新课标高考圆锥曲线知识点大整合.doc

圆锥曲线知识大整合】 【2015 独家完整修订版】 ——MHK1、 #圆锥曲线_专有名词介绍 2、 #圆锥曲线_基础知识表格3、 #圆锥曲线_万能公式推导 4、 #计算渣渣的福音_不用联立方程的硬解公式圆锥曲线(专有名词介绍)圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线焦点--准线观点的定义办法（第二定义）给定一点 P，一直线 L 以及一非负实常数 e，则到 P 的距离与 L 距离之比为 e 的点的轨迹是圆锥曲线根据 e 的范围不同，曲线也各不相同1) e=0，轨迹退化为点（即定点 P） ；(2) e=1（即到 P 与到 L 距离相同） ，轨迹为抛物线；（3) 01，轨迹为双曲线定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。

因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线而抛物线只有一个焦点和一条准线圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称Pappus 定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率焦半径：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径圆锥曲线左右焦点为 F1、F2 ，其上任意一点为 P(x,y） ，则焦半径为(见表格)切线方程：圆锥曲线上一点 P（ ， ）的切线方程：以 代替 ，以 代替 ；以（x0+x)/2 代替 x，以（y0+y)/2 代替 y 即椭圆：x0x/a^2+y0y/b^2=1；双曲线： x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线：y0y=p(x0+x)焦准距：圆锥曲线的焦点到准线的距离 p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形设 F1、F2 分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P 为椭圆或双曲线上的一点且 PF1F2 能构成三角形若∠F1PF2=θ，则椭圆焦点三角形的面积为 S= tan（θ/2） ；双曲线焦点三角形的面积为 S= cot（ θ/2 ）通径：圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。

椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质：定义平面内与两定点 F1、F 2的距离的和等于常数 2a（2a>|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆定点 F1、F 2叫做焦点，定点间的距离叫焦距定义式：|PF 1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|).注：若 2a=|F1F2|,动点 P 的轨迹是线段 F1F2；若 2a|F1F2|,轨迹不存在xOF1PB2B1F2图 形中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程)0(12bayx )0(2baxy顶 点 ,),21A,),021B对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyba焦 点 )0,(,(21cF ),(),(21cF焦 距 )||12c离心率 （离心率越大，开口越大）()ea准 线 cx2cay2渐近线 aby xb焦半径在左支P021||exF在右支 021|a在下支P021|eyaF在上支 021||通 径 （ 为焦准距）epbyxOF1 F2P yA2A1焦准距 cbap2抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质： 0p定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线，其中 F lxO FPylOFP y lxOFPylxOFPyx图 形焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向左焦点在 轴上，y开口向上焦点在 轴上，y开口向下标准方程pxy2pxy2py2pyx2准 线 焦 点 )0,2(F)0,2(F)2,0(F)2,0(F对称轴 轴x 轴y焦半径 ||0pP ||0pP顶 点 )0,(O离心率 1e通 径 p2焦点弦 （ 为焦点弦的倾斜角,当 时，为 ——通径）221sinpx 2p焦准距 p一、圆锥曲线的统一定义(第二定义)：若平面内一个动点 到一个定点 和一条定直线 的距离之比等于一个常数 ，MFl )0(e则动点的轨迹为圆锥曲线其中定点 为焦点，定直线 为准线， 为离心率e当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线10e1e1e1.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上如已知方程x2y表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是__（答：22myx）)3,(,(（2 ） 双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭12圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，,ab确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2 ）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， a22bcc222、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，0(,)Pxy12,F12,r12FPS（1）在椭圆 中， ① ＝ ，且当 即 为短轴端点时， 最大12bax)arcos(21b12为 ＝ ；② ，当 即 为短轴端点时， 的max2rcos20tn|Sy0|bPmaxS最大值为 bc；（2）对于双曲线 的焦点三角形有：① ；②21xyab21arcosrcotsin122rS3．你了解下列结论吗？（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax02byax（2 ）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为1为参数， ≠0） 。

若 ，焦点在 x 轴上，若 ，焦点在 y 轴上(2yx 00（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；21mn（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（5）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经2(0)ypx过定点 (2,0)p(6)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，即 a=b, 从而离心率 e= .2（7 ）抛物线 的焦点为 F，过 F 的焦点弦 AB 的倾斜角为 ，则 .)0(2pxy sin2|pAB以上述焦点弦 AB 为直径的圆与其准线相切8.4 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.一直线与圆锥曲线的交点：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.二直线与圆锥曲线的位置关系：判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线的 r 的方程：F(x,y)=0,消去 y 得到一个关于 x 的一元方程。

即 ，消去 y 得0),(,yxFcBA0cbax(1) 当 a 0,则有 >0，直线 l 与圆锥曲线相交；当 =0 时，直线与曲线 r 相切； <0 时，直线 r 与曲线 r 相离2) 当 a=0，即得到一个一次方程，则直线 l 与曲线 r 相交，此时，若 r 是双曲线，则直线l 与双曲线 r 的渐近线平行；r 是抛物线，则直线 r 与抛物线的对称轴位置关系是：平行或重合注意：开放型曲线（双曲线和抛物线）的特殊性:①相交： 直线与椭圆(圆) 相交0直线与双曲线相交直线与抛物线相交②相切： 直线与椭圆(圆) 相切 直线与椭圆(圆)只有一个公共点；直线与双曲线相切 直线与双曲线只有一个公共点；直线与抛物线相切 直线与抛物线只有一个公共点；0三．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦若该弦通过了圆锥曲线的焦点，此时得到的弦也叫焦点弦当直线的斜率存在时，弦长 2222211111()()()[)4]lxykxkxx当斜率 K 存在且非零时， .122lyk8.5 轨 迹 问 题一．坐标法：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，它解决的主要问题是：①根据已知条件，求平面曲线的方程； ②通过曲线的方程研究平面曲线的性质。

二．曲线与方程的概念：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 建立了如下的关系：（1 ）曲线上的点的坐标都是这个方程的解——纯粹性；（2 ）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点——完备性；那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线点与曲线的关系： ①若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则：点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0②若曲线 C1，C 2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则方程组 有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组2(,)0fxy没有实数解，曲线就没有 交点 点 P0(x0,y0)是 C1，C 2的交点 102(,)fxy三．求曲线方程( 动点轨迹方程)的常用方法：（1）直接法（直译法）：把题中提供的等量关系直接转换为关于 x,y 的方程用此法求轨迹方程的一般步骤是：①建立适当的坐标系，设出动点的坐标；②列出等量关系式；③用坐标将等量关系式化为方程 f(x,y)＝0; ④化简方程; ⑤检验曲线完备性、纯粹性（要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明 x 的取值范围，或同时注明x.,y 的取值范围） 。

2）定义法：若动点的轨迹满足常见曲线的定义，则根据定义直接求出轨迹方程3）待定系数法：已知曲线的类型，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可设出含有待定系数的方程，再根据题设中的条件，确定系数，从而求得曲线的方程注：求圆锥曲线方程的问题，可按照“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线对称轴的位置与焦点位置定式——根据“形” 设方程的形式，如：当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2+ny2=1(m＞0,n＞0) ；如果双曲线的渐近线为 时，可设方程为0byax.)0(2byax定量——由题设中的条件求出待定系数的值，从而得到所求的曲线方程4 ）代入法（相关点法，转移法）动点 P 随着曲线 C 上动点 Q 变化而变化，可考虑此法其关键是用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标，再将 Q 的坐标代入曲线 C 的方程，从而得到点P 的轨迹方程 (5)参数法：有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却容易发现（或经过分析发现）这个动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距，或时间等）的制约，即动点的坐标（x,y）分别随另一个变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程。