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18.1.2 18.1.2 平行四边形的判定平行四边形的判定 第第2 2课时课时18.1 18.1 平行四边形平行四边形一、温故1 1．．回忆平行四边形的判定定理：回忆平行四边形的判定定理： 平平形形四四边边形形的的判判定定两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形边边两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形角角对角线对角线(定义定义)(判定定理判定定理1)(判定定理判定定理2)(判定定理判定定理3)　　如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：　　如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：（（1））∵∵　　AB∥∥CD，，　　　　　　　　　　　　　　，， ∴ ∴　四边形　四边形ABCD是平行四边形．是平行四边形．（（2））∵∵　　AB= =CD，，　　　　　　　　　　　　　　，， ∴ ∴　四边形　四边形ABCD是平行四边形是平行四边形．．　　如果只考虑一组对边，　　如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边个四边形能成为平行四边形？形？ AD∥∥BC　AD= =BC　A B C D 二、知新或或 A AB BC CD D四边形四边形ABCDABCD是什么样的图形？是什么样的图形？猜测：猜测：将一根木棒从将一根木棒从AB平移到平移到DC，，AB与与DC之间有何之间有何位置关系、数量关系？位置关系、数量关系？ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 吗？吗？A AB BC CD D已知：已知：AB∥CDAB∥CD，， ABAB＝＝CD.CD.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .证明：证明：连接连接BD.BD.∵ AB∥CD∵ AB∥CD，，∴∠1∴∠1＝＝ ∠ ∠2 2，，又又∵∵ AB AB ＝＝CD CD ，，BD BD ＝＝ DBDB，，∴△ABD ≌△CDB∴△ABD ≌△CDB（（SAS)SAS)，，∴AD ∴AD ＝＝ CBCB，，∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .12证一证证一证平行四边形的平行四边形的判定定理判定定理4：： 一组对边平行且相等的四边形是平一组对边平行且相等的四边形是平行四边形行四边形. .∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．符号语言：强调：同一组强调：同一组对边平行且相等对边平行且相等.A　B　C　D　E　F　　　　　1 1、　如图，在、　如图，在　　ABCD中，中，E，，F分别是分别是AB，，CD的的中点．求证：四边形中点．求证：四边形EBFD是平行四边形是平行四边形．．三、学以致用证明：证明：∵∵四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .∴AB ∴AB ∥∥ CD CD，，AB=CDAB=CD∵ ∵ E，，F分别是分别是AB，，CD的的中点．中点．. .∴BE ∴BE ∥∥ FD FD，，BE=FDBE=FD∴∴四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形是平行四边形. .　　　　2 2、、 如图，四边形如图，四边形AEFD和和EBCF都是平行四边形．都是平行四边形．求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形．．A　B　C　D　E　F　证明：证明：∵∵四边形四边形AEFDAEFD是平行四边形是平行四边形. .∴AD∴AD∥∥EFEF，，AD=EFAD=EF∴AD∴AD∥∥BCBC，，AD=EFAD=EF∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .∵∵四边形四边形EBCFEBCF是平行四边形是平行四边形. .∴BC∴BC∥∥EFEF，，BC=EFBC=EF　　　　 如图，分别以如图，分别以Rt△△ABC的直角边的直角边AC及斜边及斜边AB向外作等边向外作等边△△ACD、等边、等边△△ABE．且．且∠∠BAC= =30°°，，EF⊥⊥AB，垂足为，垂足为F，连接，连接DF．． （（1）试说明）试说明AC= =EF；；（（2）求证：四边形）求证：四边形ADFE是平行四边形是平行四边形．．A B C D E F 四四、、综合应用综合应用30°60°60°30°(1)(1)证明：证明：∵ ∵ ∠∠ACB= =90°° ∠∠BAC= =30°°. .∴ ∴ ∠∠A ABC= =60°°∵ ∵ △△ABE是是等边等边△△. .∴ ∴ ∠∠BAE= =60°°,AB=AE,AB=AE∵ ∵ EF⊥⊥AB，，∴ ∴ ∠∠A AEF= =30°°∴△ABC ≌△AFE∴△ABC ≌△AFE（（ASA)ASA)，，∴A∴AC=EFC=EF　　　　 如图，分别以如图，分别以Rt△△ABC的直角边的直角边AC及斜边及斜边AB向外作等边向外作等边△△ACD、等边、等边△△ABE．且．且∠∠BAC= =30°°，，EF⊥⊥AB，垂足为，垂足为F，连接，连接DF．． （（1）试说明）试说明AC= =EF；；（（2）求证：四边形）求证：四边形ADFE是平行四边形是平行四边形．．A B C D E F 四四、、综合应用综合应用30°60°60°30°∵ ∵ EF⊥⊥AB，，∴ ∴ ∠∠A AFE= = ∠∠DAB = =90°°, ,∴△ADF≌△FEA∴△ADF≌△FEA（（SAS)SAS)，，∴DF∴DF=AE=AE(2)(2)证法证法1 1：：∵ ∵ △△ACD是是等边等边△△. .∴ ∴ ∠∠DADAC= =60°°AD=ACAD=AC∴ ∴ ∠∠DAB= =90°°,AD=EF,AD=EF由由(1)(1)得得A AC=EFC=EF60°∵ ∵ AF=FA，，∴∴四边形四边形ADFEADFE是平行四边形是平行四边形.(.(两组对边分别相等的两组对边分别相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形) )　　　　 如图，分别以如图，分别以Rt△△ABC的直角边的直角边AC及斜边及斜边AB向外作等边向外作等边△△ACD、等边、等边△△ABE．且．且∠∠BAC= =30°°，，EF⊥⊥AB，垂足为，垂足为F，连接，连接DF．． （（1）试说明）试说明AC= =EF；；（（2）求证：四边形）求证：四边形ADFE是平行四边形是平行四边形．．A B C D E F 四四、、综合应用综合应用30°60°60°30°(2)(2)证法证法2 2：：∵ ∵ △△ACD是是等边等边△△. .∴ ∴ ∠∠DADAC= =60°°AD=ACAD=AC∴ ∴ ∠∠DAB= =90°°,AD=EF,AD=EF∵ ∵ EF⊥⊥AB，，∴ ∴ AD∥EFAD∥EF由由(1)(1)得得A AC=EFC=EF60°∴∴四边形四边形ADFEADFE是平行四边形是平行四边形.(.(一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形) )两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分两组对边分别平行两组对边分别平行平行四边形的判定方法共有几种？平行四边形的判定方法共有几种？一组对边平行且相等一组对边平行且相等四边形是平行四边形四边形是平行四边形边边角角对角线对角线五、课堂小结1.已知：如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AO=OC，BA⊥AC，DC⊥AC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.六、补偿提高证明：证明：∵ ∵ BA⊥AC，DC⊥AC. .又又∵ ∵ AO=OC，，∴ ∴ AB∥CDAB∥CD ∠∠A AOB= = ∠∠COCOD , ,∴△AOB≌△COD∴△AOB≌△COD（（ASA)ASA)，，∴∴四边形四边形ADFEADFE是平行四边形是平行四边形.(.(一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形) ) ∠∠BAO= = ∠∠DCO , ,∴ ∴ AB=CDAB=CD。