[函数对称性的探究]函数的对称性.docx

[函数对称性的探究]函数的对称性 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P‘（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）故点P‘（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P‘关于点A（a，b）对称，充分性得征推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）（证明留给读者）推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）定理3.①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称，∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称定理5.①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称三、三角函数图像的对称性列表注：①上表中k∈Z②y=tanx的所有对称中心坐标应该是（kπ/2，0）四、函数对称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）（A）是偶函数，也是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数（C）是奇函数，也是周期函数（D）是奇函数，但不是周期函数解：∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）=f（10-x）.∴f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数故选（A）例2：设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002解：∵y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是：y=2+g（x），∴f（x-1）=2+g（x），∴有f（5-1）=2+g（5）=2001，故f（4）=2001，应选（C）例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x，则f（8.6）=_________解：∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f（x）对称轴；又∵f（1+x）=f（1-x）∴x=1也是y=f（x）对称轴。

故y=f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3例4.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（）（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），∴直线x=1是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5故选（B） 第 4 页 共 4 页。