角三角函数的关系：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则即同一锐角的正弦、余弦的平方和等于1，或者说若α为锐角，则sin2α+cos2α=1． 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律：　　1．特殊角的三角函数值的记忆规律：　2．锐角三角函数值的增减性：锐角α的正弦sinα值随着∠α的增大而增大；锐角α的余弦cosα值随着∠α的增大而减小；锐角α的正切tanα值随着∠α的增大而增大．。