2007年全国竞赛试题.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组的解的个数为（ ）．（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4答：（A）．解：若≥0，则于是，显然不可能．若，则 于是，解得，进而求得．所以，原方程组的解为只有1个解．故选（A）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20答：（B）．解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B）．3．已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（ ）．（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）．解： 如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以．于是，．（第3题答案图）若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．故选（B）．4．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）．（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3答：（D）．解：设是它们的一个公共实数根，则，，．把上面三个式子相加，并整理得．因为，所以．于是．故选（D）．5．方程的整数解（x，y）的个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多答：（A）．解：原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而（第6题答案图）．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．答：（，0）． （第7题答案图）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝，CF＝，所以，点A，C的坐标为（，），（2＋b，），所以 解得因此，点D的坐标为（，0）．8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 ．答：≤，或者．解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以，得．由，得，此时，，符合题意；由，得，此时，，不符合题意．（Ⅱ）令，由判别式，得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．9．如图，，则n＝ ． 答：6．解：如图，设AF与BG相交于点Q，则，于是（第9题答案图）．所以，n＝6．10．已知对于任意正整数n，都有，则 ．答：．解：当≥2时，有 ，，两式相减，得 ，所以 因此 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．解：（1）设点P的坐标为，则PM＝;又因为点P到直线的距离为，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切． …………5分（第11题答案图）（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是 ，所以 ，因此，Rt△∽Rt△．于是，从而． …………15分 12．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)，则有所以 ，. …………5分因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以 或 （1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得a＝1，b＝3，此时，一元二次方程为，它的两个根为，．（2）当时，可得a＝1，b＝1，此时，一元二次方程为，它无整数解.综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为，． ……………15分13．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．（第13题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，． ……………5分两式相减可得 ，又 ，于是有 ，即 ，所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．……………15分14．（1）是否存在正整数m，n，使得？（2）设(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得，则，显然，于是，所以，不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当时，若存在正整数m，n，满足，则，，，，而，故上式不可能成立． ………………10分当≥4时，若（t是不小于2的整数）为偶数，取，则 ， ，因此这样的（m，n）满足条件．若＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取，则 ， ，因此这样的（m，n）满足条件． 综上所述，当时，答案是否定的；当≥4时，答案是肯定的． ……………15分 注：当≥4时，构造的例子不是唯一的．。