2019年河北省保定市佟麟阁中学高三数学理期末试题含解析.docx

2019年河北省保定市佟麟阁中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（　　）A．30 B．45 C．60 D．90参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60故选C【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造∠A1C1B为异面直线AC和EF所成的角，是解答本题的关键．2. 曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为（　　）A．8π B．8(3﹣)π C．16(﹣1)π D．16(2﹣)π参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y=x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【解答】解：设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y=x的交点为A（2x0，2x0），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当x02=2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选C．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题．　3. 在中，角的对边分别为，若则（ ）A. B. C. D.参考答案：A4. 已知集合，，则集合（ ）A． B． C． D．参考答案：【答案解析】D解析：因为={0,1,2,3,4,5}，，所以B={0,2,4}，所以选D.【思路点拨】先把集合A用列举法表示，再结合集合的补集的含义解答..5. 《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 S的值为 360，则判断框中可以填( )A. B. C. D. 参考答案：C分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=290，i=2不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 的值为360．可得判断框中的条件为．故选：C．点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6. 能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，则下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【知识点】函数的奇偶性的判断B4解析：根据“和谐函数”的定义可得，若函数为“和谐函数”，则该是函数过原点的奇函数，A.定义域为R，，所以为奇函数；B.定义域为，即，所以为奇函数；C. 定义域为R，，所以为奇函数；D. 定义域为R，，即，所以不是奇函数；故选择D.【思路点拨】根据题意可得若函数为“和谐函数”，则该函数是过原点的奇函数，逐一判断即可.7. 复数（i为虚数单位)的虚部为(A)1 (B)i (C)-2i (D)—2参考答案：D略8. 复数（ ）（A）（B）（C）（D）参考答案：A,选A.9. 运行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A．4 B． C. D．参考答案：C10. 设，，且，，，则 的值（ ） A. 一定大于零 B. 一定小于零 C. 小于或等于零 D. 正负均有可能参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知cos=,且,则cos( )=_________________.参考答案：略12. 不等式的解集是______________.参考答案：略13. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为　　．参考答案：【考点】轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，设P（x，y，0）．于是有．由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为【点评】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．14. 若集合则 .参考答案：15. 设是正项数列，=___________.参考答案：16. 若函数（x∈R）为奇函数，则ab=　　．参考答案：2016【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．17. 已知幂函数的图象过点)．则的值为____________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知在数列 中， ．(I)求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；(Ⅱ)设数列 的前n项和为 ，求 ．参考答案：（Ⅰ）, 所以数列是以2为首项，以4为公比的等比数列，………………………4分 则； 所以………………………………6分（Ⅱ）.………12分略19. 如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=2，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥AC，BE⊥O，CD∥BE，由此能证明CD⊥平面A1OC．（Ⅱ）推导出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，由此能求出四棱锥A1﹣BCDE的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）在图（1）中，因为AD∥BC，AB=BC=AD=a，E是AD中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，且CD∥BE，所以在图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，…（4分）又BE⊥平面A1OC，CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC． …（6分）解：（Ⅱ）由题意，可知平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，…（8分）由图（1）知，A1O=AB=a，，又a=2，所以四棱锥A1﹣BCDE的体积V==．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20. 已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：18663.81124.3142820.5其中，.（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（3）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，.参考数据：.参考答案：(1) 更适合作为关于的回归方程.(2) .(3)245.【分析】（1）画出关于的散点图，即可作出判定，得到结论.（2）由（1）因为，得，利用公式求得和的值，即可求得回归方程；（3）令，求得，即可得到结论.【详解】（1）由题意，关于的散点图如下图所示.更适合作为关于的回归方程.（2）由（1）因为，则，∴，∴，∴关于的回归方程为.（3）由（2）中的回归方程，令，求得，所以当温度为时，预报值为.【点睛】本题主要考查了数据的散点图的应用，回归方程的求解及应用，其中解答中正确理解题意，合理利用散点图作出判断，准确利用公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.21. 设函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（Ⅱ）若对任何，恒成立，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由条件得，∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得.∴，由得，由得.∴在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值.故的单调递减区间，极小值为2.（Ⅱ）条件等价于对任意，恒成立，设，则在上单调递减.∴在上恒成立.得恒成立.∴（对，仅在时成立）.故的取值范围是.22. (本题满分14分)已知。