指数函数习题精选精讲.pdf

指数函数指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨．1．比较大小例 1已知函数f (x)  x bx c满足f (1 x)  f (1 x),且f (0)  3,则f (b )与f (c )的大小关系是_____．分析：先求b，c的值再比较大小,要注意b ，c的取值是否在同一单调区间内．xx2xx解：∵f (1 x)  f (1 x),∴函数f (x)的对称轴是x 1．故b  2,又f (0)  3,∴c  3．1上递减,在1 ， ∞上递增．∴函数f (x)在∞，若x≥0,则3xx≥2x≥1,∴f (3x)≥f (2x)；x若x  0,则321,∴f (3 )  f (2 )．xx综上可得f(3 )≥f(2 ),即f (c )≥f (b )．xxxx评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2已知(a  2a 5)23x (a2 2a 5)1x,则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围．解：∵a  2a 5  (a 1)  4≥4 1,22∴函数y  (a  2a 5)在(∞， ∞)上是增函数,∴3x 1 x,解得x 2x1 1．∴x的取值范围是， ∞．44评注：利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3求函数y 1 6解：由题意可得16x2x2的定义域和值域．≥0,即6x2≤1,2．∴x  2≤0,故x≤2．∴函数f (x)的定义域是∞，令t  6x2,则y 1t,x2又∵x≤2,∴x  2≤0．∴0  6≤1,即0  t≤1．1 / 7.∴0≤1t 1,即0≤y 1．1．∴函数的值域是0，评注：利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4函数y  ax2x 2ax1(a  0且a 1)在区间[11]，上有最大值 14,则a的值是_______．分析：令t  a可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t的取值范围．解：令t  a,则t  0,函数y  ax2x 2ax1可化为y  (t 1)22,其对称轴为t  1．，∴当a 1时,∵x11,∴11≤ax≤a,即≤t≤a．aa2∴当t  a时,ymax (a 1) 2 14．解得a 3或a  5〔舍去；，当0  a 1时,∵x11,∴a≤ax≤11,即a≤t≤,aa21 1∴t 时,ymax1 2 14,aa解得a 111或a  〔舍去,∴a的值是 3 或．353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如：换元法,整体代入等．5．解指数方程例 5解方程3x232x80．x2xx2解：原方程可化为9(3 ) 803 9  0,令t  3 (t  0),上述方程可化为9t 80t 9  0,解得t  9或t  ∴x  2,经检验原方程的解是x  2．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根．6．图象变换及应用问题例 6为了得到函数y 935的图象,可以把函数y  3的图象〔．xx1x〔舍去,∴3  9,9A．向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度B．向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度C．向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度D．向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数y 935转化为t 3xx25,再利用图象的平移规律进行判断．解：∵y  93 5  3xx25,∴把函数y  3x的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数y 93x5的图2 / 7.象,故选〔C．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法 ,利用其直观性实现数形结合解题 ,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：〔1 若〔2 若〔3 若〔4 若〔5 若,比较,比较,比较与与与,且,且；；；,比较a与b；,比较a与b．解：〔1 由,故,此时函数为减函数．由,故．〔2 由,故．又,故．从而．〔3 由,因,故．又,故．从而．〔4 应有．因若,则矛盾．．又,故,这样．又因,故．从而,这与已知〔5 应有．从而．因若,则．又矛盾．,故,这样有．又因,且,故,这与已知小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2 曲线<分别是指数函数,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,和的图象,则与 1 的大小关系是 < >.分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,故应选识图,用图的意识.求最值3求下列函数的定义域与值域.<1>y＝21x3 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第<1>题是由数到形的转化,第<2>题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生;<2>y＝4x+2x+1+1.1x3解：<1>∵x-3≠0,∴y＝21x31的定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵≠0,∴2x3≠1,x 31∴y＝2的值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝.<2>y＝4x+2x+1+1 的定义域为 R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝<2x>2+2·2x+1＝<2x+1>2>1.3 / 7.∴y＝4x+2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝.4 已知-1≤x≤2,求函数 f=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1≤x≤2,所以-24。

5、设,求函数的最大值和最小值．1 t 9,且 f=g=-2+12,故当 t=3 即 x=1 时,f取最大值12,当 t=9 即 x=2 时 f取最小值3分析：注意到法,可求得函数的最值．解：设,由知,,设,则原来的函数成为,利用闭区间上二次函数的值域的求,函数成为,,对称轴,故函数最小值为,因端点6〔9 分已知函数．解：较距对称轴远,故函数的最大值为．y  a2x2ax1(a 1)在区间[－1,1]上的最大值是 14,求a的值.1y  a2x2ax1(a 1),换元为y  t2 2t 1( t  a),对称轴为t  1.a当a 1,t  a,即x=1 时取最大值,略解得a=3 〔的最小值； 〔2 若且,求的取值范围．7．已知函数〔1 求．解：〔1,当即时,〔2当当有最小值为,解得时,时,；．8〔10分〔1已知〔2画出函数f(x) 2m是奇函数,求常数m的值；x3 1y|3x1|的图象,并利用图象回答：k为何值时,方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？解： 〔1常数m=1〔2当k<0时,直线y=k与函数y|3x1|的图象无交点,即方程无解;xy |3 1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;当k=0或k1时, 直线y=k与函数当 0

4 / 7.9．若函数．解：为奇函数,是奇函数,求的值．,即,则10. 已知 9x-10.3x+9≤0,求函数 y=〔,1x-11x-4·〔+2 的最大值和最小值42解：由已知得〔3x2-10·3x+9≤0得〔3x-9〔3x-1≤0∴1≤3x≤9故 0≤x≤21x-1111>-4·<>x+2= 4·〔2x-4·〔x+2422211令 t=〔x〔 t 1241则 y=f〔t=4t2-4t+2=4〔t-2+121当 t=即 x=1 时,ymin=12而 y=<当 t=1 即 x=0 时,ymax=211．已知,求函数的值域．解：由得,即,解之得,于是,即,故所求函数的值域为12. <9 分>求函数y2x23x2x22x2的定义域,值域和单调区间定义域为 R 值域〔0,8〕〔3 在〔-∞, 1〕上是增函数在〔1,+∞上是减函数13求函数 y＝13 u的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题1可设 y＝ 31,u＝x2-3x+2,其中 y＝ 3u为减函数∴u＝x2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间<即减减→增>u＝x2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间<即减、增→减>1解：设 y＝ 3u,u＝x2-3x+2,y 关于 u 递减,5 / 7.3>时,u 为减函数,23∴y 关于 x 为增函数；当 x∈［,+∞>时,u 为增函数,y 关于 x 为减函数.2当 x∈<-∞,ax114已知函数 f＝x0 且 a≠1>.a 1<1>求 f的定义域和值域；<2>讨论 f的奇偶性；<3>讨论 f的单调性.解：<1>易得 f的定义域为｛x｜x∈R｝.ax1y 1y 1y 1设 y＝x,解得 ax＝-①∵ax>0 当且仅当->0 时,方程①有解.解->0 得-1的值域为｛y｜-1＜y＜1}.ax11 ax<2>∵f<-x>＝x＝a11 ax＝-f且定义域为 R,∴f是奇函数.(ax1)  22<3>f＝＝1-.ax1ax11°当 a>1 时,∵ax+1 为增函数,且 ax+1>0.ax1ax122∴x为减函数,从而 f＝1-x＝x为增函数.2°当 0＝x为减函数.a 1a 1a 1a 115、已知函数f〔x=a－2〔a∈R,x2 1（1）求证：对任何a∈R,f〔x为增函数．（2）若f〔x为奇函数时,求 a 的值。

∴f (1)  f (x)  f (0)即f (x)(,)同理f (x)在〔－1,0 时,f (x)(又f (1)  f (0)  f (1)  0∴当(2 15 212,)25122 1,)(,)或 0时255 2f (x) 在[－1,1]内有实数解函数 y＝a｜x｜1>的图像是<>分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想.解法 1：<分类讨论>：ax　　　　　(x  0),去绝对值,可得 y＝ 1x(x  0).( ) 　　　　 a又 a>1,由指数函数图像易知,应选 B.解法 2：因为 y＝a｜x｜是偶函数,又 a>1,所以当 x≥0 时,y＝ax是增函数；x＜0 时,y＝a-x是减函数.∴应选 B.7 / 7。