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离散时间信号的傅里叶变换教学教案讲义.docx

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    • 第三章 离散时间信号的傅里叶变换课程:数字信号处理目 录第三章 离散时间信号的傅里叶变换 .......................................2教学目标 ............................................................................................................................23.1 引言 ....................................................................................................................23.2 傅里叶级数 CFS ...............................................................................................33.2.1 傅里叶级数 CFS 定义 .............................................................................33.2.2 傅里叶级数 CFS 性质 .............................................................................53.3 傅里叶变换 CFT ...............................................................................................63.3.1 傅里叶变换 CFT 定义 .............................................................................63.3.2 傅里叶变换 CFT 的性质 .........................................................................73.4 离散时间信号傅里叶变换 DTFT.....................................................................83.4.1 离散时间信号傅里叶变换 DTFT 定义 ...................................................83.4.2 离散时间信号傅里叶变换的性质 ...........................................................83.5 周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)..............................................................123.5.1 周期序列的离散傅里叶级数的定义 .....................................................133.5.2 周期序列的离散傅里叶级数的性质 .....................................................173.6 离散傅里叶变换(DFT) ...................................................................................193.6.1 离散傅里叶变换(DFT) ..........................................................................193.6.2 离散傅里叶变换的性质 .........................................................................213.7 CFS、CFT、DTFT、DFS 和 DFT 的区别与联系 .......................................233.8 用 DFT 计算模拟信号的傅里叶分析 ............................................................253.9 实验 ..................................................................................................................28本章小结 ..........................................................................................................................30习题 ..................................................................................................................................31参考文献: ......................................................................................................................34第三章 离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换,频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质,对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。

      通过本章的学习,要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用;了解一些典型信号的傅里叶变换;理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系;掌握傅里叶变换的参数选择,以及这些参数对傅里叶变换性能的影响;了解信号处理中其它算法(卷积、相关等)可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现3.1 引言一束白光透过三棱镜,可以分解为不同颜色的光,这些光再通过三棱镜,就会得到白光傅里叶指出,一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和,这即是傅里叶级数求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析傅里叶分析方法相当于三棱镜,信号即是那束白光傅里叶的两个最主要的贡献:1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和;2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究在对傅里叶级数的研究中,复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。

      根据信号的周期性、连续性,可以划分为四种重要的傅里叶变换周期信号(不管离散与否)都可以用傅里叶级数(Fourier Series)表示:如果输入信号为周期连续时间信号,则有连续时间傅里叶级数(continuous-time Fourier series, CTFS),如果输入信号为周期离散时间信号,则有离散时间傅里叶级数(discrete-time Fourier series,DTFS)非周期信号(不管离散与否)都可以用傅里叶变换(Fourier transform)表示:连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换(continuous-time Fourier transform, CTFT),离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换(discrete-time Fourier transform,DTFT)基础知识一、周期函数先从周期函数开始讨论设一个函数 是周期性的,周期为 T,如果有一个 ,𝑓(𝑡) 𝑇>0(1.)𝑓(𝑡)=𝑓(𝑡+𝑛𝑇), 𝑛=0,±1,±2,……使等式成立,则称 ,T 为的最小正周期𝑇=2𝜋𝜔0二、三角函数时间周期的经典例子是谐振荡器,先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起:(2.)𝑥𝑎(𝑡)=𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡+𝜑)在这个表达式中,参数 A 是振幅,频率是 f,相位是 。

      𝜑如果将上式采样,即:(3.)𝑥(𝑛)=𝑥𝑎(𝑛𝑇𝑠)=𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑇𝑠𝑛+𝜑)=𝐴𝑠𝑖𝑛(Ω𝑇𝑠𝑛+𝜑)f 为模拟频率,单位 Hz, 为采样周期,单位秒 s, ,为模拟角频率关系表𝑇𝑠 Ω=2𝜋𝑓达式如下:(4.)𝜔=2𝜋𝑓𝑇𝑠=2𝜋𝑓/𝑓𝑠=Ω𝑇𝑠=Ω/𝑓𝑠三、复指数函数欧拉公式,因为:(5.)𝑒𝑗=𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑗𝑠𝑖𝑛𝑥所以正弦信号的复数形式数学定义如下:(6.)𝑥(𝑡)=𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡=𝑐𝑜𝑠⁡(𝑘𝜔0𝑡)+𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜔0𝑡)3.2 傅里叶级数 CFS3.2.1 傅里叶级数 CFS 定义傅里叶的思想是,所有的周期函数都可以表示为正弦信号的加权和 [8],即:(7.)𝑥(𝑡)=𝑎0+∑∞𝑘=0𝑎𝑛cos(𝑘𝜔0𝑡)+𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜔0𝑡)是常量,通常叫做直流分量(DC)𝑎0上式用复指数的形式可表示为:(8.)𝑥(𝑡)=∑∞𝑘=‒∞𝑋𝑘𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡两边同时乘以 ,并从 0 到 T 积分,得到 [8]𝑒-𝑗𝑛𝜔0𝑡(9.)∫𝑇0𝑥(𝑡)𝑒‒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡=∫𝑇0∑∞𝑘=‒∞𝑋𝑘𝑒𝑗(𝑘‒𝑛)𝜔0𝑡𝑑𝑡=∑∞𝑘=‒∞𝑋𝑘∫𝑇0𝑒𝑗(𝑘‒𝑛)𝜔0𝑡𝑑𝑡再看:(10.)∫𝑇0𝑒‒𝑗(𝑛‒𝑘)𝜔0𝑡𝑑𝑡=∫𝑇0[cos(𝑛‒𝑘)𝜔0𝑡‒𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑛‒𝑘)𝜔0𝑡]𝑑𝑡这是一个周期为 的函数 [9],当 n=k 时,结果为 1,,因此式(10)可以写成:|𝑇𝑛‒𝑘|∫𝑇0𝑥(𝑡)𝑒‒𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡=𝑋𝑘𝑇𝑋(𝑘)=1𝑇∫𝑇0𝑥(𝑡)𝑒‒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡当 n 时等式(10)的结果为 0。

      因此傅里叶系数 Fourier coefficients 可以写成:≠𝑘(11.)𝑋(𝑘)=1𝑇∫𝑇0𝑥(𝑡)𝑒‒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡故,其傅里叶变换对可以写为 [10](12.)𝑋(𝑘)=1𝑇0∫𝑇0/2‒𝑇0/2𝑥(𝑡)𝑒‒𝑗2𝜋𝑘𝑓𝑡𝑑𝑡(13.)𝑥(𝑡)=∑+∞𝑘=-∞ 𝑋(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑓𝑡正交基和向量理解为了便于对傅里叶变换的理解,就要借用向量首先复习几个概念内积:对于两个向量,他们的内积就是各个分量相乘再求和正交是内积为 0 的情况,在二维空间上可以理解为垂直例如,在三角函数系中{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ...},任意两个不同元素的内积都为零,因此这个集合成为正交集合空间:如果该空间的任意元素进行加法和乘法计算后的结果仍然属于该空间,那就组成一个向量空间如果空间内有一个子集合,子集合的元素两两正交,那该子集合就是向量空间的基上面用于展开傅里叶级数的 可𝑒‒𝑗𝑘𝜔0以看成是一组正交的基所以对于傅里叶展开来说,任何正交的空间,都可以作为展开的基函数,三角函数和复指数只是其中一类基函数。

      简单地说傅里叶变换就是把信号投。

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