数学与应用数学-浅谈数形结合在高中数学中的应用论文.docx

摘 要数形结合是指根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合本文首先论述了数形结合的基本概念理解，再对数形结合思想在高中数学的现状进行分析，然后通过一些经典例题进行说明，将数形结合应用到具体的数学问题中希望这些能够对数形结合教学方面工作有所作用，从而提高学生学习成绩关键词：数形结合，教学应用，高中数学教学AbstractThe combination of numbers and shapes refers to the idea of solving mathematical problems through the mutual transformation of numbers and shapes according to the corresponding relationship between numbers and shapes, and realizing the combination of numbers and shapes. This paper first discusses the basic concept of the combination of numbers, and then according to the current high school students' ability to combine numbers and shapes analysis of the meaning of the combination of numbers and shapes teaching, through some classic examples to elaborate, if the combination of numbers and shapes applied to specific mathematical problems. It is hoped that these can be combined with the teaching aspects of the work to improve students' academic performance.Key words: the combination of number and form, the combination of number and form teaching application, high school mathematics teaching目 录引 言 52.数形结合概述 62.1数形结合的本质 62.2使用数形结合的目的 63 数形结合思想在高中数学现状分析 73.1数形结合在高中数学中的影响分析 73.2当前高中生数学数形结合掌握程度分析 74数形结合在高中数学中的应用 84.1利用数形结合解决集合问题 84.2利用数形结合解决极值问题 104.3利用数形结合解决函数问题 114.4利用数形结合解决线性规划问题 134.5利用数形结合理解数学公式 145 提高教学质量的几点看法 165.1学生空间想象与计算能力的提高 165.2巧妙运用数形结合的训练 165.3加强学生及时纠错意识 176结论 17致谢 18参考文献 19引 言在2011年的新课标中，数形结合被作为高中必修的7大数学思想之一，并且逐渐成为高中教学中不可忽视的重要思想。

高中生在学习数学的过程中，有许多知识点都与数形结合息息相关，巧妙运用数形转换能够极大程度地提高学生们的学习与想象能力，因此，在教学过程中，作为教师的我们，必须向同学们展示这个思想的价值，领略使用数形结合解题的优势在数形结合成为高中重点内容的大趋势下，学好数形结合就显得尤为重要基于这一点，本文首先阐述了什么是数形结合以及它的研究与当今的高中数学教学的意义，再针对当前高中生数形结合能力与数形结合有关的知识课标之间的矛盾进行分析，通过对于高中生存在的问题、数形结合在各个章节中的影响、如何学会多角度使用数形结合的巧妙性解决各类数学问题以及个人对这些情况的看法与建议进行概述数形结合广泛应用于高中数学的各个知识点学习中，例如集合、函数、概率、解析几何、不等式的教学等等所以，无论是在学习哪一阶段的高中课程，对于学生们的意义都是十分重大的它能够很好地为学生们打下学习各个部分知识的基础，还能够开发学生们的空间想象能力、语言概括能力，并学会将空间想象与运算巧妙地结合到一起，提高解题的灵活性与准确性2.数形结合概述2.1数形结合的本质数形结合是将数学中最为重要的两个研究对象“数”与“形”通过巧妙的有机结合达到使数学问题具体化，直观化的数学思想方法。

在高中阶段，能够应用到数形结合的主要有两种情况，一种是问题文字符号所表达的意思较为抽象时我们需要用图形的方式直观地表达出其内在涵义，另一种情况则是通过数据来描述图形所提供的信息，两种情况明确了数形结合在高中数学中的要求与方向数形结合是将数学问题的条件与结论进行相互连接,在探讨题目中涵盖的代数意义的同时,也试图揭示其几何意义,从而将数量关系的代数数据与图像形象紧密结合,促使复杂的问题简单化[1]因此，为了更好地运用数形结合方法的优势，就必须遵循一定的准则，应用数形结合解决问题时应遵循以下基本原则：等价性原则、双向性原则、简洁性原则、直观性原则、实践创新原则[2]通过对以上数形结合原则的合理有效运用,充分抓住“数”和“形”的特点,相信会很大程度上简化解题过程,培养学生独立自主的学习能力和逻辑思维能力,帮助学生更快的抓住问题的要害,促进师生间共同进步[3]所以，数形结合的本质是充分利用图形与文字符号的巧妙结合与相互转化寻找出解决问题的最佳解答2.2使用数形结合的目的数形结合思想能够有效地将数学中抽象的概念直观化、形象化；解读、摘取图像中所涵盖的重要信息，使问题求解更加便捷，思路更加宽广，能够从多种角度出发，帮助学生更加容易地找出解决方法[4]。

不仅如此，数形结合的内容几乎贯穿了整个高中知识，那么也就意味着在教授数形结合思想的过程中也在不断地将各个知识间相互结合，这很考验学生们各部分知识掌握程度，但也同时能够培养学生解题灵活度，也就是通常所说的当看到一个题目，其中涉及到的定理，公式等能够想象出用什么数学模型，若是涉及到一个图形，要如何用数学语言描述出来以此来获得解题的最佳方法：这样的学习过程也就是数学学习的关键所在3 数形结合思想在高中数学现状分析3.1数形结合在高中数学中的影响分析在《高中课标(2017版)》中将数形结合列为七大数学思想之一，可见数形结合在高中教学中的应用地位，高中教师应当重视学生们对于数形结合思想的使用现在数形结合在高中许多典型例题中都有用到，例如：集合问题，极值问题，函数问题，线性规划问题数形结合思想不仅仅是能够提高课程内知识的学习，而且它是将数与形两个重要数学部分相结合的思想方法：众所周知，数学是一门各个部分互通融合性很强的学科，一个知识点的学习，常常会联系到之前学过的知识点，那么学会将各个知识点融会贯通在数学学习中是十分重要的而数形结合就是数学学习的一个典型案例，教师可以通过数形结合这一思想，将数学学习的本质很好的呈现在同学们面前，从而使学生真正的认识数学，了解数学，从而提高数学解题水平。

3.2当前高中生数学数形结合掌握程度分析高中数学许多知识点都有应用到数形结合思想，集合的表示、函数的图像、解析几何等都是学习数学结合的知识点案例但即使有这么多次的学习机会，高中生对于数形结合的理解还是有明显不足，主要表现在以下这些方面：1、 对于数形结合的理解显得不够到位，在许多问题上难以想到用数形结合来进行解题，或是知道了应该用数形结合但是无法将这种思想方法嵌套到题目中去，导致解题过程中浪费了大量时间2、 由于高中生面对着比其他阶段学生更加严峻的学业考验，所以在面对这样大的学业压力下，有很多的高中生在学习如何用数形结合解决数学问题时，为了节约时间，常常没有以真正理解掌握数形结合思想方法为出发点，而是仅仅只做到学会一题是一题，这也就是为什么高中生常常一题写出来，换一下数据和背景又解不出来了的症结所在3、 现在的高中生在学习数形结合思想时常常偏离一个重要目标，那就是在数学学习中许多知识点的学习目的常常是为了前后知识之间的相互联系像数形结合这样的知识点的学习不仅是解题那么简单，还有提高学生知识综合贯通能力，学会学习各种数学思想的程序性方法的目的，从而使学生知道“什么是学数学？怎么样学好数学？”。

但许多高中生在学习中很容易只朝着一个方向，没能够注意到数形结合与其他知识之间的联系，从而进入思维的死胡同，难以灵活应用数形结合思想的巧妙性4数形结合在高中数学中的应用正如张国芬老师所说，想让学生更深入地了解数学概念,就需要教师在实际教学过程中采用具体的实例,有效推动数和形的结合.[5]所以，我将在以下几个方面的知识点上进行例题应用讲解，以说明数形结合对高中数学的重要性4.1利用数形结合解决集合问题集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体集合作为高中数学最开始深入学习的知识点，几乎贯穿了整个高中所有的书本，利用集合表达与描述是数学问题中常见的方式到了高中，老师也开始教授更高层次有关集合的内容，例如开并集的运算处理，多个集合与多个元素的相互关系的判断，实际应用题的集合使用，这些内容都使得该部分知识的难度加大，很多同学对于学习集合这样的抽象思维感到十分困难那么为了将这样的抽象思维具象化，教师巧妙地运用数形结合来讲解这部分内容就是十分有必要的一般情况用椭圆来表示集合，两个椭圆相交部分表示两个集合的公共元素，两个圆完全相离就表示两个集合没有公共的元素，若是有多个圆也以此类推利用韦恩图法就能更加直观地解答有关集合之间的关系问题，其中与之相关的典型例题如下。

例1：某地暑假球类兴趣班共有17位学生参加，一共有三个项目篮球，排球，足球，其中参加篮球班的有11人，参加排球班的有7人，参加足球班的有9人同时参加篮球班和排球班的有4人，同时参加排球班和足球班的有3人，同时参加篮球班和足球班的有5人，问：三个班都参加的学生有几人？面对这样的题目，很多的同学在想的过程中常常会感到题目过于复杂，需要记住的东西太多，难以快速把握题目要点，并且这样的题目将各个球类及其人数弄混是十分常见的但如果能够用数形结合中的韦恩图法则会使情况大有改观图4-1根据题意设：三个班都参加的同学有人，并画出如上图4-1知道篮球与排球都参加的同学有4名，那么有而排球与足球都参加的同学有3名，那么有而篮球和足球都参加的同学有5名，那么有则将分别对应填入篮球和排球、排球和足球、篮球和足球的各个两圆之间将填入三圆的公共部分同理，由篮球、排球、足球人数分别为11，7，9通过像这样画图，将能够更加直观的看出三个兴趣班的参加人数是如何分布的，并且，只要将图中各个板块的数据相加，所得数就是总人数17即得所以解得即兴趣班中有两人三个班都参加了通过这题我们很明显能够感受到数形结合实实在在的能够将复杂的数学问题变得十分直观，使在写这样的集合问题时能够保持十分清晰的思路，并快速准确的将题目的要求完成，所以，教师在集合问题上应多注重与数形结合的联系，以此来提高学生的解题能力。

4.2利用数形结合解决极值问题极值问题是高中数学考试中选择填空题目的常客了大多数情况下，都是用计算来进行求解，但是有一部分机极值问题，在计算时便会发现，其计算过程过于繁琐，在考试中十分耗时，且在紧张的气氛下容易出错但实际上，这类问题若能够巧妙地运用图形便能够在解题时事半功倍，将复杂繁琐的代数。