专题正反比例函数_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 第二部分：正比例 ，反比例函数 一、 知识点梳理： （一）正比例函数 1、定义：y = kx （k ≠ 0） 2、图象：过点（0，0）和（1，k）的一条直线 3、性质：当 k ＞ 0 时，图象经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k ＜ 0 时，图象经过二、四象限，y 随 x 的增大而减小 （二）反比例函数： 1、定义：y = xk （k ≠ 0） 2、图象：双曲线 3、性质： （1）当 k ＞ 0 时，图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小； （2）当 k ＜ 0 时，图象在二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 （三）拓展： 1、正比例函数 y=kx 过点 P（x0, y0） 则 k=00xy ； 2、 反比例函数xky  过点 P（xo, yo） 则 k=xo yo 二、知识点检测： 1．已知 y 是 x 的正比例函数，且当51x时，1y，则 y 关于 x 的函数关系式是 ， 2．函数xy91的图象经过第 象限；当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值也 ； 3．已知函数xky21在每个象限内自变量 x 逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大，则 k 的取值范围是 ； 4．点 P (1，4)、Q (－2，b) 是反比例函数图象上的两个点，则 PQ 的长是 ； 5．已知反比例函数图象过 P (a，b)，且 a、b 是方程 x2 －4x + 1=0 的两个根，则此反比例函数的解析式为 ； 6．甲、 乙两地相距 180 公里， 一辆汽车以每小时 40 公里的速度从甲地开往乙地，已知汽车行驶 t 小时后离乙地的距离是 S 公里，则 S 与 t 的函数关系式为 。

三、校正： 1． 已知正比例函数图象过点 A (2， －4)， 则此正比例函数的解析式为 ； 2．已知 y 是 x 的反比例函数，它的图象经过点（－1，3） ，那么这个函数的解析式是 ； 3．已知正比例函数 y=（3k+2）x 的图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围学习必备 欢迎下载 为 ； 4．如果 y = (m －2)x + (n + 3) 是正比例函数，且图象经过 A (1，3)，那么 m + 2n = ； 5．正比例函数 y = kx 的图象和反比例函数 y = x1的图象有一个公共点 A 的横坐标为 2，这个正比例函数的解析式是 ； 6．某车间每月固定成本是 15 万元，每生产一台仪器需增加成本 2 万元，则该车间每月的成本数 y（万元）与每月生产仪器的台数 x 间的函数关系式是 ； 四、 典型例题： 1．已知函数 y = (m －1)22mx+ n （m、n 是实数） （1）当 m、n 取哪些值时，该函数是正比例函数，且函数的图象在第一、三象限？ （2）当 m、n 取哪些值时，该函数是反比例函数，且函数的图象经过第二、四象限？ （一）处理方法：学生思考，老师针对性的讲评。

（二）讲评：解本题的关键是要掌握正、反比例函数解析式及图象的特征 （三）本题的答案： （1）3m，n=0； （2）1m，n=0 2．已知21yyy，其中1y与 x 成正比例，2y与 x 成反比例，并且当 x=1 和 x=2时 y 的值都是 3，求 y 与 x 之间的函数关系式 （一）处理方法：学生练习、板演，老师讲解解题方法 （二）讲评：解本题过程中，需要注意的是正比例函数中的比例系数与反比例函数中的比例系数是两个不同的比例系数，应采用不同的字母21,kk加以区别应设xkxky21 （三）本题的答案：2, 121 kk，解析式为xy +x2 3．已知在同一直角坐标系中，如果（2，-1）是双曲线xky 上的一个点，又函数xky 与函数 y=-2x 的图象交于 P、Q两点，点 M在 y 轴的负半轴上，且离开原点的距离为 4，求： （1）P与 Q两点的坐标； （2）PMQ 的面积 象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 （一）处理方法：学生讨论、交流，老师讲评。

（二）讲评： “数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象，有时要数形结合，互相联系，将需要求解的问题化难为易本题在理解题意的基础上，可先画出图形，注意： （1）求 P与 Q两点的坐标要解由这两个函数的解析式所组成的方程组，方程组的解就是这两个点的坐标，所以先要求出反比例函数的解析式 （2）PMQ 的面积可以看作是PMO的面积与QMO的面积的和 （三）本题的答案： （1）) 2 , 1(P，Q) 2, 1 ( ； （2）PMQ 的面积为 4 五、 课后作业： 简答题： 1． 已知函数12) 1(2mxmy， （1）当 m为何值时，该函数的图象经过原点，此时的函数解析式是什么？ （2）画出这个函数的图象 2． 已知13 y与 2x+1 成正比例， （1）试用 x 的代数式表示 y； （2）已知当1x时，y=3；求当31y时，x 的值 3．已知 y = y1+y2，y1与 x 成正比例，y2与 x 成反比例，并且当 x = －1 时，y = －4，当 x = 3 时，y = 320，求 y 与 x 之间的函数关系式 4．已知，正比例函数图象过点A (－4，8) （1）求函数关系式； （1）如果在 y 轴上有一点 B，使 S△AOB = 12，求点 B 的坐标。

象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 一次函数 一、知识点梳理： 1、定义：y = kx +b （k ≠ 0） 2、图象：过点（0，b）且平行于直线 y = kx 的一条直线 （b 叫截距） 3、性质：当 k ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小； 直线 y = kx + b 所经过的象限与 k、b 的符号的关系。

4、直线 y=kx+b 交 y 轴于（0，b）交 x 轴于（kb，0） 5、(1) 直线 y = k1x + b1与 y = k2x + b2互相平行， 则 k1 ＝ k2且 b1 ≠ b2 ； (2) 直线 y = k1x + b1与y = k2x + b2交点在y 轴上， 则k1 ≠ k2且b1 ＝ b2 ； (3) 直线 y = kx + b 平移法则：左加右减（对 x） ，上加下减（对 b） 二、知识点检测： （填空题） 1．一次函数 y = 2x －3 在 y 轴上的截距是 ； 2．一次函数121 xy不经过第 象限； 3．直线 y = 2x + 1 向下平移 2 个单位所得函数解析式是 ； 4．已知点 Q 在函数 y = 2x －1 的图象上，且到两坐标轴的距离相等，则符合条件的 Q 点坐标是 ； 5．已知一个一次函数中自变量 x=2时，1y；当 x=2 时，y=11，则这个一次函数的解析式为 三、 校正： （填空题） 1．一次函数) 2(21xy在 y 轴上的截距是 ； 2．一次函数 y = －x + m 的图象经过点（－1，2）那么 m = ；此函数的图象经过第 象限。

3． 把直线 y = －x + 2 向下平移3个单位后所得的直线的解析式是 ； 4．一次函数 y = (1－m)x － 4 中，函数 y 的值随着 x 的增大而减小，那么 m 的取值范围是 ； 5．已知一个一次函数的图象经过（3，0） ，且在 y 轴上的截距是2，则这个一次函数的解析式为 四、典型例题： 1．一次函数41 xky与正比例函数xky2的图象都经过点（2，-1） ，求出这两个函数的解析式，并求由它们的图象与 x 轴所围成的三角形的面积 （一）处理方法：由学生边议边练，板演，教师有分析的讲评 （二）讲评： 本题是函数概念的综合题， 解题需要掌握正比例函数一次函数的有象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 关知识， 故解综合题的基本思路： 将它分解成若干个彼此联系的基本问题，并找出这些基本问题之间的联系，从中得出解题途径。

（三）本题答案：423 xy，xy21；34S 1．已知一次函数11bxky与22bxky，它们的图象在 y 轴上有相同的截距-2， 且11bxky的图象在 x 轴上的截距是 3，22bxky的图象过 （-2， 4） （1）求这两个一次函数的解析式； （2）在同一直角坐标系内画出这两个一次函数的图象； （3）说明这两个函数当自变量 x 的值增大时，函数的值是如何变化的？ （一）处理方法：由学生讨论，交流，老师讲评 （二）讲评： 本题中两个函数的解析式可以由已知条件用待定系数法来求出，有了函数的解析式，就可以画出它们的，在图象中当 x 的值逐渐增大时，若函数的图象由下而上延伸，则函数 y 的值在逐渐增大；若函数图象由上而下延伸，则函数 y 的值在逐渐减小，由此本题即可解决 （三）本题答案： （1）23, 232xyxy； （2）略； （3）当自变量 x 的值增大时，函数232 xy的值随着增大，23 xy的值随着减小 3．已知一次函数的图象与反比例函数 y = xa 的图象交于 A（m，n） 、B 两点，若点 B 在第四象限，m、n 是一元二次方程 x2 ＋px －８＝0 的两个根，且点 A到 x 轴的距离与点 B 到 y 轴的距离都等于 2。

求： （1）反比例函数的解析式； （2）一次函数的解析式； （3）△OAB 的面积 （一）处理方法：由学生讨论，交流，老师讲评 （二）讲评：本题是有关函数、方程的综合题，解题需要掌握反比例函数、一次函数与一元二次方程的有关知识由于 m、n 是一元二次方程 x2 ＋px －８＝0的两个根，所以由根与系数的关系可知：8 nm，而 m、n 是点 A 的横坐标与纵坐标，且点 A 在反比例函数 y = xa 的图象上，可知8nma；又因为点 A 到 x 轴的距离与点 B 到 y 轴的距离都等于 2且点 B 在第四象限，所以可求出 A、B 两点的坐标， （A 点的坐标有两解） ，最后用待定系数法求出一次函数的解析式 （三）本题答案： （1）xy8； （2）2 xy或6xy； （3）6 OABS 象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 二次函数 （一）知识回顾 二次函数是一种特殊的函数, 也是图象性质较复杂的一种函数，它是对函数及其应用知识的深化和提高。

在解决有关二次函数问题时，往往要运用配方、数形结合及函数思想方法 本课通过知识的梳理， 让学生快速对二次函数的有关性质进行整合 1、 二次函数的概念： 形如) 0(2acbxaxy的函数 它的图象是一条抛物线 2、二次函数) 0(2acbxaxy的图象及其性质（开口方向、顶点坐标、对称轴方程、最值、增减性） 3、二次函数) 0(2acbxaxy的系数 a、b、c 对其图象的影响： （1）a 的符号决定抛物线的开口方向； a决定抛物线的开口大小 （2）a、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧 （3）抛物线与y 轴的交点坐标是（0，c） c 决定抛物线与y 轴交点位置 （4）acb42的符号决定抛物线) 0(2acbxaxy与 x 轴的交点个数 4、 抛物线的平移规律： 从2axy 到khxay2)(，抓住顶点从 （0，0） 到（h，k） 5、二次函数解析式的三种形式： （1）一般式（2）顶点式（3）交点式 （二）基础训练 通过题组基础训练巩固二次函数的重点基础知识， 并可以弥补学生对函数基础知识的遗忘，又可以为技能的形成奠定基础．也是起一个热身运动. 题组训练 1 1．⑴下列函数中，二次函数的是（ ） A.y=8x2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=8x ⑵已知函数2mmxy，当 m= 时，它是二次函数。

小结：二次函数的一般式是 ，自变量的取值范围是 它的图象是一条 2. ⑴抛物线42 xy的顶点坐标是 ，对称轴是_____ ，开口向_____ ⑵将二次函数322xxy配方成khxy2)(的形式为 y=________________ ， 它的顶点坐标是______，当 x= ，它有最 值是 小结：y＝ax2＋bx＋c 配方的结果为 y＝a(x ＋ )2＋ ，其顶点坐标为 ，对称轴为 象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 0 0 0 0 x x x x y y y y x x x x 0 0 0 0 3.⑴函数12xy的图象大致为（ ） A B C D ⑵二次函数 y=(x-1)2-2是由 y=x2向 平移 个单位， 再向 平移 个单位得到的. ⑶请你写出函数① ②4212 xy ③2) 2(21xy ④ 具有的一个共同性质：_______________ 。

小结：建立二次函数表达式与图象之间的联系总结二次函数的图象平移规律 说明：以上题组，以基础题为主，主要是对学习基础起点较低的学生设计，让学生找到学习成功的感觉，慢慢对学习产生兴趣． （三）能力提升 题组训练２ 1. ⑴抛物线432xxy与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 ⑵抛物线12xxy与 x 轴的交点有 个 2．⑴如图是 y=ax2+bx+c 的图象，则 a______0 , b______0 c______0 , b2-4ac________0 . ⑵二次函数cbxaxy2与一次函数caxy在同一直角坐标系中图象大致是 （ ） y y y y A B C D 小结：二次函数cbxaxy2（a≠0）的图象与 a、b、c 及 b2-4ac的关系： （1）a:开口方向； （2）b：结合 a 看对称轴； （3）c：与 y 轴交点坐标； （4）b2-4ac：与 x 轴的交点个数。

1 1 －1 －1 221xy  42212xy象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 （四）直击中考 题组训练 3 （07 广州）二次函数图象过A、C、B 三点，点 A 的坐标为（－1，0） ， 点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 在 y 轴正半轴上，且 AB=OC. （1）求 C 的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值 总结： （1）一般式：) 0(2acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求． （2）顶点式：) 0()(2akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) ，已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标利用此式来求. ( 五) 小结 1. 系数 a、b、c 对二次函数图象的影响，注意数形结合。

2. 抛物线的性质及平移规律 3. 二次函数解析式的求法 ( 六) 课外作业 A组题 1．抛物线2axy 经过点（3，-1 ） ，则抛物线的函数关系式为 ． 2. 将二次函数 y=(x+1)2的图象向 平移 单位得到 y=x2的图象 3．已知抛物线y=－2(x-1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_____ 4.（07 广州）抛物线 y=x2+2x+1 与 x 轴交点的个数为（ ） A．0 B.1 C.2 D.3 5.二次函数 y=x2－4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，△ABC 的面积为（ ） A.1 B.3 C.4 D.2 6. (07 佛山）已知二次函数2yaxbxc（abc， ，是常数） ，x与y的部分对应值如下表，则当x满足的条件是 时，0y ；当x满足的条件是 时，0y ． 象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 x 2 1 0 1 2 3 y 16 6 0 2 0 6 B组题 1. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________ 。

2. 抛物线 y=ax2向左平移一个单位,再向下平移 8 个单位且 y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为____________ 3. 抛物线如图所示：当x=_______时，y=0，当x_____ 时，y>0；当 x_____ 时，y<0； C组题 1. 抛物线2xy 与直线23  xy的交点坐标为 2. 已知 y=ax2+bx+c 的图象如图所示 , 请在下列横线上填写“ <”, “>”或“=” （续题组训练２第2 题） b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 ， a+b+c_____0, a-b+c____0 3．已知反比例函数) 0(axay，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，则函数aaxy2 的图象经过的象限是（ ） A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 （综合题）上海 20XX年的第 22 题：在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 A，与 x 轴的正半轴相交于点 B，与 y 轴相交于点 C。

点 C的坐标为（0，-3） ，且 BO=CO （1）求这个二次函数的解析式； （2）设这个二次函数图象的顶点为 M ，求 AM的长 A O B C y x 象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例学习必备 欢迎下载 本题考查用数形结合的思想，利用“点 C的坐标为（0，-3） ，且 BO=CO ”的条件结合图形求出 B点的坐标即可解决问题在数学解题中由数思形，以形促数可以开辟多角度、多层次的解题思维途径从题目本身看，是“数”和“形”两个方面，从学生能力角度看，则是要考查学生的运算能力和空间想象能力。

象经过一三象限随的增大而增大当时图象经过二四象限随的增大而减小二反比例函数图象双曲线性质当时图象在一三象限在每个象限内随的增大而减小当时图象在二四象限在每个象限内随的增大而增大三拓展定义正比例函数过点过量的值逐渐增大时的值也大则的取值范围是在每个象限内自变量逐渐增大时的值也随着逐渐增已知函数点是反比例函数图象上的两个点则的长是已知反比例函数图象过且是方程的两个根则此反比例函数的解析式为甲乙两地相距公里正已知正比例函数图象过点则此正比例函数的解析式为已知是的反比例函数它的图象经过点那么这个函数的解析式是已知正比例函数的图象经过第一三象限则的取值范围学习必备欢迎下载为如果是正比例函数且图象经过那么正比例。