微分中值定理的.pdf

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第19卷第2期大 学 数 学Vol . 19,№. 2 2003年4月COLLEGE MA THEMA T ICSApr.2003 微分中值定理的历史演变 陈 宁 (河北远东职业技术学院,河北 固安065506) 微分中值定理,是微分学的核心定理,研究函数的重要工具,历来受到人们的重视. 微分中值定理有着明显的几何意义,以拉格朗日定理为例,它表明 “一个可微函数的曲线段,必有一 点的切线平行于曲线端点的弦.” 从这个意义上来说,人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古 希腊时代,古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓 形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(A rchi medes,公元前287—前 221) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri, 1598—1674)在 《不可分量 几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3用基于几何的观点也 叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人 们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了,按历史顺序: 1637年,著名法国数学家费 马(Fermat, 1601—1665)在 《求最大值和最小值的方法》 中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它作 为微分中值定理的第一个定理. 1691年,法国数学家罗尔(Rolle, 1652—1719)在 《方程的解法》 一文中给 出多项式形式的罗尔定理. 1797年,法国数学家拉格朗日(Largrange, 1736—1813)在 《解析函数论》 一书 中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy, 1789—1857),他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著 《分析教程》 、 《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》 (1829年 ), 以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中 值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在 《无穷小计算教程概论》 中,柯西首先严格地证明了 拉格朗日定理,又在 《微分计算教程》 中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分 中值定理. 1 费马定理 费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法 “虚拟等式法”,从 而得出原始形式的费马定理. 所谓的虚拟等式法,可以用下例加以说明.费马在求得一个长度为b的线段,如何划分为两个线段 x和b-x,使它们积x(b-x)为最大时,采用以下方法:用x+e代替x,得到表达式 (x+e) (b-x-e )= bx+be-x 2- 2xe- e 2, 并与表达式x(b-x)进行比较,得到虚拟等式 bx+be-x 2- 2xe- e 2 ∽xb-x 2 即2xe+e2∽be. 再将所得各项除以e,得2x+e∽b.然后去掉仍含e的项,再将虚拟等式化为真正的等式2x=b,从而得 [收稿日期] 2002204208 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 到x= b 2 ,使x(b-x)为最大. 费马的 “虚拟等式法” 可能基于一种非常直观的想法,如果f(x0)为f(x)的极大值,那么从直观上 来看,f(x)在x0附近值变化很小,当e很小时f(x)和f(x+e)差很小.用现代语言来说,对于函数f(x ), 让自变量从x变化到x+e,当f(x)为极值时,f(x)和f(x+e)的差近似为0,用e除虚拟等式, f(x+e )- f(x) e ∽0,然后让e→0,就得到函数极值点的导数值为0,这就是我们在高等数学中得到费马 定理:函数f(x)在x=x0处取极值,并且可导,则f′(x0 )= 0. 这里应特别指出:费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念, 用现代眼光来看,其论断也是不严格的.我们现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的 实质重新创造的. 2 罗尔定理 罗尔在1691年发表的论著 《方程的解法》 给出了 “在多项式a0 x n+ a1x n- 1+ ⋯+an- 1x+a0= 0的两个 相邻根中,方程na0 x n- 1 + ( n - 1) a1x n- 2+ ⋯+an- 1= 0至少有一个实根.” 这是定理:“f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)上可导,并且f(a )= f(b ), 则必存在一点 Ν ∈(a,b ), 使f′(Ν )= 0 ” 的特例.也就是以上定理被 称为罗尔定理的原因. 最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法 加以证明的,和微积分并没有什么联系.我们现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并 把它推广为一般函数,“罗尔定理” 这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯 在1846年发表的论文中正式使用的. 3 拉格朗日定理 拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指:“f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则 存在一点 Ν ∈(a,b ), 使f (b )- f(a) b-a =f′(Ν ). ” 这一定理是拉格朗日在 《解析函数论》 一书中首先给出的, 它最初形式为:“函数f(x)在x0和x之间连续,f′(x)的最大值为A,最小值为B,则f (x )- f(x0) x-x0 必取 A,B中一个值.” 历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在 《解析函数论》 中给出的. 在证明中,拉格朗日从他在 《解析函数论》 中的基本观点:f(z+ i ) = f(z ) + i f′(z ) + i2 2 f″(z ) + ⋯出 发,证明了如下结论:“z在[a,b]上变化,若f′(z)为正值,则f(b ) - f(a)为正值”.在此基础上,他给出 辅助函数F′(z )= z m Z(z ), 其中z∈[a,b]时,N 0. 由于F′(z )= z m Z(z ), 故f′(z )= z mM -F′(z ). 利用反微分法,f(z )= z m+ 1 m+ 1 M-F(z ), 让z= a和z=b,拉格朗日得到如下不等式, F(b )- F(a ) N(b m+ 1- a m+ 1) m+ 1 . 故, N(b m+ 1- a m+ 1) m+ 1 0 时,f(x)在[x0,x]上单调增加,有f(x ) > f(x0 ). 由此他设F′(x) > 0,且F(x0) =f(x0 )= 0. 设A和B为商f′(x)?F′(x)在[x0,x]上的最大值和最小值,柯西证明了: f′(x )- A F′(x)≥0, f′(x )- B F′(x)≤0, 89大 学 数 学 第19卷 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 则f(x )- A F(x)和f(x ) - B F(x)在[x0,x]上一个非减,一个非增,二者在点x0外的值均为零.可知, f(x )- A F(x)≥0,f(x ) - B F(x)≤0,因此A≤f (x) F(x) ≤B.对f′(x)?F′(x)应用中间值定理,必得点 Ν, 使f (x )- f(x0) F(x )- F(x0) = f′(Ν)。