第三节矩阵的基本运算.docx

第三节　矩阵的基本运算§3.1 加和减§3.2矩阵乘法§3.2.1 矩阵的普通乘法§3.2.2 矩阵的 Kronecker乘法§3.3 矩阵除法§3.4矩阵乘方§3.5 矩阵的超越函数§3.6数组运算§3.6.1数组的加和减§3.6.2数组的乘和除§3.6.3 数组乘方§3.7 矩阵函数§3.7.1三角分解§3.7.2正交变换§3.7.3奇异值分解§3.7.4 特征值分解§3.7.5秩§3.1 加和减如矩阵 A 和 B 的维数相同，则 A+B 与 A-B 表示矩阵 A 与 B 的和与差．如果矩阵 A和 B 的维数不匹配，Matlab 会给出相应的错误提示信息．如：A= B=1 2 3 1 4 74 5 6 2 5 87 8 0 3 6 0C =A+B 返回：C =2 6 106 10 1410 14 0如果运算对象是个标量（即 1×1 矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：x= -1 y=x-1= -20 -12 1 §3.2 矩阵乘法Matlab 中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有 Kronecker 乘法，以下分别介绍．§3.2.1 矩阵的普通乘法矩阵乘法用“ * ”符号表示，当 A 矩阵列数与 B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B，结果为C=41× 85=8463432121=503219即 Matlab 返回：C =19 2243 50如果 A 或 B 是标量，则 A*B 返回标量 A（或 B）乘上矩阵 B（或 A）的每一个元素所得的矩阵．§3.2.2 矩阵的 Kronecker 乘法对 n×m 阶矩阵 A 和 p×q 阶矩阵 B，A 和 B 的 Kronecher 乘法运算可定义为：aaCnmnm..212112由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积 AB 表示矩阵 A 的所有元素与 B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和 B A 均为 np×mq 矩阵，但一般情况下 A BB A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的 Matlab 命令为 C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵 A 和 B：A=1234B=326则由以下命令可以求出 A 和 B 的 Kronecker 乘积 C：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)C =1 3 2 2 6 42 4 6 4 8 123 9 6 4 12 86 12 18 8 16 24作为比较，可以计算 B 和 A 的 Kronecker 乘积 D，可以看出 C、D 是不同的：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)D =1 2 3 6 2 43 4 9 12 6 82 4 4 8 6 126 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法在 Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果 A 矩阵是非奇异方阵，则 A\B 是 A 的逆矩阵乘 B，即 inv(A)*B；而 B/A 是 B 乘 A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．通常：x=A\B 就是 A*x=B 的解；x=B/A 就是 x*A=B 的解. 当 B 与 A 矩阵行数相等可进行左除．如果 A 是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j) 表示 B 矩阵的第 j 列，返回的结果 x 具有与 B 矩阵相同的阶数，如果 A 是奇异矩阵将给出警告信息．如果 A 矩阵不是方阵，可由以列为基准的 Householder 正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是 m×n 的 x 矩阵．m 是 A 矩阵的列数，n 是 B 矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有 k 个非零元素，k 是 A 的有效秩．右除 B/A 可由 B/A=(A'\B')'左除来实现．§3.4 矩阵乘方A^P 意思是 A 的 P 次方．如果 A 是一个方阵，P 是一个大于 1 的整数，则 A^P 表示 A的 P 次幂，即 A 自乘 P 次．如果 P 不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）如果 B 是方阵， a 是标量，a^B 就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的 B 次方程阵． 如果 a 和 B 都是矩阵，则 a^B 是错误的．§3.5 矩阵的超越函数在 Matlab 中解释 exp(A)和 sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在 A 的单个元素上． Matlab 可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m ”加在函数名的后边而成 expm(A)和 sqrtm(A)，当 Matlab 运行时，有下列三种函数定义：expm 矩阵指数logm 矩阵对数sqrtm 矩阵开方所列各项可以加在多种 m 文件中或使用 funm．请见应用库中 sqrtm.m，1ogm.m ，funm.m文件和命令手册．§3.6 数组运算数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\ ”、 “^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．§3.6.1 数组的加和减对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．§3.6.2 数组的乘和除数组的乘用符号.*表示，如果 A 与 B 矩阵具有相同阶数，则 A.*B 表示 A 和 B 单个元素之间的对应相乘．例如 x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];计算 z=x.*y结果 z=4 10 18数组的左除（.\）与数组的右除（ ./），由读者自行举例加以体会．§3.6.3 数组乘方数组乘方用符号.^表示．例如：键入：x=[ 1 2 3]y=[ 4 5 6]则 z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729](1) 如指数是个标量，例如 x.^2，x 同上，则：z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9](2) 如底是标量，例如 2 .^[x y] ，x、y 同上，则：z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64]从此例可以看出 Matlab 算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在 2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是 2 的小数点． Matlab 看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．§3.7 矩阵函数Matlab 的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入 Matlab 本身处理中，它从外部的 Matlab 建立的 M 文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab 提供数学基础的 LINPACK 和 EISPACK 软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：(1)三角分解；(2) 正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．§3.7.1 三角分解最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．从 lu 函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数 inv 得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和 “/”矩阵除法来得到．例如：A=[ 1 2 34 5 67 8 0]LU 分解，用 Matlab 的多重赋值语句[L,U]=lu(A)得出L =0.1429 1.0000 00.5714 0.5000 1.00001.0000 0 0U =7.0000 8.0000 00 0.8571 3.00000 0 4.5000注：L 是下三角矩阵的置换，U 是上三角矩阵的正交变换，分解作如下运算，检测计算结果只需计算 L*U 即可．求逆由下式给出： x=inv(A)x =-1.7778 0.8889 -0.11111.5556 -0.7778 0.2222-0.1111 0.2222 -0.1111从 LU 分解得到的行列式的值是精确的，d=det(U)*det(L)的值可由下式给出：d=det(A)d =27直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)d =27.0000为什么两种 d 的显示格式不一样呢? 当 Matlab 做 det(A)运算时，所有 A 的元素都是整数，所以结果为整数．但是用 LU 分解计算 d 时，L、U 的元素是实数，所以 Matlab 产生的 d 也是实数．例如：线性联立方程取 b=[ 135]解 Ax=b 方程，用 Matlab 矩阵除得到x=A\b结果 x=0.33330.33330.0000由于 A=L*U，所以 x 也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的 x 值，中间值 y 为：y =5.00000.28570.0000Matlab 中与此相关的函数还有 rcond、chol 和 rref．其基本算法与 LU 分解密切相关．chol 函数对正定矩阵进行 Cholesky 分解，产生一个上三角矩阵，以使 R'*R=X．rref 用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵 A 的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在 Matlab 中．§3.7.2 正交变换“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．例如 A=[ 1 2 34 5 67 8 910 11 12]是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行 QR 分解：[Q,R]=qr(A)Q =-0.0776 -0.8331 0.5444 0.0605-0.3105 -0.4512 -0.7709 0.3251-0.5433 -0.0694 -0.0913 -0.8317-0.7762 0.3124 0.3178。