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全息项目因素分析简介——一种新的多维、多级评分的IRT王权(作者简介：王权，教授，浙江大学教育系，浙江杭州，310002c)摘要：本文介绍Bock和Muraki等学者创立的“全息项目因素分析”这种新颖的项目分 析方法是因素分析与项目反应理论的有机结合，也是一种多级评分的多维项目反应理论全 文分三个部分：(1)多维、多级评分项目的全息项目因素分析的数学模型，以及模型的几何 解释；(2)多维IRT模型的参数解释；⑶项目参数的极大似然估计和能力参数的期望后验估 计关键词：全息项目因素分析 多维、多级评分项目的全息项目反应理论极大似然估计 期 望后验估计分析鉴定测验的测量维度是研制备种标准化教育测验和心理量表的不可缺少的一个重 要环节，过去多用因素分析方法验证但不论是探索性因素分析还是实证性因素分析，方法 的实质是属于“协方差分析”，分析的基础是观测样木的协方差阵或相关矩阵，而不是从原 始观测分开始所以当观测变最是二分变量时•，我们面对的是系数矩阵或是四项相关系数 矩阵对于e系数矩阵，当项li难度不一致时，一般的多因素分析就会混入虚假因素而对 于四项相关系数矩阵，虽然可以抑制虚假因素的混入，但rti于四项相关系数矩阵几乎永远不 正定，所以严格来讲不能应用公共因素模型。

而且，若测验中的某对项目的四格表中出现零 观测次数，四项相关系数矩阵中的相丿应元素的绝对值就会出现1,因而由此就会发生“海伍 徳”(Heywood)现象，即分析结果出现负方差或绝对值大于1的相关系数的不合理现象基 于以上原因，Bock和Aitkin(1981年)提出了一种育接与“项目反应理论”(IRT)相结合的 新的项目因素分析法这种方法育接使用每个被试对全部项li的反应向最，最大限度地利用 反应数据载荷的可用信息，所以称作“全息项目因素分析” (Full-Information item factor analysis)Bock和Aitkin巧妙地借用Thurston的多因素公共因素模型來描述被试对项li刺激的 反应过程，即公共因素模型：= a.A + a厨2)+ …+ a』祠 + 叭=a + 叭i = A 2, •••, n. j =人 2,…，N、 (1)式中的因变量％并非表示连续型的观测变量，而是表示被试j对项H i的一个不可观测的 反映过程变量，当Yi时，被试j对项目i产生正确反应，记作丫沪1；当YsX Y时， 则反应错误，记作Yij=Oo Yi称作项目i的阈限(Threshold)。

按因素分析惯例,(1)式假设 Yi的数学期望为0,方差为1； 〜N(0, T)； 〜N(0,所以被试j对项目i产生正确反应的条件概率是其中于是反应错误的概率P(Y：j=0| 9 ^=1-4)( 9 J)对于有猜测因索的多 重选择题，反应函数(2)式可取处(厲丿=& + ( 1 - gJ 4( Oj)式中的gi是项目i的猜测参数在此基础上，Bock和Aitkin还建立和导出了参数估计方法 等一系列重要结果1995年Muraki和Carlson在Samejma等人的多级反应的逻笹斯蒂模型 的基础上，将Bock和Aitkin的二分变量的全息项目因索分析推广到类别变量的多级评分项 目，形成了一种新型的“项目反应理论”仃RT),称作类别变量的全息项目因素分析一、数学模型测验项目为二分变量时，Bock和Aitkin由公共因素模型仃)式导出了二级反应项目的 项目反应函数(2)式当测验项目是类别变量时，被试的项目反应须用多级评分表示设被 试j对n个项目的反应模式是Wj= (wij, W2j, ・・・Wnj)，其中当被试j对项目i的反应变量丫口超过 阈限Ym、但没有达到Yi,k时,即sZYijV Sk则记Wij =k k=l, 2,…,Ki。

于是根 据公共因素模型仃)式，被试j对项目i产生第k级反应的条件概率是P( ITV= 41 0f) =-~exp[ -y( \ dy (3)(277)： J 厶 5-・wn. Yy ~ U Aft 1/ - Mil ■ X* 伉设切二 一 •如h = * -则3= ~ ・6 5如人=%■十则5=如七严记沪•称作斜率仏二-张•称作 项目类别参数•并定义：Z』=a/ 0 4* a ( k = 1、2、….K・) (4)于是“项H反M模型”仃RN0 (3)式就可写成・ 2.( •>PA(e)= 3 l)di= 0( t)dt・"釧= (P(l)dl- 0( t)dt (5)式中盘严(■尹因为任何类别反应的概率pno,由此可知Zuk-i(0)mzi(e)，所以bwNbiz(5)式还可表示成：P山(0)=卩・』8) - P•认(8) ( k = 1, 2,…，KJ (6)其中rio( 0)=i, p\( o)=opi,山e)表示能力为0的被试在项目i上获得第k-i个阈 限以上得分的概率，P“(8)是获得第k个阈限以上得分的概率6)式称作“多维等级反 应模型” (MGRM)项目反应模型(6)式的几何意义可用二维潜变量来说明。

图1是二维、三个类别的多级评分项目1的“项目反应面” (IRS)图，其中⑷式的斜率an=1.0, a12=l. 5；项目类别参数 bn=l. 2, bi2=~0. 8q图 1 MGRM 项口 1 的 IRSb\2 = - 0. 8oit = I. 0f

如果我们有n维（n>3）空 间的概念，通过与图1和图2的类比，就可以想象一般的MGRM的儿何图像二、项目参数的定义和解释1.项目参数的定义多维、多级平分项目的全息项目因素分析的项目i的区分度定义为(7)其中&是项目i的尿维斜率参数向量,即 第（aw・g）若用因索分析的模型参数表示所以多维区分度是通过因了 I/O、由公共因素方差的平方根转换而来 项目i的第k级类别反应的难度p ik定义为弘七（—，2,7）若用因索分析的模型参数表示，•个项日的每个等级都有一个相应的难度参数在有些英文的研究文献中，项目难度也称项目类别参数2・项目区分度的几何意义图3.二维空间的多维区分度图3是图1中的项目1的特质0空间的示意图，弗和B 2是两个正交轴，代表构成项 目1的两个维度0C和0A的长度分别等于相应的斜率参数知和业,因为an+a^n2,,所 以斜边0B的长度等于区分度口，Z在0空间中的位置和方向是由它与各0轴的夹角余弦 COSO产号和COS02 = ^ 确定，COS0和COS02称作口1的方向余弦区分度Mi在特质空问V1 Hi中的方向称作项甘1的测量方向Reckase和Mckinley(1991年)证明了反应面的最大斜率 的方向即是项目区分度心的方向。

由项目反应模型⑸式可知，获得各等级分的概率大小是 由积分上、下限，即线性函数(4)式决定，项目1的线性函数：Z訂 0) = an 0i + ai202 + 九=7/1 (cosaii| + cosaiijOz 一 0山)=巾(矿■册) (9)(9)式中的单维潜在特质実由二维特质 I和0 2合成，其加权系数是项li区分度z在特 质空河的备9轴上的方向余弦因此多维区分度与项H反应函数有着密切的关系三、模型参数的估计1.项目参数的估计多维项目参数的估计首先是用极大似然法估计出斜率加和类别参数bik；然后由(7)和⑻式导出多维区分度心和难度P叭设U是观测反应模式为j的反应矩阵U的元素，如果被试j对项Id i产生第k级反应, 则记Uijfl,记其他等级的Uijk=0o由(5)和⑹式可知,被试j对项目i产生第k级反应的 概率为Pik(())所以当0给定和有K种类别反应的项目i, i=l, 2,…，n,则反应矩阵U的联合概率是do)••I Al若特质变量9服从多元正态分布，其密度函数为g( 8 ),则观测反应模式j的边际概率是匚(")=pW|&)x(&M (II)对于各有K,种类别反应的n个项目，共有f = Y[Ki个不同的反应模式，而每个被试的反 应模式必是这J种模式Z-o设N是来白总体的‘%生样木数，门是其中反应模式为j的考生 数，贝IJ人数门服从参数为N和P,U)的多项分布，因而参数裁和屏的边际似然函数是(12)"鼻 nkw]w取等式仃2)两边的白然对数得：,n =】nN!-ln》ln弓!+工-InP^U) (13)/•!再求(13)式关于斜率弧的一阶偏导得:所以ainL 总 r dP(U)5a.e p(") Eainz.da.亍丄IS勺卞坐⑹匕(14)由(4)和⑸式可知,项目类别参数冻包含在Pik( 0 )和P何(。

)中，所以可求得等式(10)式关于氐的一阶偏导:dp(u\e\(15)令一阶偏导(14)和(15)式分别等于零就可分别求解斜率参数和项目类别参数b"但在计 算时要遇到大量的W重积分(M：是项目i的特质维度数)所以须用Gauss-Hermite求积公式 分别对仃4)和仃5)式进行近似计算，并运用选代计算方法，逐步达到所需的精度因过程较 复杂，这里不再展开2・能力参数的估计Bock和Aitkin(1981年)曾对全息项目因素分析的能力参数B ,即公共因素得分的估 计方法作了专门研究，他们将极大似然估计(ML)、极大后验估计(MAP)和期望后验估计(EAP) 三种方法作了比较Bock和Mislevy（1982年）又证明了 EAP方法较其他两种方法具有更好 的优良特性所以Muraki和Carlson（1995年）的MGRM采用了 EAP方法来估计能力得分B E m二1, 2,…,M「第m维度上的能力得分0的EAP估计就是指0 〃的后验分布中的m维度上的 能力得分的平均数即^\e^p(e\u)do■(16)-i式中的U.：是反丿、、/•模式为j的反映矩阵，血i&卜nh［匕血 （17）•l *•

f（Uj| 9 ）称作反映矩阵山的似然函数，g（ 9 ）是先验概率密 度，h（Uj）是反应矩阵山的边际概率16）式的多重积分可使用Gauss-Hermite求积公式进行高精度的近似计算现在假设观 测反应矩阵U的模式为1,则1在空间0中的第m维上的EAP估计0m的计算公式是(19)•・・ XJ.(X)A{Xtt ]A(Xti)-A(Xj0.=仝_ ——式中的Xfi表示能力空间中。